chore(i18n,learn): processed translations (#45670)
This commit is contained in:
camperbot
GitHub
@ -20,7 +20,9 @@ dashedName: problem-101-optimum-polynomial
|
||||
|
||||
Звідси отримуємо такі оптимальні многочлени для кубічної послідовності:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
|
||||
OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
|
||||
OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Очевидно, не існує BOP для k ≥ 4. Враховуючи суму перших неправильних членів, створених поганими оптимальними многочленами (зазначені у $\color{red}{red}$ вище), отримуємо 1 + 15 + 58 = 74. Розгляньмо твірну функцію для многочлена десятого степеня:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -15,7 +15,10 @@ dashedName: problem-103-special-subset-sums-optimum
|
||||
|
||||
Якщо $S(A)$ обмежене даним n, назвемо його оптимальним набором особливих сум. Перші п'ять оптимальних особливих сум наведені нижче.
|
||||
|
||||
$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\ & n = 2: \\{1, 2\\} \\ & n = 3: \\{2, 3, 3, 4\\} \\\\ & n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\ \end{align}$$
|
||||
$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\
|
||||
& n = 2: \\{1, 2\\} \\ & n = 3: \\{2, 3, 3, 4\\} \\\\
|
||||
& n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Здається, що для даного оптимального набору $A = \\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$, наступний оптимальний набір у вигляді $B = \\{b, a_1 + b, a_2 + b, \ldots, a_n + b\\}$, де b - середній елемент з попереднього рядка.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ $$\frac{1}{x} + \frac{{1}{y} = \frac{1}{n}$$
|
||||
|
||||
Для `n` = 4 існує три різних рішення:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\
|
||||
\\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\
|
||||
\\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Яке найменше значення `n`, для якого кількість рішень перевищує тисячу?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,12 @@ dashedName: problem-109-darts
|
||||
|
||||
"Чекаут" – коли гравець може завершити гру при поточному рахунку; найвищий чекаут – 170: T20 T25 D25 (два попадання у потрійне 20 та в яблучко). Існує одинадцять різних варіантів чекауту при рахунку 6:
|
||||
|
||||
$$\початок{array} \text{D3} & & \\\\ D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\ D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\ S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\ S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\ D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \кінець{array}$$
|
||||
$$\початок{array} \text{D3} & & \\\\
|
||||
D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\
|
||||
D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\
|
||||
S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\
|
||||
S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\
|
||||
D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \кінець{array}$$
|
||||
|
||||
Зверніть увагу, що D1 D2 відрізняється від D2 D1, оскільки вони закінчуються різними подвоєннями. Однак, комбінація S1 T1 D1 вважається такою ж, як і T1 S1 D1. До того ж, не потрібно вказувати промахи у комбінаціях; наприклад, D3 це те саме, що й 0 D3 і 0 0 D3. Неймовірно, що загалом існує 42336 різних способів чекауту. Скільки різних способів чекауту має гравець з балом меншим за 100?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,16 @@ $$n × n × \ldots × n = n^{15}$$
|
||||
|
||||
Якщо скористатися "двійковим" методом, можна обчислити, виконавши 6 множень:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\ & n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\ & n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
|
||||
& n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\
|
||||
& n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\
|
||||
& n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Проте кількість множень ще можна зменшити до 5:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\ & n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
|
||||
& n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\
|
||||
& n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Визначаємо $m(k)$ як мінімальну кількість множень для обчислення $n^k$. Наприклад, $m(15) = 5$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ dashedName: problem-137-fibonacci-golden-nuggets
|
||||
|
||||
Дивовижно,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
|
||||
& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Відповідні значення $x$ для перших п'яти натуральних чисел наведено нижче.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -17,13 +17,17 @@ dashedName: problem-150-searching-a-triangular-array-for-a-sub-triangle-having-m
|
||||
|
||||
Ми хочемо створити такий трикутний масив з тисячею рядків, тому ми генеруємо 500500 псевдовипадкових чисел $s_k$ у діапазоні $±2^{19}$, використовуючи тип генератора випадкових чисел (відомий як лінійний конгруентний метод) наступним чином:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\ \text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\ & s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\
|
||||
\text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\
|
||||
& s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Таким чином: $s_1 = 273519$, $s_2 = −153582$, $s_3 = 450905$ і т. д.
