chore(i18n,learn): processed translations (#45583)
This commit is contained in:
camperbot
GitHub
@ -22,7 +22,7 @@ Gli alberi binari di ricerca sono strutture di dati molto comuni e utili perché
|
||||
|
||||
# --instructions--
|
||||
|
||||
Cominceremo con qualcosa di semplice. Qui abbiamo definito lo scheletro di una struttura ad albero binario di ricerca oltre a una funzione per creare nodi per il nostro albero. Nota che ogni nodo può avere un valore sinistro e destro. A questi saranno assegnati sotto-alberi figli, se esistono. Nel nostro albero binario di ricerca, creerai un metodo per aggiungere nuovi valori. Il metodo dovrebbe essere chiamato `add` e dovrebbe accettare un valore intero da aggiungere all'albero. Fai attenzione a mantenere invariata la struttura di un albero binario di ricerca: il valore in ogni figlio sinistro dovrebbe essere inferiore o uguale al valore genitore, e il valore in ogni figlio destro dovrebbe essere maggiore o uguale al valore genitore. Ecco, facciamo in modo che il nostro albero non possa contenere valori duplicati. Se cerchiamo di aggiungere un valore che esiste già, il metodo dovrebbe restituire `null`. Altrimenti, se l'aggiunta è riuscita, dovrebbe essere restituito `undefined`.
|
||||
Cominceremo con qualcosa di semplice. Qui abbiamo definito lo scheletro di una struttura ad albero binario di ricerca oltre a una funzione per creare nodi per il nostro albero. Nota che ogni nodo può avere un valore sinistro e destro. A questi saranno assegnati sotto-alberi figli, se esistono. Nel nostro albero binario di ricerca, creerai un metodo per aggiungere nuovi valori all'albero. Il metodo dovrebbe essere chiamato `add` e dovrebbe accettare un valore intero da aggiungere all'albero. Fai attenzione a mantenere invariata la struttura di un albero binario di ricerca: il valore in ogni figlio sinistro dovrebbe essere inferiore o uguale al valore genitore, e il valore in ogni figlio destro dovrebbe essere maggiore o uguale al valore genitore. Ecco, facciamo in modo che il nostro albero non possa contenere valori duplicati. Se cerchiamo di aggiungere un valore che esiste già, il metodo dovrebbe restituire `null`. Altrimenti, se l'aggiunta è riuscita, dovrebbe essere restituito `undefined`.
|
||||
|
||||
**Suggerimento:** gli alberi sono strutture dati ricorsive per natura!
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,7 @@ Fai attenzione a gestire eventuali casi limite durante la scrittura di questi me
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura di dati DoublyLinkedList dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura dei dati `DoublyLinkedList` dovrebbe esistere.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -34,7 +34,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
La lista DoublyLinkedList dovrebbe avere un metodo chiamato add.
|
||||
Il `DoublyLinkedList` dovrebbe avere un metodo denominato `add`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -51,7 +51,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
La lista DoublyLinkedList dovrebbe avere un metodo chiamato remove.
|
||||
Il `DoublyLinkedList` dovrebbe avere un metodo denominato `remove`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -68,7 +68,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Rimuovere un elemento da una lista vuota dovrebbe restituire null.
|
||||
Inoltre, la rimozione di qualsiasi elemento da una lista vuota dovrebbe restituire `null`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -82,7 +82,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo add dovrebbe aggiungere elementi all'elenco.
|
||||
Il metodo `add` dovrebbe aggiungere elementi alla lista.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,7 @@ Assicurati di scrivere il tuo codice per gestire le collisioni!
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura di dati HashTable dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura di dati `HashTable` dovrebbe esistere.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -38,7 +38,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
L'HashTable dovrebbe avere un metodo add.
|
||||
La tua classe `HashTable` dovrebbe avere un metodo `add`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -52,7 +52,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
L'HashTable dovrebbe avere un metodo lookup.
|
||||
La tua classe `HashTable` dovrebbe avere un metodo `lookup`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -66,7 +66,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
L'HashTable dovrebbe avere un metodo remove.
|
||||
La tua classe `HashTable` dovrebbe avere un metodo `remove`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -80,7 +80,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo add dovrebbe aggiungere coppie chiave-valore e il metodo di ricerca dovrebbe restituire i valori associati a una determinata chiave.
