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chore(i18n,learn): processed translations (#45599)

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2022-04-02 14:16:30 +05:30
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4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-101-optimum-polynomial.md
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@ -20,7 +20,9 @@ dashedName: problem-101-optimum-polynomial
したがって、立方数の数列について次の OP が得られます。
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
明らかに、k ≥ 4 に対して BOP は存在しません。 BOP によって生成された FIT の和 (上では $\color{red}{red}$ で示されています) は、1 + 15 + 58 = 74 となります。 次の 10 次多項式生成関数を考えます。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-103-special-subset-sums-optimum.md
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@ -15,7 +15,10 @@ dashedName: problem-103-special-subset-sums-optimum
与えられた n に対して $S(A)$ が最小化されている集合を、「最適な特殊和集合」と呼ぶことにします。 最初の 5 つの最適な特殊和集合は次のとおりです。
$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\ & n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\ & n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\
& n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\
& n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\
\end{align}$$
与えられた最適な集合 $A = \\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$ に対して、次に出現する最適な集合は $B = \\{b, a_1 + b, a_2 + b, \ldots, a_n + b\\}$ であり、ここで、b は前行の「途中の」要素です。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-108-diophantine-reciprocals-i.md
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@ -14,7 +14,9 @@ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$
`n` = 4 のとき、ちょうど 3 つの相異なる解があります。
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\
\\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\
\\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
相異なる解の数が 1000 を超える最小の `n` の値を求めなさい。

7
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-109-darts.md
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@ -20,7 +20,12 @@ dashedName: problem-109-darts
プレイヤーが現在の得点で終了できることは「チェックアウト」と呼ばれます。チェックアウトでの最高スコアは 170: T20 T20 D25 (トリプルの 20 x 2 とダブルのブル) です。 スコア 6 でチェックアウトする方法は次ように 11 通りあります。
$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\ D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\ D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\ S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\ S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\ D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\
D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\
D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\
S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\
S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\
D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
注意点として、D1 D2 と D2 D1 は異なるダブルで終了したので互いに異なるとみなされます。 ただし、S1 T1 D1 の組み合わせは T1 S1 D1 と同じとみなされます。 また、組み合わせを考える際にミスは含まれません。例えば D3 は、0 D3 および 0 0 D3 と同じです。 チェックアウトの方法は全部でなんと 42336 通りもあります。 プレイヤーが 100 未満のスコアでチェックアウトする方法は何通りありますか。

9
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-122-efficient-exponentiation.md
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@ -14,11 +14,16 @@ $$n × n × \ldots × n = n^{15}$$
しかし、2 進法を使えば 6 回の乗算で計算できます。
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\ & n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\ & n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
& n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\
& n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\
& n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
しかし、わずか 5 回の乗算で計算することも可能です。
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\ & n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
& n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\
& n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
ここで、$n^k$ を計算するための最小の乗算回数を $m(k)$ とします。例えば $m(15) = 5$ です。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-137-fibonacci-golden-nuggets.md
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@ -14,7 +14,8 @@ dashedName: problem-137-fibonacci-golden-nuggets
驚くべきことに、次の式が成り立ちます。
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
最初の 5 つの自然数に対応する $x$ の値を下表に示します。

8
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-150-searching-a-triangular-array-for-a-sub-triangle-having-minimum-sum.md
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@ -17,13 +17,17 @@ dashedName: problem-150-searching-a-triangular-array-for-a-sub-triangle-having-m
ここでは 1000 段のそのような三角配列を作りたいので、次のように無作為数生成法 (線形合同法と呼ばれます) によって、値の範囲が $±2^{19}$ の擬似乱数 $s_k$ を 500500 個生成します。
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\ \\ & k = 1\\ \text{から}\\ k = 500500 \text{ に対して、}:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{mod}\\ 2^{20}\\\\ & s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\
\\ & k = 1\\ \text{から}\\ k = 500500 \text{ に対して、}:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{mod}\\ 2^{20}\\\\
& s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
したがって、$s_1 = 273519$, $s_2 = -153582$, $s_3 = 450905$ などのようになります。
次のように、疑似乱数からなる三角配列が得られます。
$$ s_1 \\\\ s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\ s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
$$ s_1 \\\\
s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\
s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
部分三角形は、配列内の任意の要素から開始し、好きなだけ下へ広げることができます (真下の段の 2 要素を次の段から取り、真下の3 要素をさらにその次の段から取り、それ以降も同様にします)。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-157-solving-the-diophantine-equation.md
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@ -12,7 +12,10 @@ $a$, $b$, $p$, $n$ を正の整数とし、$a ≤ b$ を満たすディオファ
$n = 1$ のとき、この方程式は次の 20 個の解を持ちます。
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\ \frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\
\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\
\frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
$1 ≤ n ≤ 9$ のとき、この方程式の解はいくつありますか。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-159-digital-root-sums-of-factorisations.md
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@ -12,7 +12,10 @@ dashedName: problem-159-digital-root-sums-of-factorisations
例えば、1 による乗算を除くと、24 は次の 7 通りに因数分解できます。
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\ & 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\ & 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\ & 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\
& 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\
& 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\
& 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
数字根とは何かを思い出してください。ある数の各位の和を求め、その結果が 10 未満になるまでそれを繰り返したときに得られる 10 進数が数字根です。 したがって、467 の数字根は 8 です。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-160-factorial-trailing-digits.md
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@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: problem-160-factorial-trailing-digits
例えば次のようになります。
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{したがって、} \\; f(9) = 36288 \\\\ & 10! = 3628800 \\; \text{したがって、} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{したがって、} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{したがって、} \\; f(9) = 36288 \\\\
& 10! = 3628800 \\; \text{したがって、} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{したがって、} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
$f(1,000,000,000,000)$ を求めなさい。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-163-cross-hatched-triangles.md
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@ -18,7 +18,8 @@ dashedName: problem-163-cross-hatched-triangles
大きさ $n$ の三角形に含まれる三角形の数を $T(n)$ とすると、次のようになります。
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\ & T(2) = 104 \end{align}$$
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\
& T(2) = 104 \end{align}$$
$T(36)$ を求めなさい。

