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title: '問題 182: RSA 暗号化'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301818
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dashedName: problem-182-rsa-encryption
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# --description--
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RSA 暗号化は次の手順で行われます。
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2 つの相異なる素数 `p` と `q` を生成します。 `n=p*q` と `φ=(p-1)(q-1)` を計算します。 `1 < e < φ` に対して、`gcd(e,φ) = 1` となる整数 `e` を見つけます。
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この方式におけるメッセージは、区間 `[0,n-1]` の中の数です。 次に、暗号化される文は何らかの形でメッセージ (区間 `[0,n-1]` の中の数) に変換されます。 文を暗号化するために、メッセージごとに `m`, c=m<sup>e</sup> mod n が計算されます。
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文を復号するには、`ed=1 mod φ` となるような `d` を計算し、暗号化されたメッセージ `c` ごとに、m=c<sup>d</sup> mod n を計算するという手順が必要です。
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m<sup>e</sup> mod n = m となるような `e` と `m` の値が存在します。 m<sup>e</sup> mod n = m となるメッセージ `m` を非隠蔽メッセージと呼びます。
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`e` を選択する際の問題は、非隠蔽メッセージが多すぎてはいけないという点です。 例えば、`p=19`, `q=37` とします。 このとき、`n=19*37=703`, `φ=18*36=648` となります。 `e=181` を選択した場合、`gcd(181,648)=1` ですが、m<sup>e</sup> mod n の計算時に、考えられるすべてのメッセージ m `(0≤m≤n-1)` が非隠蔽メッセージとなります。 `e` についてどのような有効な選択を行っても、非隠蔽メッセージがいくつか存在します。 非隠蔽メッセージの数が最小限であることが重要です。
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`1 < e < φ(p,q)` かつ `gcd(e,φ)=1` のとき、与えられた任意の `p` と `q` について、`e` 値に対する非隠蔽メッセージの数が最小になるような `e` 値の総和を求めなさい。
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# --hints--
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`RSAEncryption` は関数でなければなりません。
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```js
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assert(typeof RSAEncryption === 'function')
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```
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`RSAEncryption` は数値を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(typeof RSAEncryption(19, 37), 'number');
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```
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`RSAEncryption(19, 37)` は `17766` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(RSAEncryption(19, 37), 17766);
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```
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`RSAEncryption(283, 409)` は `466196580` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(RSAEncryption(283, 409), 466196580);
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```
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`RSAEncryption(1009, 3643)` は `399788195976` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(RSAEncryption(19, 37), 17766);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function RSAEncryption(p, q) {
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return true;
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}
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RSAEncryption(19, 37);
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```
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# --solutions--
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```js
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function gcd(a, b) {
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if (b)
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return gcd(b, a % b);
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else
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return a;
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}
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function RSAEncryption(p, q) {
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let phi = (p - 1) * (q - 1);
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let best = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
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let sum = 0;
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for (let e = 0; e < phi; ++e) {
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if (!(gcd(e, phi) == 1))
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continue;
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let msg = (gcd(p - 1, e - 1) + 1) * (gcd(q - 1, e - 1) + 1);
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if (best == msg) {
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sum += e;
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} else if (best > msg) {
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best = msg;
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sum = e;
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}
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}
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return sum;
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}
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```
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