---
title: Limits Intro
localeTitle: حدود المقدمة
---
## حدود

ﻟﻘول أن ﺣد اﻟوظﯾﻔﺔ f (x) ﯾﻌﻧﻲ أن ƒ (x) ﯾﻣﮐن إﺟراؤھﺎ ﺑﺎﻟﻘرب ﻣن اﻟﻣرﻏوﺑﺔ إﻟﯽ L ﻋن طرﯾق ﺟﻌل x ﻣﻐﻟﻘًﺎ ﺑﻣﺎ ﯾﮐﻔﻲ ، وﻟﮐن ﻟﯾس ﻣﺳﺎوﯾﺎً ، إﻟﯽ p.

#### مثال

دع f (x) = x. عندئذ يكون حد f (x) حيث أن x يميل إلى 1 يساوي 1. وهذا يعني ، قيمة الدالة أثناء المشي على قيم x ، 0 ، ثم 0.01 ، ثم ، 0.1 ، ثم 0.5 ، وتمرير كل القيم على x-axis تقترب وأقرب إلى 1 ، فإن قيمة هذه الدالة f (x) = x ستميل إلى 1. رفع الصوت ، الرسم البياني للوظيفة.

![الرسم البياني f (x) = x](https://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.013a/textbook/HTML/chapter01/images/identity.gif)

عندما يقول المرء أن f (x) قريب جداً من L ، لكنه لا "يلمس" ، يعني أن المسافة صغيرة جداً ، وبالمثل ، x يميل إلى a ، ولكن ليس مساوياً لـ ، يعني x على مسافة صغيرة من. لذلك ، يتم استخدام تعريف القيمة المطلقة.

| f (x) - L | <ε، | x - a | <δ

تمثل الرموز ، epsilon والدلتا ، على التوالي ، عدد صغير بشكل تعسفي.

![حد](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfLimit_files/image001.gif)

توضح الصورة أعلاه ما يلي: لأي small> 0 صغير (epsilon) قد تختار ، من الممكن رسم شريط بين L + ε و L- ε ، من شأنه أن يكون المنطقة الصفراء ، أو الشريط الأفقي. بعد ذلك ، بعد اختيار ذلك epsilon ، هناك δ> 0 (دلتا) معينة ، والتي يمكن تحديدها ، والتي تتيح لك رسم شريط رأسي ، تمامًا مثل المنطقة الوردية على الرسم البياني أعلاه ، اللون الوردي ، بين + δ و- δ. الآن ، إذا أخذت أي x في المنطقة الوردية ، أي حول ، فستكون هذه القيمة x أقرب إلى أي من a + δ و a - δ. أو،

| x - a | <δ

إذا حددت الآن النقطة على الرسم البياني التي يعطيها اختيارك لـ x ، فإن هذه النقطة في الرسم البياني ستقع في تقاطع المنطقة الوردية والأصفر. وهذا يعني أن قيمة هذه الدالة f (x) ستكون أقرب إلى L من أي من L + ε و L + ε. أو،

| f (x) - L | <ε

لذا ، إذا أخذت أي قيمة x في المنطقة الوردية ، فسيظهر الرسم البياني لهذه القيم لـ x في المنطقة الصفراء.

حسنًا ، تخيل الموقف التالي: ستجعلك أنت وصديقك رحلة مثيرة باستخدام خريطة. سوف تقود وسيعالج صديقك الخريطة. الآن ، لكل بوصة في الخريطة يقرأ لك صديقك ، ستتحرك السيارة ، لنفترض ، 2 كم ، أو 1.24 ميل ، إذا كنت تفضل ذلك. لاحظ أنه على الرغم من الوحدات التي نستخدمها ، لمجرد فهمها ، يمكننا كتابة "وظيفتك" على النحو التالي:

f (بوصة) = 2 كم

لذلك ، إذا قرأ صديقك بوصتين على الخريطة ، فسيتم تحريكك لمسافة 4 كم. أنتما متعبان الآن وتقرران أن تستريح ، لكنك ذكي كما أنت وصديقك ، فأنت تساءلان:

*   مهلا ، إذا كنت أميل إلى القراءة بالنسبة لك ، من الخريطة ، وبوصة 10 بوصات ، ونحن متعبون ، ويجب أن نرتاح من حين لآخر ، لذلك لن أقرأ لك عشر بوصات كاملة ، ولكنني متأكد من أنني سوف أكون الحصول على أقرب ما يمكن أن نحصل عليه ، إلى أي مدى تعتقد أننا سوف نسافر؟

يمكنك أن تفكر هكذا:

*   وأنا أعلم أنه بالنسبة لكل بوصة كنت تقرأ ، أقود 2 كيلومتر! لذا ، إذا كنت تميل إلى قراءة 10 بوصات ... همم ... ربما سنقترب قدر المستطاع لقيادة 20 كيلومترًا! ليس بالضبط ال 20 ، لكننا سنعمل على الحصول على وثيقة قريبة جدا.

هذه طريقة لتوضيح هذا المفهوم ، تخيل أنك تسير على الرسم البياني ، والوظيفة هي "القاعدة" ، و x هي "كم يجب عليك المشي" ، و f (x) هي القيمة التي تسلكها فعليًا ، القاعدة التي أعطيت لك.

#### الخصائص

ضع في اعتبارك أن حدود الوظائف موجودة ، ثم:

*   **مجموع**

![مجموع الحدود](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsProperties_files/eq0004MP.gif)

الحد الأقصى للمبلغ هو مجموع الحدود.

دع f (x) تساوي x ، f (x) = x و g (x) = 2x. دع x تميل إلى 1. الحد:

lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x) = lim x + lim 2x = 1 + 2 = 3

أو lim (x + 2x) = lim (3x) = 3

*   **المنتج**

![منتج من الحدود](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsProperties_files/eq0005MP.gif)

الحد من المنتج هو نتاج الحدود.

خذ بعين الاعتبار نفس الوظيفة على المثال السابق ، f (x) = x و g (x) = 2x. وجعل x يميل إلى 2 ، الآن.

lim (f (x) \* g (x)) = lim f (x) \* lim g (x) = 2 \* 4 = 8

أو lim (x \* 2x) = lim (2x ^ 2) = 2 \* 4 = 8

*   **المنتج من قبل ثابت**

![المنتج من قبل ثابت](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsProperties_files/eq0003MP.gif)

يمكنك "عامل" ثابت مضاعف خارج الحد.

مرة أخرى ، افترض f (x) = x. الحد الأقصى ، نظرًا لميل x إلى 5 الآن:

lim (10 \* x) = 10 lim (x) = 50

lim (10x) = 50

*   **قطاع**

![تقسيم الحدود](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsProperties_files/eq0006MP.gif)

الحد من التقسيم هو تقسيم الحدود.

دع f (x) = 2x و g (x) = x + 1. تأكد من أن الوظيفة التي ستنشئها ليست صفراً. جعل x يميل إلى 2 ، وكان لديك:

lim (2x / x) = lim 2x / lim x = 4/2 = 2

أو lim (2x / 2) = lim 2 = 2. هذه دالة ثابتة ، لذا بغض النظر عن مقدار ما تمشي عليه alonf ، فإن القيمة ستميل دائمًا إلى قيمة معينة واحدة.

*   **قوة**

![قوة الحدود](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsProperties_files/eq0007MP.gif)

إذا كان n عددًا صحيحًا.

دع f (x) تساوي x + 1 والسماح x يميل إلى 2. افترض الحد التالي:

lim \[(x + 1)\] ^ 2 = (3) ^ 2 = 9

lim \[(x + 1)\] ^ 2 = lim (x ^ 2 + 2x + 1) = 9 (لاحظ أنه يمكنك استخدام خاصية sum أيضًا!)

#### معلومات اكثر:

[ملاحظات وأمثلة أخرى](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsProperties.aspx)

[مقدمة للحد من محاضرة](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-continuity/ab-limits-graphically/v/introduction-to-limits-hd)