chore(i18n,curriculum): update translations (#44227)
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GitHub
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id: 5900f4cd1000cf542c50ffdf
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title: 'Problem 352: Blood tests'
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title: 'Problema 352: Testes sanguíneos'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302012
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dashedName: problem-352-blood-tests
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@@ -8,32 +8,46 @@ dashedName: problem-352-blood-tests
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# --description--
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Each one of the 25 sheep in a flock must be tested for a rare virus, known to affect 2% of the sheep population.
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Cada uma das 25 ovelhas que se encontram em um rebanho tem de ser testada para um vírus raro, conhecido por afetar 2% da população de ovinos.
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An accurate and extremely sensitive PCR test exists for blood samples, producing a clear positive / negative result, but it is very time-consuming and expensive.
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Existe um teste de PCR preciso e extremamente sensível para amostras de sangue, produzindo um resultado claramente positivo/negativo, mas é muito demorado e caro.
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Because of the high cost, the vet-in-charge suggests that instead of performing 25 separate tests, the following procedure can be used instead: The sheep are split into 5 groups of 5 sheep in each group. For each group, the 5 samples are mixed together and a single test is performed. Then, If the result is negative, all the sheep in that group are deemed to be virus-free. If the result is positive, 5 additional tests will be performed (a separate test for each animal) to determine the affected individual(s).
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Devido ao alto custo, a veterinária encarregada sugere que, em vez de executar 25 testes separados, o seguinte procedimento seja usado:
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Since the probability of infection for any specific animal is only 0.02, the first test (on the pooled samples) for each group will be: Negative (and no more tests needed) with probability 0.985 = 0.9039207968. Positive (5 additional tests needed) with probability 1 - 0.9039207968 = 0.0960792032.
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As ovelhas são divididas em 5 grupos de 5 ovelhas em cada grupo. Para cada grupo, as 5 amostras são misturadas e realiza-se um único teste. Então,
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Thus, the expected number of tests for each group is 1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016. Consequently, all 5 groups can be screened using an average of only 1.480396016 × 5 = 7.40198008 tests, which represents a huge saving of more than 70% !
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- Se o resultado for negativo, todas as ovelhas desse grupo são consideradas sem vírus.
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- Se o resultado for positivo, serão realizados 5 testes adicionais (um teste separado para cada animal) para determinar o(s) indivíduo(s).
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Although the scheme we have just described seems to be very efficient, it can still be improved considerably (always assuming that the test is sufficiently sensitive and that there are no adverse effects caused by mixing different samples). E.g.: We may start by running a test on a mixture of all the 25 samples. It can be verified that in about 60.35% of the cases this test will be negative, thus no more tests will be needed. Further testing will only be required for the remaining 39.65% of the cases. If we know that at least one animal in a group of 5 is infected and the first 4 individual tests come out negative, there is no need to run a test on the fifth animal (we know that it must be infected). We can try a different number of groups / different number of animals in each group, adjusting those numbers at each level so that the total expected number of tests will be minimised.
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Como a probabilidade de infecção para qualquer animal específico é de apenas 0,02, o primeiro teste (nas amostras em conjunto) de cada grupo será:
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To simplify the very wide range of possibilities, there is one restriction we place when devising the most cost-efficient testing scheme: whenever we start with a mixed sample, all the sheep contributing to that sample must be fully screened (i.e. a verdict of infected / virus-free must be reached for all of them) before we start examining any other animals.
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- Negativo (e sem mais testes necessários) com probabilidade ${0.98}^5 = 0.9039207968$.
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- Positivo (5 testes adicionais necessários) com probabilidade $1 - 0.9039207968 = 0.0960792032$.
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For the current example, it turns out that the most cost-efficient testing scheme (we'll call it the optimal strategy) requires an average of just 4.155452 tests!
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Assim, o número esperado de testes para cada grupo é $1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016$.
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Using the optimal strategy, let T(s,p) represent the average number of tests needed to screen a flock of s sheep for a virus having probability p to be present in any individual. Thus, rounded to six decimal places, T(25, 0.02) = 4.155452 and T(25, 0.10) = 12.702124.
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Consequentemente, todos os 5 grupos podem ser avaliados com uma média de apenas US$1.480396016 × 5 = \mathbf{7.40198008}$ testes, o que representa uma grande economia de mais de 70%!
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Find ΣT(10000, p) for p=0.01, 0.02, 0.03, ... 0.50. Give your answer rounded to six decimal places.
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Embora o regime que acabamos de descrever pareça muito eficiente, ele ainda pode ser melhorado consideravelmente (partindo sempre do princípio de que o teste é suficientemente sensível e que não há efeitos adversos causados pela mistura de amostras diferentes). Ex:
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- Podemos começar por fazer um teste com uma mistura de todas as 25 amostras. É possível verificar que em cerca de 60,35% dos casos este teste será negativo, pelo que não serão necessários mais testes. Só serão necessários mais testes para os 39,65% restantes dos casos.
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- Se sabemos que pelo menos um animal em um grupo de 5 é infectado e que os 4 primeiros testes individuais são negativos, não há necessidade de realizar um ensaio no quinto animal (sabemos que deve ser infectado).
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- Podemos tentar um número diferente de grupos/um número diferente de animais em cada grupo, ajustando esses números a cada nível para que o número total esperado de testes seja minimizado.
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Para simplificar a vasta gama de possibilidades, há uma restrição que impomos ao criar o esquema de testes mais econômico: sempre que começamos com uma amostra mista, todas as ovelhas que contribuem para essa amostra devem ser totalmente testadas (ou seja, é preciso chegar a um veredito sobre ela estar infectada/sem vírus) antes de começarmos a examinar qualquer outro animal.
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Para o exemplo atual, ocorre que o esquema de testes mais econômico (chamamos isso de estratégia ideal) requer uma média de apenas <strong>4,155452</strong> testes!
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Usando a estratégia ideal, considere $T(s, p)$ como representando o número médio de testes necessários para analisar um rebanho de $s$ ovelhas para o vírus, com a probabilidade de $p$ de o vírus estar presente em qualquer indivíduo. Assim, arredondado para seis casas decimais, $T(25, 0,02) = 4,155452$ e $T(25, 0,10) = 12,702124$.
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Encontre $\sum T(10.000, p)$ para $p = 0.01, 0.02, 0.03, \ldots 0.50$. Dê sua resposta arredondada para seis casas decimais.
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# --hints--
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`euler352()` should return 378563.260589.
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`bloodTests()` deve retornar `378563.260589`.
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```js
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assert.strictEqual(euler352(), 378563.260589);
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assert.strictEqual(bloodTests(), 378563.260589);
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```
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# --seed--
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@@ -41,12 +55,12 @@ assert.strictEqual(euler352(), 378563.260589);
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## --seed-contents--
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```js
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function euler352() {
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function bloodTests() {
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return true;
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}
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euler352();
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bloodTests();
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```
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# --solutions--
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