8
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-165-intersections.md
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@ -16,13 +16,17 @@ dashedName: problem-165-intersections
3 本の線分 $L_1$, $L_2$, $L_3$ について考えます。
$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{から}\\; (12, 32) \\\\ & L_2: (46, 53) \\;\text{から}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{から}\\; (22, 40) \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{から}\\; (12, 32) \\\\
& L_2: (46, 53) \\;\text{から}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{から}\\; (22, 40) \\\\
\end{align}$$
線分 $L_2$ と $L_3$ が真の交点を持つことを確認できます。 なお、$L_3$ の一方の端点 (22, 40) は $L_1$ 上にありますが、これを真の交点とはみなしません。 $L_1$ と $L_2$ に共有点はありません。 したがって、この 3 本の線分には真の交差点が 1 つあります。
次に、5000 本の線分について同じことをします。 このために、"Blum Blum Shub" と呼ばれる擬似乱数法を使用して 20000 個の数を生成します。
$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\ & s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{mod}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{mod}\\; 500) \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\
& s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{mod}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{mod}\\; 500) \\\\
\end{align}$$
それぞれの線分を作成するには、4 つの連続数字 $t_n$ を使用します。 つまり、最初の線分は次によって与えられます。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-166-criss-cross.md
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-166-criss-cross
次のような格子です。
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\ 5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\
5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\
1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
この格子の各行と各列の和はそれぞれ 12 です。 また、各対角線の和も 12 です。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-169-exploring-the-number-of-different-ways-a-number-can-be-expressed-as-a-sum-of-powers-of-2.md
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@ -14,7 +14,9 @@ $f(0)=1$ と定義し、$n$ を 2 の整数乗の和で表す方法が何通り
例えば、10 を表す方法は次のように 5 通りあるので、$f(10)=5$ です。
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\ & 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\ & 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\
& 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\
& 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
$f({10}^{25})$ を求めなさい。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-170-find-the-largest-0-to-9-pandigital-that-can-be-formed-by-concatenating-products.md
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@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: >-
6 に 1273 と 9854 をそれぞれ掛けると、次のようになります。
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\ & 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\
& 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
これらの積を連結すると、1 から 9 のパンデジタル数 763859124 になります。 ここでは、763859124 を「6 と (1273, 9854) の連結積」と呼ぶことにします。 注目すべき点として、元の 3 つの数を連結した数 612739854 もまた 1 から 9 のパンデジタル数になっています。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-171-finding-numbers-for-which-the-sum-of-the-squares-of-the-digits-is-a-square.md
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: >-
正の整数 $n$ について、$n$ の各位 (10 進数) の平方和を $f(n)$ とします。下に例を示します。
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\ & f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\
& f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\
\end{align}$$
$0 < n < {10}^{20}$ のとき、$f(n)$ が完全平方数になるような $n$ の総和の下位 9 桁を求めなさい。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables
任意の整数 $n$ について、次の 3 つの関数を考えます。
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\ & f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\
& f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
これらを合体させたものを次のように定義します。

18
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-185-number-mind.md
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@ -14,13 +14,27 @@ dashedName: problem-185-number-mind
例えば、5 桁の秘密の数列について次の推理が与えられます。
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 70794 ;0\\;\text{個正しい}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 34109 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 12531 ;1\\;\text{個正しい} \end{align}$$
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{個正しい}\\\\
& 70794 ;0\\;\text{個正しい}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{個正しい}\\\\
& 34109 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{個正しい}\\\\
& 12531 ;1\\;\text{個正しい} \end{align}$$
正解の数列は 39542 だけです。
次の推理が与えられたとします。
$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 3847439647293047 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 9742855507068353 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 3174248439465858 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 7890971548908067 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 2615250744386899 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 6375711915077050 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 6442889055042768 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{個正しい}\\\\ & 2326509471271448 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 1748270476758276 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 3041631117224635 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 2659862637316867 ;2\\;\text{個正しい} \end{align}$$
$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{個正しい}\\\\
& 3847439647293047 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{個正しい}\\\\
& 9742855507068353 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{個正しい}\\\\
& 3174248439465858 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{個正しい}\\\\
& 7890971548908067 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{個正しい}\\\\
& 2615250744386899 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{個正しい}\\\\
& 6375711915077050 ;1\\;\text{個正しい}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{個正しい}\\\\
& 6442889055042768 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{個正しい}\\\\
& 2326509471271448 ;2\\;\text{個正しい}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{個正しい}\\\\
& 1748270476758276 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{個正しい}\\\\
& 3041631117224635 ;3\\;\text{個正しい}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{個正しい}\\\\
& 2659862637316867 ;2\\;\text{個正しい} \end{align}$$
これらに基づき、唯一の正解である 16 桁の数列を求めなさい。