|
||||
|
||||
Трикутний масив утворений з використанням псевдовипадкових чисел:
|
||||
|
||||
$$ s_1 \\\\ s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\ s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
|
||||
$$ s_1 \\\\
|
||||
s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\
|
||||
s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
|
||||
|
||||
Менші трикутники можуть починатися з будь-якого елемента масиву і сягати вниз як завгодно далеко (захоплюючи два елементи безпосередньо під ним з наступного ряду, три елементи безпосередньо під ним з наступного ряду і так далі).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ dashedName: problem-157-solving-the-diophantine-equation
|
||||
|
||||
Якщо $n = 1$ дане рівняння має 20 розв'язків, показаних нижче:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\ \frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
|
||||
|
||||
Скільки розв'язків має це рівняння, якщо $1 ≤ n 9$?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ dashedName: problem-159-digital-root-sums-of-factorisations
|
||||
|
||||
Наприклад, за виключенням множення на один, 24 можна факторизувати 7 різними способами:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\ & 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\ & 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\ & 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\
|
||||
& 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\
|
||||
& 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\
|
||||
& 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нагадаємо, що цифровий корінь числа в основі 10 знаходять додаванням цифр цього числа, повторюючи процес, поки число не буде менше ніж 10. Цифровий корінь 467 буде 8.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: problem-160-factorial-trailing-digits
|
||||
|
||||
Наприклад,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\ & 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\
|
||||
& 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $f(1,000,000,000,000)$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,8 @@ dashedName: problem-163-cross-hatched-triangles
|
||||
|
||||
Якщо позначити $T(n)$ як кількість трикутників, що містяться в трикутнику розміру $n$, тоді
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\ & T(2) = 104 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\
|
||||
& T(2) = 104 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $T(36)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,13 +16,17 @@ dashedName: problem-165-intersections
|
||||
|
||||
Розглянемо три сегменти $L_1$, $L_2$та $L_3$:
|
||||
|
||||
$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\ & L_2: (46, 53) \\;\tтекст{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\tтекст{to}\\; (22, 40) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\
|
||||
& L_2: (46, 53) \\;\tтекст{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\tтекст{to}\\; (22, 40) \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Можна перевірити, що відрізки ліній $L_2$ і $L_3$ мають справжню точку перетину. Ми зазначали, що, якщо одна з кінцевих точок $L_3$: (22, 40) лежить на $L_1$, це не вважається справжньою точкою перетину. $L_1$ і $L_2$ не мають спільної точки. Отже, на трьох відрізках прямої ми знаходимо одну справжню точку перетину.
|
||||
|
||||
Тепер зробімо те саме для 5000 прямих відрізків. З цією метою ми згенеруємо 20000 чисел, використовуючи так званий генератор псевдо-випадкових чисел «Blum Blum Shub».
|
||||
|
||||
$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\ & s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\ \end{align}$
|
||||
$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\
|
||||
& s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\
|
||||
\end{align}$
|
||||
|
||||
Щоб створити кожен відрізок, ми використовуємо чотири послідовних числа $t_n$. Тобто перший відрізок дано:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-166-criss-cross
|
||||
|
||||
Видно, що в таблиці
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\ 5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\
|
||||
5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\
|
||||
1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
|
||||
|
||||
сума кожного рядка та кожного стовпця має значення 12. Крім того, сума кожної діагоналі також дорівнює 12.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Наприклад: $f(10)=5$, оскільки існує 5 різних способів виразити 10:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\ & 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\ & 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\
|
||||
& 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\
|
||||
& 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Що таке $f({10}^{25})$?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Помножте число 6 на кожне з 1273 і 9854:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\ & 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\
|
||||
& 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Об’єднавши ці добутки, отримуємо панцифрове число від 1 до 9 - 763859124. Нехай 763859124 — об'єднаний добуток 6 і (1273, 9854)". Зауважте також, що об'єднання вхідних чисел 612739854 також становить панцифрове число від 1 до 9.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Для додатного цілого числа $n$, нехай $f(n)$ — це сума квадратів чисел (з основою 10) $n$, наприклад.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\ & f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\
|
||||
& f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть останні дев'ять чисел суми усіх $n$, $0 < n < {10}^{20}$, якщо $f(n)$ є повним квадратом.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables
|
||||
|
||||
Для будь-якого цілого числа $n$ розглянемо три функції
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\ & f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\
|
||||
& f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
|
||||
|
||||
та їхню комбінацію
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,10 @@ dashedName: problem-185-number-mind
|
||||
|
||||
Наприклад, для секретної послідовності 5 цифр,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Правильна послідовність 39542 унікальна.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,13 @@ dashedName: problem-196-prime-triplets
|
||||
|
||||
Побудуйте трикутник з усіх додатних чисел наступним чином:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\ & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\ & \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\ & 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\ & \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\ & 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\ & \cdots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\
