103 lines
3.7 KiB
Markdown
103 lines
3.7 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
id: 5900f4231000cf542c50ff35
|
|||
|
|
title: 'Завдання 182: шифрування RSA'
|
|||
|
|
challengeType: 5
|
|||
|
|
forumTopicId: 301818
|
|||
|
|
dashedName: problem-182-rsa-encryption
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --description--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Шифрування RSA базується на наступній процедурі:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Згенерувати два різні простих числа `p` і `q`. Обчислити `n=p*q` і `φ=(p-1)(q-1)`. Знайдіть ціле число `e`, `1 < e < φ`, якщо `gcd(e,φ) = 1`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Повідомлення в цій системі — це число в інтервалі `[0,n-1]`. Текст, що буде зашифровано, певним чином перетворюється на повідомлення (числа з інтервалом `[0,n-1]`). Щоб зашифрувати текст, для кожного повідомлення обчислюється `m`, c=m<sup>e</sup> mod n.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Щоб розшифрувати текст, необхідна наступна процедура: порахуйте `d`, якщо `ed=1 mod φ`, тоді для кожного зашифрованого повідомлення `c` обчисліть m=c<sup>d</sup> mod n.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Виявлено значення `e` і `m` такі, що m<sup>e</sup> мод n = m. Ми називаємо повідомлення `m`, для яких m<sup>e</sup> мод n=m, неприхованими.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Проблема при виборі `e` полягає в тому, що не має бути занадто багато неприхованих повідомлень. Наприклад, нехай `p=19` і `q=37`. Потім `n=19*37=703` і `φ=18*36=648`. Якщо ми вибираємо `e=181`, то хоча `gcd(181,648)=1`, виявляється, що всі можливі повідомлення m `(0≤m≤n-1)` неприховані при розрахунку m<sup>e</sup> мод n. Для будь-якого відповідного вибору `e` існує декілька неприхованих повідомлень. Важливо, що кількість неприхованих повідомлень має бути мінімальною.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для будь-якого заданого `p` і `q`, знайдіть суму всіх значень `e`, `1< e < φ(p,q)` і `gcd(e,φ)=1`, так, щоб кількість неприхованих повідомлень для цього значення `e` була мінімальною.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --hints--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`RSAEncryption` має бути функцією.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert(typeof RSAEncryption === 'function')
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`RSAEncryption` має повертати число.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(typeof RSAEncryption(19, 37), 'number');
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`RSAEncryption(19, 37)` має повертати `17766`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(RSAEncryption(19, 37), 17766);
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`RSAEncryption(283, 409)` має повертати `466196580`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(RSAEncryption(283, 409), 466196580);
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`RSAEncryption(1009, 3643)` має повертати `399788195976`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(RSAEncryption(19, 37), 17766);
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --seed--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## --seed-contents--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
function RSAEncryption(p, q) {
|
|||
|
|
|
|||
|
|
return true;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
RSAEncryption(19, 37);
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --solutions--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
function gcd(a, b) {
|
|||
|
|
if (b)
|
|||
|
|
return gcd(b, a % b);
|
|||
|
|
else
|
|||
|
|
return a;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
function RSAEncryption(p, q) {
|
|||
|
|
let phi = (p - 1) * (q - 1);
|
|||
|
|
|
|||
|
|
let best = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
|
|||
|
|
let sum = 0;
|
|||
|
|
|
|||
|
|
for (let e = 0; e < phi; ++e) {
|
|||
|
|
if (!(gcd(e, phi) == 1))
|
|||
|
|
continue;
|
|||
|
|
|
|||
|
|
let msg = (gcd(p - 1, e - 1) + 1) * (gcd(q - 1, e - 1) + 1);
|
|||
|
|
|
|||
|
|
if (best == msg) {
|
|||
|
|
sum += e;
|
|||
|
|
} else if (best > msg) {
|
|||
|
|
best = msg;
|
|||
|
|
sum = e;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
return sum;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
```
|