8
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-196-prime-triplets.md
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@ -10,7 +10,13 @@ dashedName: problem-196-prime-triplets
正の整数をすべて使用して下図のように三角形を作ります。
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\ & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\ & \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\ & 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\ & \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\ & 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\ & \cdots \end{array}$$
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\
& \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\
& \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\
& 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\
& \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\
& 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\
& \cdots \end{array}$$
それぞれの正の整数は、三角形の中で最大 8 つの整数と隣接しています。

12
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-201-subsets-with-a-unique-sum.md
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@ -12,7 +12,17 @@ dashedName: problem-201-subsets-with-a-unique-sum
集合 $B = \\{1,3,6,8,10,11\\}$ を考えてみます。 $B$ には 3 要素からなる部分集合が 20 個あり、それぞれの和は次のとおりです。
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\ & sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\ & sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\ & sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\ & sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\
& sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\
& sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\
& sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\
& sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\
& sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\
& sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\
& sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\
& sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\
& sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\
& sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
これらの和には、複数回現れるものと、1 回のみ現れるものがあります。 集合 $A$ について、$A$ の $k$ 個の要素からなる部分集合のうち、その和が全体で 1 回だけ現れるような集合を $U(A,k) と表すことにします。上の例では、$U(B,3) = \\{10,12,14,18,21,25,27,29\\}$ かつ $sum(U(B,3)) = 156$ です。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-203-squarefree-binomial-coefficients.md
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@ -10,7 +10,11 @@ dashedName: problem-203-squarefree-binomial-coefficients
二項係数 $\displaystyle\binom{n}{k}$ は下図のように三角形に並べることができます。これがパスカルの三角形です。
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\ & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\ & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\ & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\ 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\
& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\
& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\
& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\
1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
パスカルの三角形の上 8 段に 12 個の相異なる数 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21, 35) が含まれていることが分かります。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-207-integer-partition-equations.md
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@ -20,7 +20,11 @@ $t$ も整数であるような分割は「完全」な分割と呼ばれます
下表に、$P(m)$ の値をいくつか示します。
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\ & P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\ & P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\ & P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\ & P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\
& P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\
& P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\
& P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\
& P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
$P(m) < \frac{1}{12\\,345}$ となる最小の $m$ を求めなさい。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-212-combined-volume-of-cuboids.md
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@ -12,7 +12,10 @@ dashedName: problem-212-combined-volume-of-cuboids
$C_n$ が次のようなパラメータを持ち、座標軸に平行に置かれた直方体 5000 個の集まりを、$C_1, \ldots, C_{50000}$ とします。
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{mod} \\; 10000 \\\\ & y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{mod} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{mod} \\; 10000 \\\\ & dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{mod} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{mod} \\; 399) \\\\ & dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{mod} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{mod} \\; 10000 \\\\
& y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{mod} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{mod} \\; 10000 \\\\
& dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{mod} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{mod} \\; 399) \\\\
& dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{mod} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
ここで、$S_1, \ldots, S_{300000}$ は「ラグ付きフィボナッチ 法」により生成されます。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-214-totient-chains.md
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@ -12,7 +12,11 @@ $φ$ をオイラーのトーティエント関数とします。つまり、自
$φ$ を繰り返すと、それぞれの正の整数が作る鎖の中で値が徐々に小さくなり、最終的に 1 になります。 例えば、 5 から始めると 5, 4, 2, 1 の数列になります。 長さが 4 である鎖をすべて下に示します。
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\ 7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\ 9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\ 12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\ 18,6,2,1 & \end{align}$$
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\
7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\
9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\
12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\
18,6,2,1 & \end{align}$$
これらの鎖のうち 2 つのみが素数から始まり、その和は 12 です。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-228-minkowski-sums.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-228-minkowski-sums
各頂点 $v_k (k = 1, 2, \ldots, n)$ が次の座標であるような正 $n$ 角形を $S_n$ とします。
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\ & y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\
& y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
それぞれの $S_n$ は、周辺上と内部のすべての点からなる、塗りつぶされた図形として解釈されます。

8
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-229-four-representations-using-squares.md
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@ -10,13 +10,17 @@ dashedName: problem-229-four-representations-using-squares
3600 という数について考えます。 これは、次の式が成り立つ極めて特殊な数です。
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\ & 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\ & 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\
& 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\
& 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
同様に、$88201 = {99}^2 + {280}^2 = {287}^2 + 2 × {54}^2 = {283}^2 + 3 × {52}^2 = {197}^2 + 7 × {84}^2$ です。
1747年にオイラーは、2 つの平方数の和として表せるのはどのような数字かを証明しました。 ここでは、次の 4 通りのいずれでも表せる数 $n$ に注目します。
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\ & n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\ & n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\
& n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\
& n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
ここで、$a_k$ と $b_k$ は正の整数です。