|
||||
& \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\
|
||||
& \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\
|
||||
& 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\
|
||||
& \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\
|
||||
& 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\
|
||||
& \cdots \end{array}$$
|
||||
|
||||
У трикутнику біля кожного додатного числа є ще до восьми чисел.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,17 @@ dashedName: problem-201-subsets-with-a-unique-sum
|
||||
|
||||
Розглянемо набір $B = \\{1,3,6,8,10,11\\}$. Існує 20 підмножин $B$, що містять три елементи, і їх сумидорівнюють:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\ & sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\ & sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\ & sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\ & sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\
|
||||
& sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\
|
||||
& sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
|
||||
|
||||
Деякі з цих сум трапляються більше, ніж один раз, інші - унікальні. Для набору $A$ нехай $U(A,k)$ буде набором унікальних сум $k$-елементних підмножин $A$, у нашому прикладі ми знаходимо $U(B,3) = \\{10,12,14,18,21,25,27,29\\}$ і $sum(U(B,3)) = 156$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,11 @@ dashedName: problem-203-squarefree-binomial-coefficients
|
||||
|
||||
Біноміальні коефіцієнти $\displaystyle\binom{n}{k}$ можна розташувати у формі трикутника (трикутник Паскаля) наступним чином:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\ & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\ & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\ & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\ 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\
|
||||
& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\
|
||||
& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\
|
||||
& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\
|
||||
1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Можна побачити, що перші вісім рядків трикутника Паскаля містять дванадцять різних чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 та 35.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,11 @@ dashedName: problem-207-integer-partition-equations
|
||||
|
||||
У таблиці нижче перераховано деякі значення $P(m)$
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\ & P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\ & P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\ & P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\ & P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\
|
||||
& P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\
|
||||
& P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\
|
||||
& P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\
|
||||
& P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть найменший $m$ для якого $P(m) < \frac{1}{12\\,345}$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ dashedName: problem-212-combined-volume-of-cuboids
|
||||
|
||||
Нехай $C_1, \ldots, C_{50000}$ — це набір 50000 вирівняних по осі паралелепіпедів, кожен паралелепіпед $C_n$ має такі параметри
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
|
||||
& y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
|
||||
& dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\
|
||||
& dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
де $S_1, \ldots, S_{300000}$ отримуємо через генератор Фібоначчі:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,11 @@ dashedName: problem-214-totient-chains
|
||||
|
||||
При повторенні функції $φ$, кожне додатне ціле число утворює спадну послідовність чисел, що закінчується одиницею. Наприклад, якщо ми почнемо з 5, то утвориться послідовність 5,4,2,1. Ось список послідовностей, що складаються з 4 цифр:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\ 7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\ 9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\ 12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\ 18,6,2,1 & \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\
|
||||
7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\
|
||||
9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\
|
||||
12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\
|
||||
18,6,2,1 & \end{align}$$
|
||||
|
||||
Лише дві з цих послідовностей починаються з простого числа, їхня сума — 12.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-228-minkowski-sums
|
||||
|
||||
Нехай $S_n$ — це правильний $n$-сторонній багатокутник або фігура, у якої вершини $v_k (k = 1, 2, \ldots, n)$ мають координати:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\ & y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\
|
||||
& y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Кожен $S_n$ зображено зафарбованою фігурою, яка складається з усіх точок на периметрі та всередині.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,13 +10,17 @@ dashedName: problem-229-four-representations-using-squares
|
||||
|
||||
Розглянемо число 3600. Воно дуже особливе, оскільки
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\ & 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\ & 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\
|
||||
& 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\
|
||||
& 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Аналогічно бачимо, що $88201 = {99}^2 + {280}^2 = {287}^2 + 2 × {54}^2 = {283}^2 + 3 × {52}^2 = {197}^2 + 7 × {84}^2$.
|
||||
|
||||
У 1747 році Ейлер довів які числа є сумою двох квадратів. Нас цікавлять числа $n$, які можна виразити через наступні чотири формули:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\ & n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\ & n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\
|
||||
& n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\
|
||||
& n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
де $a_k$ та $b_k$ додатні цілі числа.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,17 +18,21 @@ dashedName: problem-230-fibonacci-words
|
||||
|
||||
Першими елементами $F_{A,B}$ є:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\ & 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\
|
||||
& 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\
|
||||
& 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Тоді $D_{A,B}(35)$ — це ${35}^{\text{th}}$ цифра п'ятого елемента, тобто 9.
