59 lines
2.4 KiB
Markdown
59 lines
2.4 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
id: 5900f4a81000cf542c50ffbb
|
|||
|
|
title: 'Завдання 316: Числа в десяткових розширеннях'
|
|||
|
|
challengeType: 5
|
|||
|
|
forumTopicId: 301972
|
|||
|
|
dashedName: problem-316-numbers-in-decimal-expansions
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --description--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Нехай $p = p_1 p_2 p_3 \ldots$ — це нескінченна послідовність випадкових цифр, вибраних з {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} з однаковою вірогідністю.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Можна побачити, що $p$ відповідає дійсному числу $0.p_1 p_2 p_3 \ldots$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Також можемо побачити, що вибір випадкового дійсного числа з інтервалу [0,1) є рівними з вибором із нескінченної послідовності випадкових чисел, вибраних з {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} з однаковою вірогідністю.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для будь-якого додатнього числа $n$ з $d$ десяткових знаків, нехай $k$ буде найменшим індексом, таким же як $p_k, p_{k + 1}, \ldots p_{k + d - 1}$ є десятковими знаками $n$ у такому самому порядку.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Також, нехай $g(n)$ буде очікувано величиною $k$; це можна довести тим, що $g(n)$ — це завжди скінченне і, що цікаво, завжди ціле число.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Наприклад, якщо $n = 535$, то
|
|||
|
|
|
|||
|
|
для $p = 31415926\mathbf{535}897\ldots$, ми отримуємо $k = 9$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
для $p = 35528714365004956000049084876408468\mathbf{535}4\ldots$, ми отримуємо $k = 36$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
і так далі, і ми знаходимо, що $g(535) = 1008$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Дано, що $\displaystyle\sum_{n = 2}^{999} g\left(\left\lfloor\frac{{10}^6}{n}\right\rfloor\right) = 27280188$, знайдіть $\displaystyle\sum_{n = 2}^{999\\,999} g\left(\left\lfloor\frac{{10}^{16}}{n}\right\rfloor\right)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Примітка:** $\lfloor x\rfloor$ є функцією підлога.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --hints--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`numbersInDecimalExpansion()` повинен повертатися як `542934735751917760`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(numbersInDecimalExpansion(), 542934735751917760);
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --seed--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## --seed-contents--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
function numbersInDecimalExpansion() {
|
|||
|
|
|
|||
|
|
return true;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
numbersInDecimalExpansion();
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --solutions--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
// solution required
|
|||
|
|
```
|