10
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-230-fibonacci-words.md
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@ -18,17 +18,21 @@ $A = 1\\,415\\,926\\,535$, $B = 8\\,979\\,323\\,846$ とします。 ここで
$F_{A,B} の最初のいくつかの項は次のとおりです。
$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\ & 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\
& 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\
& 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
次に、$D_{A,B}(35)$ は第 5 項の ${35}$ 桁目であり、それは 9 です。
ここで、$π$ の小数第 100 位までを $A$ とします。
$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\ & 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\
& 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
そして、次の 100 桁を $B$ とします。
$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\ & 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\
& 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
$\sum_{n = 0, 1, \ldots, 17} {10}^n × D_{A,B}((127 + 19n) × 7^n)$ を求めなさい。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-238-infinite-string-tour.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-238-infinite-string-tour
"Blum Blum Shub" 擬似乱数法により次の数列を作ります。
$$ s_0 = 14025256 \\\\ s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
$$ s_0 = 14025256 \\\\
s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
これらの数 $s_0s_1s_2\ldots$ を連結して、無限長の文字列 $w$ を作成します。 したがって、$w = 14025256741014958470038053646\ldots$ です。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-240-top-dice.md
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-240-top-dice
6 面のサイコロ (各面の数字は 1 から 6) を 5 個振り、出目の上位 3 個の和が 15 になるケースは 1111 通りあります。 その例をいくつか下に示します。
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
12 面のサイコロ (各面の数字は 1 から 12) を 20 個振り、出目の上位 10 個の和が 70 になるケースは何通りありますか?

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-244-sliders.md
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@ -16,7 +16,9 @@ dashedName: problem-244-sliders
それぞれの経路について、下記 (擬似コード) によってそのチェックサムが計算されます。
$$\begin{align} & \text{チェックサム} = 0 \\\\ & \text{チェックサム} = (\text{チェックサム} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{チェックサム} = (\text{チェックサム} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \ldots \\\\ & \text{チェックサム} = (\text{チェックサム} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
$$\begin{align} & \text{チェックサム} = 0 \\\\
& \text{チェックサム} = (\text{チェックサム} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{チェックサム} = (\text{チェックサム} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\
& \ldots \\\\ & \text{チェックサム} = (\text{チェックサム} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
ここで、$m_k$ は移動を表す文字列の $k$ 番目の文字の ASCII コード値です。この移動の ASCII コードを下表に示します。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-252-convex-holes.md
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@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-252-convex-holes
この例では、次の擬似乱数法によって生成された最初の 20 個の点 ($T_{2k − 1}$, $T_{2k}$) (ここで $k = 1, 2, \ldots, 20$) を使用しました。
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
すなわち、(527, 144), (−488, 732), (−454, −947), …です。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-255-rounded-square-roots.md
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@ -28,7 +28,8 @@ $x_{k + 1} = x_k$ になったら止めます。
$n$ は 4 桁あるので、$x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$ です。
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\
x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
$x_2 = x_1$ なので、ここで止めます。 したがって、ほんの 2 回繰り返すだけで、4321 の丸め平方根が 66 であることが分かりました (実際の平方根は65.7343137…)。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-261-pivotal-square-sums.md
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@ -14,7 +14,9 @@ $${(k - m)}^2 + \ldots + k^2 = {(n + 1)}^2 + \ldots + {(n + m)}^2$$
小さい平方ピボットをいくつか下に示します。
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\ & \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\ & \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\
& \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\
& \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
${10}^{10}$ 以下の相異なる平方ピボットの総和を求めなさい。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-282-the-ackermann-function.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-282-the-ackermann-function
負でない整数 $m$, $n$ に対して、アッカーマン関数 $A(m, n)$ は次のように定義されます。
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{$m = 0$ の場合} \\\\ A(m - 1, 1) & \text{$m > 0$ かつ $n = 0$ の場合} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{$m > 0$ かつ $n > 0$ の場合} \end{cases}$$
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{$m = 0$ の場合} \\\\
A(m - 1, 1) & \text{$m > 0$ かつ $n = 0$ の場合} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{$m > 0$ かつ $n > 0$ の場合} \end{cases}$$
例えば、$A(1, 0) = 2$, $A(2, 2) = 7$, $A(3, 4) = 125$ です。