|
||||
|
||||
Тепер для $A$ використовуємо перші 100 цифр після десяткового розділювача:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\ & 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\
|
||||
& 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
|
||||
|
||||
і для $B$ наступні 100 цифр:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\ & 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\
|
||||
& 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $\sum_{n = 0, 1, \ldots, 17} {10}^n × D_{A,B}((127 + 19n) × 7^n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-238-infinite-string-tour
|
||||
|
||||
Створіть послідовність чисел, використовуючи генератор псевдовипадкових чисел "Блум Блум Шуба":
|
||||
|
||||
$$ s_0 = 14025256 \\\\ s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
|
||||
$$ s_0 = 14025256 \\\\
|
||||
s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
|
||||
|
||||
Об'єднайте ці числа $s_0s_1s_2\ldots$, щоб створити рядок $w$ нескінченної довжини. Тоді $w = 14025256741014958470038053646\ldots$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-240-top-dice
|
||||
|
||||
Якщо кинути п'ять 6-гранних кубиків (грані пронумеровано від 1 до 6), у 1111 випадках сума трьох найбільших чисел дорівнюватиме 15. Ось декілька прикладів:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\
|
||||
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\
|
||||
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Якщо кинути двадцять 12-гранних кубиків (грані пронумеровано від 1 до 12), у скількох випадках сума десятьох найбільших чисел дорівнюватиме 70?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,9 @@ dashedName: problem-244-sliders
|
||||
|
||||
Для кожного шляху його контрольна сума обчислюється так (псевдокод):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\
|
||||
& \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
|
||||
|
||||
де $m_k$ — ASCII код букви $k^{\text{th}}$ в послідовності ходів. Ось ASCII коди для ходів:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-252-convex-holes
|
||||
|
||||
Наприклад, ми використали перші 20 точок ($T_{2k − 1}$, $T_{2k}$), для $k = 1, 2, \ldots, 20$, отриманих за допомогою генератора псевдовипадкових чисел:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
|
||||
S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
|
||||
|
||||
тобто (527, 144), (−488, 732), (−454, −947), …
|
||||
|
||||
|
||||
@ -28,7 +28,8 @@ $$x_{k + 1} = \left\lfloor\frac{x_k + \left\lceil\frac{n}{x_k}\right\rceil}{2}\r
|
||||
|
||||
$n$ складається з 4 цифр, тож $x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$.
|
||||
|
||||
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
|
||||
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\
|
||||
x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
|
||||
|
||||
Оскільки $x_2 = x_1$, тут зупиняємося. Таким чином, після всього двох ітерацій, ми виявили, що округлений квадратний корінь 4321 дорівнює 66 (точне значення квадратного кореня — 65,7343137...).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ $${(k - m)}^2 + \ldots + k^2 = {(n + 1)}^2 + \ldots + {(n + m)}^2$$
|
||||
|
||||
Деякі маленькі квадратні повороти є
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\ & \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\ & \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\
|
||||
& \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\
|
||||
& \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть суму всіх різних квадратних куточків $≤ {10}^{10}$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-282-the-ackermann-function
|
||||
|
||||
Для невід'ємних цілих $m$, $n$ функція Акермана $A(m, n)$ визначається таким чином:
|
||||
|
||||
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\ A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ and $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ and $n > 0$} \end{cases}$$
|
||||
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\
|
||||
A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ and $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ and $n > 0$} \end{cases}$$
|
||||
|
||||
Наприклад, $A(1, 0) = 2$, $A(2, 2) = 7$ and $A(3, 4) = 125$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-288-an-enormous-factorial
|
||||
|
||||
Для будь-якого цілого числа $p$ число $N(p,q)$ визначається за $N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$ з $T_n$, що створене генератором випадкових чисел:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\ & S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\
|
||||
& S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
|
||||
|
||||
Припустимо, $Nfac(p,q)$ – факторіал $N(p,q)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-295-lenticular-holes
|
||||
|
||||
Розглянемо ці кола:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\ & C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\
|
||||
& C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Кола $C_0$, $C_1$ та $C_2$ намальовані на малюнку нижче.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -19,7 +19,9 @@ dashedName: problem-312-cyclic-paths-on-sierpiski-graphs
|
||||
|
||||
Також можна перевірити, що:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\ & C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\ & C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\
|
||||
& C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\
|
||||
& C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $C(C(C(10\\,000)))\bmod {13}^8$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,11 @@ dashedName: problem-318-2011-nines
|
||||
|
||||
Коли ми обчислимо парні степені $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, ми отримаємо:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Схоже, що кількість послідовних дев'яток на початку дробової частини цих ступенів не зменшується. Насправді, можна довести, що дробова частина ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ наближається до 1 для великого значення $n$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-324-building-a-tower
|
||||
|
||||
Наприклад, (з $q = 100\\,000\\,007$):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\ & f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\ & f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\
|
||||
& f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\
|
||||
& f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $f({10}^{10000})\bmod 100\\,000\\,007$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-330-eulers-number
|
||||
|
||||
Нескінченна послідовність дійсних чисел $a(n)$ визначається для усіх цілих чисел $n$ наступним чином:
|
||||
|
||||
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\ \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
|
||||
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\
|
||||
\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
|
||||
|
||||
Наприклад,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\ & a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\
