2021-12-10 11:14:24 +05:30
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
id: 5900f5311000cf542c510042
|
|
|
|
|
|
title: 'Завдання 451: Обернені за модулем числа'
|
|
|
|
|
|
challengeType: 5
|
|
|
|
|
|
forumTopicId: 302124
|
|
|
|
|
|
dashedName: problem-451-modular-inverses
|
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --description--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Візьмімо число 15.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Існує вісім додатних чисел, менших за 15, які є взаємно простими з 15: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа 1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14 є оберненими за модулем 15, оскільки
|
|
|
|
|
|
|
2022-04-11 19:34:39 +05:30
|
|
|
|
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
|
|
|
|
|
|
& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
|
|
|
|
|
|
& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
|
|
|
|
|
|
& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
2021-12-10 11:14:24 +05:30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай $I(n)$ — це найбільше додатне число $m$, менше за $n - 1$, при якому обернене за модулем число $m$ з модулем $n$ дорівнює цьому ж числу $m$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, $I(15) = 11$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А також $I(100) = 51$ і $I(7) = 1$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть $\sum I(n)$ для $3 ≤ n ≤ 2 \times {10}^7$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --hints--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`modularInverses()` повинен видати `153651073760956`.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js
|
|
|
|
|
|
assert.strictEqual(modularInverses(), 153651073760956);
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --seed--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## --seed-contents--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js
|
|
|
|
|
|
function modularInverses() {
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
return true;
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
modularInverses();
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --solutions--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js
|
|
|
|
|
|
// solution required
|
|
|
|
|
|
```
|