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curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-288-an-enormous-factorial.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-288-an-enormous-factorial
任意の素数 $p$ に対し、数 $N(p,q)$ は $N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$ と定義されます。$T_n$ は下の乱数生成法で生成されます。
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\ & S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\
& S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
$Nfac(p,q)$ を、$N(p,q)$ の階乗と定義します。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-295-lenticular-holes.md
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@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-295-lenticular-holes
次のような円を考えます。
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\ & C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\
& C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
円 $C_0$, $C_1$, $C_2$ を下図に示します。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-312-cyclic-paths-on-sierpiski-graphs.md
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@ -19,7 +19,9 @@ $S_n$ のすべての頂点をちょうど 1 回ずつ通る循環路の数を
次のことも確認できます。
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\ & C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\ & C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\
& C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\
& C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
$C(C(C(10\\,000)))\bmod {13}^8$ を求めなさい。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-318-2011-nines.md
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@ -12,7 +12,11 @@ dashedName: problem-318-2011-nines
$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の偶数乗を計算すると、次のようになります。
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
これらの累乗の分数部を見ると、先頭で連続している 9 の個数が非減少であるように見えます。 実際に、$n$ が大きいと ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ の小数部が 1 に近付くということを証明できます。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-324-building-a-tower.md
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@ -12,7 +12,9 @@ $3×3×n$ の塔を $2×1×1×1$ のブロックで埋める方法が何通り
次に例を示します ($q = 100\\,000\\,007$ の場合)。
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\ & f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\ & f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\
& f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\
& f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
$f({10}^{10000})\bmod 100\\,000\\,007$ を求めなさい。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-330-eulers-number.md
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@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-330-eulers-number
すべての整数 $n$ について、実数の無限数列 $a(n)$ は次のように定義されます。
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\ \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\
\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
例えば次のようになります。
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\ & a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\
& a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
ここで、$e = 2.7182818\ldots$ はオイラーの定数です。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-333-special-partitions.md
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@ -14,7 +14,8 @@ dashedName: problem-333-special-partitions
多くの整数には有効な分割が複数個あります。そのような最初の数は 11 であり、次の 2 つの分割があります。
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\ & 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\
& 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
$n$ の有効な分割の数を $P(n)$ とします。 例えば、$P(11) = 2$ です。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-334-spilling-the-beans.md
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@ -16,7 +16,10 @@ dashedName: problem-334-spilling-the-beans
次の数列が与えられます。
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\ & t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{$t_{i - 1}$ が偶数の場合} \\\\ \left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{$t_{i - 1}$ が奇数の場合} \end{cases} \\\\ & \qquad \text{ここで、$⌊x⌋$ は床関数、$\oplus$ はビット排他論理和演算子} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1 \end{align}$$
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\
& t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{$t_{i - 1}$ が偶数の場合} \\\\
\left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{$t_{i - 1}$ が奇数の場合} \end{cases} \\\\
& \qquad \text{ここで、$⌊x⌋$ は床関数、$\oplus$ はビット排他論理和演算子} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1 \end{align}$$
最後の数列に含まれる最初の 2 項は $b_1 = 289$ と $b_2 = 145$ です。 隣り合う 2 つのボウルでそれぞれ $b_1$ 個と $b_2$ 個の豆から始めると、ゲームを終えるまでに 3419100 回動かす必要があります。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-340-crazy-function.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-340-crazy-function
固定小数点整数 $a$, $b$, $c$ について、クレイジー関数 (crazy function) $F(n)$ を次のように定義します。
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ (すべての } n > b \text{ に対して)}\\\\ & F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ (すべての } n ≤ b \text{ に対して)} \end{align}$$
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ (すべての } n > b \text{ に対して)}\\\\
& F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ (すべての } n ≤ b \text{ に対して)} \end{align}$$
また、$S(a, b, c) = \displaystyle\sum_{n = 0}^b F(n)$ と定義します。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-341-golombs-self-describing-sequence.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-341-golombs-self-describing-sequence
ゴロムの自己記述的数列 ($G(n)$) は、数列内に $n$ がちょうど $G(n)$ 回現れるような、自然数の非減少数列です。 最初の数個の $n$ に対する $G(n)$ の値を次に示します。
$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\ G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\
G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
$G({10}^3) = 86$, $G({10}^6) = 6137$ が与えられます。

13
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-345-matrix-sum.md
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@ -12,11 +12,20 @@ dashedName: problem-345-matrix-sum
例えば次の行列では、行列の和は $3315 (= 863 + 383 + 343 + 959 + 767)$ です。
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\ 497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\
497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\
627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
次の行列の行列和を求めなさい。
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\ 217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\ 870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\ 322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\ 414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\ 821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\ 815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\
627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\
217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\
870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\
322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\
414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\
821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\
815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
# --hints--

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-348-sum-of-a-square-and-a-cube.md
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@ -14,7 +14,9 @@ dashedName: problem-348-sum-of-a-square-and-a-cube
例えば、5229225 は回文数であり、ちょうど 4 通りの表し方があります。
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\ & {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\ & {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\
& {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\
& {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
このような回文数のうち最小の数 5 つの和を求めなさい。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-350-constraining-the-least-greatest-and-the-greatest-least.md
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@ -16,7 +16,9 @@ dashedName: problem-350-constraining-the-least-greatest-and-the-greatest-least
$gcd ≥ G$ かつ $lcm ≤ L$ を満たすサイズ $N$ のリストの個数を $f(G, L, N)$ とします。 例えば、次のようになります。
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\ & f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\ & f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\
& f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\
& f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
$f({10}^6, {10}^{12}, {10}^{18})\bmod {101}^4$ を求めなさい。