|
||||
& a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
|
||||
|
||||
де $e = 2.7182818\ldots$ — число Ейлера.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ dashedName: problem-333-special-partitions
|
||||
|
||||
Для багатьох цілих чисел існує декілька варіантів допустимого поділу, починаючи з 11, котре має два шляхи ділення.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\ & 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\
|
||||
& 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Визначимо $P(n)$ як сукупність правильних поділів $n$. Наприклад, $P(11) = 2$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,10 @@ dashedName: problem-334-spilling-the-beans
|
||||
|
||||
Вам надано наступні послідовності:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\ & t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ is even} \\\\ \left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ is odd} \end{cases} \\\\ & \qquad \text{where $⌊x⌋$ is the floor function and $\oplus$ is the bitwise XOR operator.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\
|
||||
& t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ is even} \\\\
|
||||
\left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ is odd} \end{cases} \\\\
|
||||
& \qquad \text{where $⌊x⌋$ is the floor function and $\oplus$ is the bitwise XOR operator.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Перші дві умови останньої послідовності: $b_1 = 289$ and $b_2 = 145$. Якщо б ми почали з $b_1$ і $b_2$ бобів у двох сусідніх мисках, то нам потрібно було б 3419100 кроків, щоб завершити гру.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-340-crazy-function
|
||||
|
||||
Для фіксованих цілих $a$, $b$, $c$ визначити цю функцію $F(n)$ наступним чином:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ for all } n > b \\\\ & F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ for all } n ≤ b. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ for all } n > b \\\\
|
||||
& F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ for all } n ≤ b. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Також визначте $S(a, b, c) = \displaystyle\sum_{n = 0}^b F(n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-341-golombs-self-describing-sequence
|
||||
|
||||
Послідовність Голомба ($G(n)$) є єдиною незменшувальною послідовність натуральних чисел, така що $n$ з'являється рівно $G(n)$ разів у послідовності. Значення $G(n)$ для перших кількох $n$ є
|
||||
|
||||
$$\початок{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\ G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\початок{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\
|
||||
G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Вам дано що $G({10}^3) = 86$, $G({10}^6) = 6137$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,11 +12,20 @@ dashedName: problem-345-matrix-sum
|
||||
|
||||
Наприклад, матрична сума матриці нижче дорівнює $3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767)$:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\ 497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\
|
||||
497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\
|
||||
627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть матричну суму матриці:
|
||||
|
||||
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\ 217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\ 870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\ 322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\ 414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\ 821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\ 815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
|
||||
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\
|
||||
627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\
|
||||
217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\
|
||||
870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\
|
||||
322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\
|
||||
414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\
|
||||
821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\
|
||||
815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ dashedName: problem-348-sum-of-a-square-and-a-cube
|
||||
|
||||
Наприклад, 5229225 - це паліндромне число, яке можна записати 4 способами:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\ & {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\ & {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\
|
||||
& {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\
|
||||
& {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть суму п'яти найменших таких паліндромних чисел.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,9 @@ dashedName: problem-350-constraining-the-least-greatest-and-the-greatest-least
|
||||
|
||||
$f(G, L, N)$ - це кількість списків розміру $N$ з $gcd ≥ G$ та $lcm ≤ L$. Наприклад:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\ & f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\ & f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\
|
||||
& f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\
|
||||
& f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $f({10}^6, {10}^{12}, {10}^{18})\bmod {101}^4$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,16 @@ dashedName: problem-358-cyclic-numbers
|
||||
|
||||
Найменше циклічне число - це 6-значне число 142857:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\ & 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\ & 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\ & 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\
|
||||
& 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\
|
||||
& 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\
|
||||
& 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Наступне циклічне число 0588235294117647 на 16 цифр:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\ & 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\ & \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\
|
||||
& 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Зауважте, що для циклічних чисел важливі нулі на початку.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -27,7 +27,10 @@ dashedName: problem-359-hilberts-new-hotel
|
||||
|
||||
Визначте $P(f, r)$ як $n$, якщо особа $n$ займає кімнату $r$ на поверсі $f$, та 0, якщо жодна людина не займає кімнату. Ось декілька прикладів:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\ & P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\ & P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\
|
||||
& P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\
|
||||
& P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\
|
||||
& P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайти суму усіх $P(f, r)$ для всіх додатних $f$ і $r$, такі як $f × r = 71\\, 28\\,803\\,586\\,048$ і вказати останні 8 цифр як відповідь.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,8 @@ dashedName: problem-361-subsequence-of-thue-morse-sequence
