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id: 5900f4d31000cf542c50ffe6
title: 'Problema 359: Il nuovo Hotel di Hilbert'
challengeType: 5
forumTopicId: 302019
dashedName: problem-359-hilberts-new-hotel
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# --description--

Un numero infinito di persone (numerate 1, 2, 3, ecc.) sono in fila per prendere una stanza al nuovo hotel infinito di Hilbert. L'hotel contienue un numero infinito di piani (numerati 1, 2, 3, ecc) e ogni piano contiene un numero infinito di stanze (numerate 1, 2, 3, ecc.).

All'inizio l'hotel è vuoto. Hilbert dichiara una regola su come la $n$-sima persona è assegnata una stanza: persona $n$ riceve la prima stanza vuota al piano col numero più basso che soddisfa una delle seguenti condizioni:

- il piano è vuoto
- il piano non è vuoto, e se l'ultima persona che ha preso una stanza in quel piano è persona $m$ allora $m + n$ è un quadrato perfetto

Persona 1 prende stanza 1 in piano 1 visto che piano 1 è vuoto.

Persona 2 non prende stanza 2 nel piano 1 visto che 1 + 2 = 3 non è un quadrato perfetto.

Persona 2 invece prende stanza 1 nel piano 2 visto che piano 2 è vuoto.

Persona 3 prende stanza 2 sul piano 1 visto che 1 + 3 = 4 è un quadrato perfetto.

Alla fine, ogni persona in fila ottiene una stanza nell'hotel.

Sia $P(f, r)$ $n$ se la persona $n$ occupa stanza $r$ al piano $f$, e 0 se nessuna persona occupa la stanza. Ecco alcuni esempi:

$$\begin{align}   & P(1, 1) = 1 \\\\
  & P(1, 2) = 3 \\\\   & P(2, 1) = 2 \\\\
  & P(10, 20) = 440 \\\\   & P(25, 75) = 4863 \\\\
  & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$

Trova la somma di tutti i $P(f, r)$ per tutti i positivi $f$ e $r$ in modo tale che $f × r = 71\\,328\\,803\\,586\\,048$ e dai le ultime 8 cifre come risposta.

# --hints--

`hilbertsNewHotel()` dovrebbe restituire `40632119`.

```js
assert.strictEqual(hilbertsNewHotel(), 40632119);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function hilbertsNewHotel() {

  return true;
}

hilbertsNewHotel();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```