9
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-358-cyclic-numbers.md
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@ -14,11 +14,16 @@ $n$ 桁の巡回数は非常に興味深い性質を持っています:
最小の巡回数は、6 桁の数 142857 です。
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\ & 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\ & 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\ & 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\
& 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\
& 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\
& 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
次の巡回数は、16 桁の 0588235294117647 です。
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\ & 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\ & \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\
& 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\
& \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
なお、巡回数では先行ゼロが重要です。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-359-hilberts-new-hotel.md
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@ -27,7 +27,10 @@ dashedName: problem-359-hilberts-new-hotel
$P(f, r)$ の結果を次のように定義します: $n$ 番目の人が $f$ 階の $r$ 号室を取る場合は $n$、誰もその部屋を取らない場合は 0 になります。 いくつかの例を次に示します。
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\ & P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\ & P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\
& P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\
& P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\
& P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
$f × r = 71\\,328\\,803\\,586\\,048$ となるすべての正の数 $f$, $r$ について $P(f, r)$ の総和を求め、下位 8 桁を答えなさい。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-361-subsequence-of-thue-morse-sequence.md
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@ -20,7 +20,8 @@ $\\{T_n\\}$ の最初のいくつかの項が次のように与えられます:
$A_n$ の最初のいくつかの項が次のように与えられます。
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\ A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\
A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
また、$A_{100} = 3251$ および $A_{1000} = 80\\,852\\,364\\,498$ であることも確認できます。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-368-a-kempner-like-series.md
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@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-368-a-kempner-like-series
削除される 20 項は次のとおりです。
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\ \dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\
\dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
この級数も同様に収束します。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-375-minimum-of-subsequences.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-375-minimum-of-subsequences
以下に述べる疑似乱数生成器で作成した整数の数列を $S_n$ とします。
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
$i ≤ j$ に対する数 $S_i, S_{i + 1}, \ldots, S_j$ のうちの最小数を $A(i, j)$ とします。 $1 ≤ i ≤ j ≤ N$ のとき、$M(N) = \sum A(i, j)$ とします。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-376-nontransitive-sets-of-dice.md
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-376-nontransitive-sets-of-dice
通常とは異なる目を持つ、以下のようなサイコロの集合について考えます。
$$\begin{array}{} \text{サイコロ A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\ \text{サイコロ B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{サイコロ C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\ \end{array}$$
$$\begin{array}{} \text{サイコロ A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\
\text{サイコロ B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{サイコロ C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\
\end{array}$$
ゲームでは、2 人のプレイヤーが交互にサイコロを選び、振ります。 最大の目を出したプレイヤーが勝者です。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-38-pandigital-multiples.md
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-38-pandigital-multiples
192 に 1, 2, 3 をそれぞれ乗じます。
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\ 192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\
192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\
\end{align}$$
それぞれの積を連結すると、1 から 9 のパンデジタル数 192384576 になります。 192384576 を 192 と (1, 2, 3) の「連結積」と呼ぶことにします。

7
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-384-rudin-shapiro-sequence.md
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@ -18,7 +18,9 @@ $b(n)$ の総和数列 $s(n) = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} b(i)$ も考えま
これらの数列の最初のいくつかの組み合わせは次のようになります。
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
数列 $s(n)$ は驚くべき性質を持っています。すべての要素が正の数であり、正の整数 $k$ がいずれもちょうど $k$ 回現れるという性質です。
@ -28,7 +30,8 @@ $s(n)$ の中で $t$ が $c$ 回目に現れたときの $s(n)$ 内でのイン
$F(n)$ を、以下の式で定義されるフィボナッチ数列とします。
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{かつ} \\\\ & n > 1 \text{のとき} F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \end{align}$$
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{かつ} \\\\
& n > 1 \text{のとき} F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \end{align}$$
$GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$ と定義します。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-406-guessing-game.md
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@ -32,7 +32,9 @@ dashedName: problem-406-guessing-game
いくつかの例を次に示します。
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\ & C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\ & C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\
& C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\
& C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
$F_1 = F_2 = 1$ を初期条件とするフィボナッチ数 $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ を $F_k$ と定義します。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-414-kaprekar-constant.md
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@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-414-kaprekar-constant
例えば、 数 0837 から始めると次のようになります。
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\
& 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
6174 はカプレカ定数と呼ばれます。 0 かカプレカ定数になるまでこのように並べ替えと減算を繰り返すプロセスは、カプレカ操作と呼ばれます。

7
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-417-reciprocal-cycles-ii.md
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@ -10,7 +10,12 @@ dashedName: problem-417-reciprocal-cycles-ii
単位分数とは分子が 1 である分数です。 分母が 2 から 10 までの単位分数を小数で表すと、次のようになります。
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\ & \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\ & \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\ & \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\ & \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\
& \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\
& \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\
& \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\
& \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\
\end{align}$$
この中の $0.1(6)$ は $0.16666\ldots$ を意味し、1 桁の循環節を持ちます。 $\frac{1}{7}$ には 6 桁の循環節があることが分かります。