|
||||
|
||||
Перші кілька термінів $A_n$ наведені наступним чином:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\ A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\
|
||||
A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Ми також можемо підтвердити, що $A_{100} = 3251$ та $A_{1000} = 80\\,852\\,364\\,498$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-368-a-kempner-like-series
|
||||
|
||||
20 опущених значень:
|
||||
|
||||
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\ \dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
|
||||
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\
|
||||
\dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
|
||||
|
||||
Ця послідовність також сходиться.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-375-minimum-of-subsequences
|
||||
|
||||
Нехай $S_n$ буде цілочисельною послідовністю, створеною за допомогою такого генератора псевдовипадкових чисел:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
|
||||
S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нехай $A(i, j)$ буде мінімальним з чисел $S_i, S_{i + 1}, \ldots, S_j$ for $i ≤ j$. Нехай $M(N) = \sum A(i, j)$ для $1 ≤ i ≤ j ≤ N$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-376-nontransitive-sets-of-dice
|
||||
|
||||
Розглянемо такий набір кубиків з нетиповою розміткою:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{} \text{Die A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\ \text{Die B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Die C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\ \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{} \text{Die A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\
|
||||
\text{Die B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Die C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\
|
||||
\end{array}$$
|
||||
|
||||
За правилами гри, двоє гравців по черзі підкидують гральний кубик. Переможцем стає той, чий кубик показав найвище значення.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-38-pandigital-multiples
|
||||
|
||||
Візьміть число 192 і помножте його на 1, 2 і 3:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\ 192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\
|
||||
192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Об'єднавши кожний добуток, ми отримаємо панцифрове число від 1 до 9 - 192384576. Назвемо отримане число 192384576 об'єднаним добутком 192 і (1, 2, 3).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,9 @@ dashedName: problem-384-rudin-shapiro-sequence
|
||||
|
||||
Перші декілька значень цих послідовностей:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
|
||||
a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
|
||||
s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Послідовність $s(n)$ має особливу властивість, коли усі її елементи позитивні, а кожне позитивне ціле число $k$ виникає рівно $k$ разів.
|
||||
|
||||
@ -28,7 +30,8 @@ $$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0
|
||||
|
||||
Нехай $F(n)$ буде послідовністю Фібоначчі, що визначається наступним:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\
|
||||
& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Визначити $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -32,7 +32,9 @@ dashedName: problem-406-guessing-game
|
||||
|
||||
Ось декілька прикладів:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\ & C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\ & C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\
|
||||
& C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\
|
||||
& C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нехай $F_k$ буде цифрами фібоначчі: $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ з базовими кешами $F_1 = F_2 = 1$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ dashedName: problem-414-kaprekar-constant
|
||||
|
||||
Наприклад, почнемо з числа 0837:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\
|
||||
& 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
|
||||
|
||||
6174 називається сталою Капрекара. Сортування цифр, віднімання та повторення цього процесу поки не отримаємо 0 або сталу Капрекара, називається перетворенням Капрекара.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,12 @@ dashedName: problem-417-reciprocal-cycles-ii
|
||||
|
||||
Одиничний дріб містить 1 в чисельнику. Десяткове представлення дробів зі знаменниками від 2 до 10:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\ & \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\ & \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\ & \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\ & \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\
|
||||
& \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\
|
||||
& \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\
|
||||
& \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\
|
||||
& \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Де 0.1(6) означає 0.166666... і має послідовність з однієї цифри, що повторюється. Бачимо, що $\frac{1}{7}$ має послідовність із 6 цифр, що повторюються.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,11 +12,14 @@ dashedName: problem-420-2x2-positive-integer-matrix
|
||||
|
||||
Деякі матриці натуральних чисел можуть бути виражені у вигляді квадрата матриці натуральних чисел двома різними способами. Наприклад:
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\ 48 & 40 \end{pmatrix} =
|
||||
$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\
|
||||
48 & 40 \end{pmatrix} =
|
||||
{\begin{pmatrix}
|
||||
2 & 3 \\\\ 12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
|
||||
2 & 3 \\\\
|
||||
12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
|
||||
{\begin{pmatrix}
|
||||
6 & 1 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
|
||||
6 & 1 \\\\
|
||||
4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
|
||||
|
||||
Визначаємо $F (N)$ як кількість матриць натуральних чисел 2x2, які мають слід менше N, і які можуть бути виражені у вигляді квадрата натурального числа матриці двома різними способами.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ dashedName: problem-423-consecutive-die-throws
|
||||
|
||||
Наприклад, якщо $n = 7$ і значення кидків кубика є (1, 5, 6, 6, 6, 3), тоді наступні кидки поспіль дають однакове значення:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\
|
||||
& (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Таким чином, $c = 3$ за (1, 5, 6, 6, 3).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ dashedName: problem-426-box-ball-system
|
||||
|
||||
Ми визначили послідовність $\\{t_i\\}$:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\ & s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\
|
||||
& s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Починаючи з початкової конфігурації $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$, кінцевим станом стане [1, 3, 10, 24, 51, 75].
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-433-steps-in-euclids-algorithm
|
||||
|
||||
Нехай $E(x_0, y_0)$ є кількістю кроків, необхідних для визначення найбільшого спільного дільника для $x_0$ та $y_0$ з алгоритмом Евкліда. Більш формально:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\ & x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\
|
||||
& x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
|
||||
|
||||
$E(x_0, y_0)$ є найменшим $n$ так, щоб $y_n = 0$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,11 @@ dashedName: problem-437-fibonacci-primitive-roots
|
||||
|
||||
Якщо розглянути детальніше, то:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\ & 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\ & 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\ & 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\ & 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\
|
||||
& 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\
|
||||
& 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\
|
||||
& 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\
|
||||
& 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Тож степінь з 8 модуля 11 є циклічним в 10 періоді, а $8^n + 8^{n + 1} ≡ 8^{n + 2} (\text{mod } 11)$. Число 8 називають простим коренем Фібоначчі для 11.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ dashedName: problem-440-gcd-and-tiling
|
||||
|
||||
Наприклад:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\ & S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\
|
||||
& S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $S(2000)\bmod 987\\,898\\,789$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-443-gcd-sequence
|
||||
|
||||
Нехай $g(n)$ — це послідовність, яка визначається так:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\ & g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ for } n > 4. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\
|
||||
& g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ for } n > 4. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Перші кілька значень:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\ g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\
|
||||
g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Дано, що $g(1\\,000) = 2\\,524$, а $g(1\\,000\\,000) = 2\\,624\\,152$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,10 @@ dashedName: problem-451-modular-inverses
|
||||
|
||||
Числа 1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14 є оберненими за модулем 15, оскільки
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\ & 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\ & 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нехай $I(n)$ — це найбільше додатне число $m$, менше за $n - 1$, при якому обернене за модулем число $m$ з модулем $n$ дорівнює цьому ж числу $m$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-455-powers-with-trailing-digits
|
||||
|
||||
Наприклад:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = . ..490\underline{411728896}) \\\\ & f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\ & Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = . ..490\underline{411728896}) \\\\
|
||||
& f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\
|
||||
& Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $\sum f(n)$, $2 ≤ n ≤ {10}^6$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-456-triangles-containing-the-origin-ii
|
||||
|
||||
Визначте:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\
|
||||
& y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Наприклад, $$P_8 = \\{(-14913, -6630), (-10161, 5625), (5226, 11896), (8340, -10778), (15852, -5203), (-15165, 11295), (-1427, -14495), (12407, 1060)\\}$$
|
||||
|
||||
@ -18,7 +19,8 @@ $$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmo
|
||||
|
||||
Наприклад:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\ & C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\
|
||||
& C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $C(2\\,000\\,000)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-463-a-weird-recurrence-relation
|
||||
|
||||
Функція $f$ для всіх цілих додатних чисел визначається таким чином:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\ & f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\ & f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\
|
||||
& f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\
|
||||
& f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Функція $S(n)$ визначається як $\sum_{i=1}^{n} f(i)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,13 +12,17 @@ dashedName: problem-466-distinct-terms-in-a-multiplication-table
|
||||
|
||||
Наприклад, таблиця множення 3×4 має такий вигляд:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\ \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ \mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\
|
||||
\mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\
|
||||
\mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Тут є 8 різних елементів {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}, тому $P(3, 4) = 8$.
|
||||
|
||||
Дано, що:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263, \\\\ & P(12, 345) = 1\\,998, \text{ and} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302. \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263, \\\\
|
||||
& P(12, 345) = 1\\,998, \text{ and} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302. \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $P(64, {10}^{16})$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,15 +14,18 @@ dashedName: problem-467-superinteger
|
||||
|
||||
Нехай $p(n)$ буде $n$-им простим числом, а $c(n)$ буде $n$-им складеним числом. Наприклад, $p(1) = 2$, $p(10) = 29$, $c(1) = 4$, а $c(10) = 18$.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\ & \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\
|
||||
& \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нехай $P^D$ - це послідовність цифрових коренів $\\{p(i)\\}$ ($C^D$ визначається так само, як і для $\\{c(i)\\}$):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\ & C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\
|
||||
& C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нехай $P_n$ - це ціле число, сформоване через об'єднання перших $n$ елементів $P^D$ ($C_n$ визначається так само, як і для $C^D$).