9
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-420-2x2-positive-integer-matrix.md
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@ -12,11 +12,14 @@ dashedName: problem-420-2x2-positive-integer-matrix
一部の正整数行列中は、正整数行列の 2 乗として 2 通りに表すことができます。 次に例を示します。
$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\ 48 & 40 \end{pmatrix}=
$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\
48 & 40 \end{pmatrix}=
{\begin{pmatrix}
2 & 3 \\\\ 12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
2 & 3 \\\\
12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
{\begin{pmatrix}
6 & 1 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
6 & 1 \\\\
4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
対角和が N 未満であり、かつ、正整数行列の 2 乗として 2 通りに表せる 2x2 の正整数行列の個数を $F(N)$ とします。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-423-consecutive-die-throws.md
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@ -14,7 +14,8 @@ $n$ を正の整数とします。
例えば、$n = 7$、サイコロの出目が (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3) の場合、連続する同じ出目の対は次のとおりです。
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\
& (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
したがって、(1, 1, 5, 6, 6, 6, 3) のとき、$c = 3$ になります。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-426-box-ball-system.md
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@ -24,7 +24,8 @@ dashedName: problem-426-box-ball-system
数列 $\\{t_i\\}$ を次のように定義します。
$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\ & s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\
& s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
初期配置 $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$ から開始すると、最終状態は [1, 3, 10, 24, 51, 75] となります。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-433-steps-in-euclids-algorithm.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-433-steps-in-euclids-algorithm
$x_0$ と $y_0$ の最大公約数をユークリッドの互除法によって決定するために必要なステップ数を、$E(x_0, y_0)$ とします。 より形式的に表すと、次のようになります。
$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\ & x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\
& x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
$E(x_0, y_0)$ は $y_n = 0$ となるような最小の $n$ です。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-437-fibonacci-primitive-roots.md
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@ -16,7 +16,11 @@ $n$ が 0 から 9 のとき、$8^n$ mod 11 を求めると 1, 8, 9, 6, 4, 10, 3
よく見ると次のことが分かります。
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\ & 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\ & 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\ & 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\ & 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\
& 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\
& 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\
& 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\
& 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
したがって、8 の累乗を 11 で除した余りは周期 10 で循環し、$8^n + 8^{n + 1} ≡ 8^{n + 2} (\text{mod } 11)$ です。 8 は 11 のフィボナッチ原始根と呼ばれます。

3
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-440-gcd-and-tiling.md
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@ -24,7 +24,8 @@ $1 ≤ a, b, c ≤ L$ のとき、三重和 $\sum_{a, b, c} gcd(T(c^a), T(c^b))$
例えば、次のようになります。
$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\ & S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\
& S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
$S(2000)\bmod 987\\,898\\,789$ を求めなさい。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-443-gcd-sequence.md
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@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-443-gcd-sequence
次のように定義される数列を $g(n)$ とします。
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\ & n > 4 \text{ のとき、} g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \end{align}$$
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\
& n > 4 \text{ のとき、} g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \end{align}$$
最初のいくつかの値は次のようになります。
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\ g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\
g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
$g(1\\,000) = 2\\,524$, $g(1\\,000\\,000) = 2\\,624\\,152$ が与えられます。

5
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-451-modular-inverses.md
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@ -14,7 +14,10 @@ dashedName: problem-451-modular-inverses
それらの数の 15 を法とするモジュラ逆数は、1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14 です。理由は次のとおりです。
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\ & 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\ & 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
$m$ の $n$ を法とするモジュラ逆数が $m$ 自体に等しくなるような、$n - 1$ 未満の最大の正の数 $m$ を $I(n)$ とします。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-455-powers-with-trailing-digits.md
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@ -12,7 +12,9 @@ $n^x$ の下位 9 桁が $x$ (先行ゼロを含む) になるような ${10}^9$
次に例を示します。
$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = ...490\underline{411728896}) \\\\ & f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\ & Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = ...490\underline{411728896}) \\\\
& f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\
& Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
$2 ≤ n ≤ {10}^6$ のとき、$\sum f(n)$ を求めなさい。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-456-triangles-containing-the-origin-ii.md
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-456-triangles-containing-the-origin-ii
以下のように定義します。
$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\
& y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
例: $$P_8 = \\{(-14913, -6630), (-10161, 5625), (5226, 11896), (8340, -10778), (15852, -5203), (-15165, 11295), (-1427, -14495), (12407, 1060)\\}$$
@ -18,7 +19,8 @@ $P_n$ に含まれる点を頂点とし、かつ原点を内包するような
例:
$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\ & C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\
& C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
$C(2\\,000\\,000)$ を求めなさい。

4
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-463-a-weird-recurrence-relation.md
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-463-a-weird-recurrence-relation
すべての正の整数に対して関数 $f$ が次のように定義されます。
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\ & f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\ & f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\
& f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\
& f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
関数 $S(n)$ は $\sum_{i=1}^{n} f(i)$ と定義されます。

8
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-466-distinct-terms-in-a-multiplication-table.md
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@ -12,13 +12,17 @@ $m×n$ の掛け算表の相異なる項の個数を $P(m,n)$ とします。
例えば、3×4 の掛け算表は次のようになります。
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\ \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ \mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\
\mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\
\mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
8 つの相異なる項 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12} があるので、$P(3, 4) = 8$ です。
次が与えられます。
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263\\\\ & P(12, 345) = 1\\,998 \text{ および} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263\\\\
& P(12, 345) = 1\\,998 \text{ および} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302 \\\\
\end{align}$$
$P(64, {10}^{16})$ を求めなさい。

9
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-467-superinteger.md
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@ -14,15 +14,18 @@ dashedName: problem-467-superinteger
$p(n)$ を $n$ 番目の素数とし、$c(n)$ を $n$ 番目の合成数とします。 例えば、$p(1) = 2$, $p(10) = 29$, $c(1) = 4$, $c(10) = 18$ です。
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\ & \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\
& \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
$\\{p(i)\\}$ の数字根からなる数列を $P^D$ とすると、次のようになります ($C^D$ は $\\{c(i)\\}$ に対して同様に定義されます)。
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\ & C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\
& C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
$P^D$ の最初の $n$ 個の要素をつなげた整数を $P_n$ とします ($C_n$ は $C^D$ に対して同様に定義されます)。
$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\ & C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\
& C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
$P_n$ と $C_n$ の共通の超越整数である最小の正の整数を、$f(n)$ とします。 例えば、$f(10) = 2\\,357\\,246\\,891\\,352\\,679$, $f(100)\bmod 1\\,000\\,000\\,007 = 771\\,661\\,825$ です。

6
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-468-smooth-divisors-of-binomial-coefficients.md
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@ -14,13 +14,15 @@ $n$ の最大の B-smooth 約数を $SB(n)$ とします。
例:
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\ & S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\
& S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
$F(n) = \displaystyle\sum_{B = 1}^n \sum_{r = 0}^n S_B(\displaystyle\binom{n}{r})$ と定義します。 ここで、$\displaystyle\binom{n}{r}$ は二項係数を表します。
例:
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\ & F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\
& F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
$F(11\\,111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993$ を求めなさい。

20
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-480-the-last-question.md
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@ -16,7 +16,21 @@ $$\mathbf{\text{thereisasyetinsufficientdataforameaningfulanswer}}$$
そのリストには以下が含まれるでしょう。
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\ & 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\ & 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\ & 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\ & 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\ & 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\ & 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\ & \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\ & 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\ & \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\ & 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\ & ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\
& 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\
& 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\
& 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\
& 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\
& 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\
& 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\
& 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\
& 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\
& \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\
& 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\
& \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\
& 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\
& ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\
\end{align}$$
$P(w)$ を、単語 $w$ の位置とします。
@ -26,7 +40,9 @@ $P(w)$ と $W(p)$ は逆元であることがわかります。つまり、$P(W(
例:
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\ & P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\ & P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\
& P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\
& P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
$$W(P(\text{legionary}) + P(\text{calorimeters}) - P(\text{annihilate}) + P(\text{orchestrated}) - P(\text{fluttering}))$$ を求めなさい。

8
curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-74-digit-factorial-chains.md
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@ -14,11 +14,15 @@ $$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$
169 にはあまり知られていない性質があります。169 は、その数自体に戻るまでの数の連鎖が最長です。このようなループは次の 3 つしか存在しません。
$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\ &871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\
&871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\
\end{align}$$
どの数から始めても最終的にはループに入るということを証明するのは難しくありません。 下に例を挙げます。
$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\ &78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\
&78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\
\end{align}$$
69 から始めると 5 つの非反復項を持つ連鎖になりますが、100 万より小さい数から始めると、最長の非反復連鎖は 60 項です。

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curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-81-path-sum-two-ways.md
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-81-path-sum-two-ways
下の 5 x 5 行列において、**右と下への移動のみ**により左上から右下へ移動するものとします。和が最小になる経路が赤い太字で示され、その和は `2427` になります。
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
行列を表す二次元配列 `matrix` において、右と下への移動のみにより左上から右下へ到達する経路の最小和を求めなさい。 このテストで使用される行列の大きさは最大 80 x 80 です。

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curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-82-path-sum-three-ways.md
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-82-path-sum-three-ways
下の 5 x 5 行列において、左列の任意のセルから始め、上、下、右のみに移動して右列の任意のセルで終わるものとします。和が最小になる経路が赤い太字で示され、その和は `994` になります。
$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\
537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
行列を表す二次元配列 `matrix` において、左列から右列へ到達する経路の最小和を求めなさい。 このテストで使用される行列の大きさは最大 80 x 80 です。

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curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-83-path-sum-four-ways.md
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-83-path-sum-four-ways
下の 5 x 5 行列において、上下左右に移動して左上から右下へ移動するものとします。和が最小になる経路が赤い太字で示され、その和は `2297` になります。
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
行列を表す二次元配列 `matrix` において、上下左右への移動により左上から右下へ到達する経路の最小和を求めなさい。 このテストで使用される行列の大きさは最大 80 x 80 です。

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curriculum/challenges/japanese/10-coding-interview-prep/project-euler/problem-92-square-digit-chains.md
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@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: problem-92-square-digit-chains
例えば次のようになります。
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\ & 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
したがって、1 または 89 に達する連鎖はすべて無限ループに入ります。 最も驚くべきことは、どの数から始めても最終的に 1 または 89 に達するということです。