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\ & C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\
|
||||
& C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Нехай $f(n)$ буде найменшим позитивним цілим числом, яке є звичайним суперцілим числом $P_n$ і $C_n$. Наприклад, $f(10) = 2\\,357\\,246\\,891\\,352\\,679$, and $f(100)\bmod 1\\,000\\,000\\,007 = 771\\,661\\,825$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,13 +14,15 @@ dashedName: problem-468-smooth-divisors-of-binomial-coefficients
|
||||
|
||||
Приклади:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\ & S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\
|
||||
& S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Визначте $F(n) = \displaystyle\sum_{B = 1}^n \sum_{r = 0}^n S_B(\displaystyle\binom{n}{r})$. Тут $\displaystyle\binom{n}{r}$ позначає біноміальний коефіцієнт.
|
||||
|
||||
Приклади:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\ & F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\
|
||||
& F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $F(11\\,111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,21 @@ $$\mathbf{\text{thereisasyetinsufficientdataforameaningfulanswer}}$$
|
||||
|
||||
Список буде включати:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\ & 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\ & 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\ & 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\ & 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\ & 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\ & 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\ & \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\ & 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\ & \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\ & 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\ & ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\
|
||||
& 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\
|
||||
& 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\
|
||||
& 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\
|
||||
& 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\
|
||||
& 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\
|
||||
& 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\
|
||||
& 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\
|
||||
& 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\
|
||||
& 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\
|
||||
& 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\
|
||||
& ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Визначте $P(w)$ як позицію слова $w$.
|
||||
|
||||
@ -26,7 +40,9 @@ $$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4:
|
||||
|
||||
Приклади:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\ & P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\ & P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\
|
||||
& P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\
|
||||
& P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть $$W(P(\text{legionary}) + P(\text{calorimeters}) - P(\text{annihilate}) + P(\text{orchestrated}) - P(\text{fluttering})).$$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,15 @@ $$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$
|
||||
|
||||
Можливо, менш відомим є 169, в якому він продукує найдовший ланцюг чисел, що посилається на 169; виявляється, що існує лише три такі цикли:
|
||||
|
||||
$$\початок{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\ &871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\ \кінець{align}$$
|
||||
$$\початок{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\
|
||||
&871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\
|
||||
\кінець{align}$$
|
||||
|
||||
Не важко довести, що КОЖНЕ початкове число врешті застрягне в циклі. Наприклад,
|
||||
|
||||
$$\початок{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\ &78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\ \кінець{align}$$
|
||||
$$\початок{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\
|
||||
&78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\
|
||||
\кінець{align}$$
|
||||
|
||||
Починаючи з 69 продукується ланцюжок з 5 неповторних значень, але найдовший неповторний ланцюжок з початковим числом нижче одного мільйона - це шістдесят значень.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-81-path-sum-two-ways
|
||||
|
||||
У наведеній нижче матриці 5 на 5 мінімальна сума шляху від верхнього лівого кута до нижнього правого, ** рухаючись тільки вправо і вниз **, виділена жирним червоним шрифтом і дорівнює `2427`.
|
||||
|
||||
$$\початок{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \кінець{pmatrix}$$
|
||||
$$\початок{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \кінець{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть мінімальну суму шляху з лівого верхнього кута до нижнього правого, рухаючись лише праворуч і вниз по осі `matrix`, 2D масив, що представляє матрицю. Максимальний розмір матриці, що використовується в тестах, дорівнюватиме 80 на 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-82-path-sum-three-ways
|
||||
|
||||
Мінімальна сума шляху в наведеній нижче матриці 5 на 5, починаючи з будь-якої клітинки в лівому стовпці, та закінчуючись в будь-якій клітинці у правому стовпці, та рухаючись лише вгору, вниз а праворуч, виділена червоним і жирним шрифтом; сума дорівнює `994`.
|
||||
|
||||
$$\початок{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \кінець{pmatrix}$$
|
||||
$$\початок{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \кінець{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть мінімальну суму шляху з лівого стовпця в правий стовпець у `matrix`, 2D масив представляє матрицю. Максимальний розмір матриці, що використовується в тестах, дорівнюватиме 80 на 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-83-path-sum-four-ways
|
||||
|
||||
У нижче наведеній матриці 5 на 5 мінімальна сума шляху з лівого верхнього кута до нижнього правого, рухаючись ліворуч, праворуч, вгору і вниз, виділена жирним червоним шрифтом і дорівнює `2297`.
|
||||
|
||||
$$\початок{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \кінець{pmatrix}$$
|
||||
$$\початок{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \кінець{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Знайдіть мінімальну суму шляху з лівого верхнього кута до нижнього правого, рухаючись ліворуч, праворуч, вгору та вниз у `matrix<code>, 2D масив представляє матрицю. Максимальний розмір матриці, що використовується в тестах, дорівнюватиме 80 на 80.</p>
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: problem-92-square-digit-chains
|
||||
|
||||
Наприклад,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\ & 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
|
||||
& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Таким чином, будь-яка послідовність, що призводить до отримання 1 або 89, замкнеться в нескінченний цикл. Найдивовижніше, що БУДЬ-ЯКЕ початкове число рано чи пізно дасть 1 або 89.
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user