|
||||
Il metodo `add` dovrebbe aggiungere coppie chiave-valore e il metodo `lookup` dovrebbe restituire i valori associati con una determinata chiave.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -95,7 +95,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo di rimozione dovrebbe accettare una chiave come input e dovrebbe rimuovere la coppia chiave-valore associata.
|
||||
Il metodo `remove` dovrebbe accettare una chiave come input e rimuovere la coppia chiave-valore associata.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -113,7 +113,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo di rimozione dovrebbe rimuovere solo la coppia chiave-valore corretta.
|
||||
Il metodo `remove` dovrebbe rimuovere solo la coppia chiave-valore corretta.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -26,7 +26,7 @@ Facciamo un po' di pratica nel creare la nostra mappa. Poiché gli oggetti JavaS
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura di dati Mappa dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura dati `Map` dovrebbe esistere.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -40,7 +40,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
L'oggetto Map dovrebbe avere i seguenti metodi: add, remove, get, has, values, clear e size.
|
||||
L'oggetto `Map` dovrebbe seguire i seguenti metodi: `add`, `remove`, `get`, `has`, `values`, `clear`, and `size`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -62,7 +62,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo add dovrebbe aggiungere oggetti alla mappa.
|
||||
Il metodo `add` dovrebbe aggiungere degli oggetti alla mappa.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -79,7 +79,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo has dovrebbe restituire true per elementi esistenti e false per oggetti non esistenti.
|
||||
Il metodo `has` dovrebbe restituire `true` per gli oggetti aggiunti e `false` per quelli assenti.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -94,7 +94,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo get dovrebbe accettare delle chiavi come input e dovrebbe restituire i valori associati.
|
||||
Il metodo `get` dovrebbe accettare le chiavi come input e dovrebbe restituire i valori associati.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -109,7 +109,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo values dovrebbe restituire tutti i valori immagazzinati nella mappa come stringhe in un array.
|
||||
Il `values` dovrebbe ritornare tutti i valori immagazzinati nella mappa come stringhe in una variabile.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -131,7 +131,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo clear dovrebbe svuotare la mappa e il metodo size dovrebbe restituire il numeri di oggetti presenti nella mappa.
|
||||
Il metodo `clear` dovrebbe svuotare la mappa e il metodo `size` dovrebbe restituire il numero di elementi presenti nella mappa.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,7 @@ Creiamo un trie per memorizzare parole. Accetterà parole attraverso un metodo `
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
Il Trie dovrebbe avere un metodo add.
|
||||
La tua classe `HashTable` dovrebbe avere un metodo `add`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -32,7 +32,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il Trie dovrebbe avere un metodo print.
|
||||
Il `Trie` dovrebbe avere `print` come metodo.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -48,7 +48,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il Trie dovrebbe avere un metodo isWord.
|
||||
La tua classe `HashTable` dovrebbe avere un metodo `add`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -93,7 +93,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo isWord dovrebbe restituire vero solo per le parole aggiunte al trie e falso per tutte le altre parole.
|
||||
Il `has` dovrebbe ritornare `true` per gli oggetti aggiunti `false` per consentire gli altri oggetti.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -8,7 +8,15 @@ dashedName: create-an-es6-javascript-map
|
||||
|
||||
# --description--
|
||||
|
||||
La nuova versione di JavaScript ci fornisce un oggetto Map incorporato che fornisce gran parte delle funzionalità che abbiamo scritto a mano nell'ultima sfida. Questo oggetto Map, anche se simile a oggetti JavaScript regolari, fornisce alcune funzionalità utili che agli oggetti normali mancano. Ad esempio, una Map ES6 tiene in memoria l'ordine di inserimento degli elementi che vengono aggiunti. Ecco una panoramica più completa dei suoi metodi: `.has(key)` restituisce true o false in base alla presenza di una chiave `.get(key)` restituisce il valore associato con una chiave `.set(key, value)` aggiunge una nuova coppia chiave-valore `.delete(key)` rimuove una coppia chiave-valore `.clear()` rimuove tutte le coppie chiave-valore `.entries()` restituisce un array con tutte le chiavi in ordine di inserimento `.values()` restituisce un array con tutti i valori in ordine di inserzione
|
||||
La nuova versione di JavaScript ci fornisce un oggetto Map incorporato che fornisce gran parte delle funzionalità che abbiamo scritto a mano nell'ultima sfida. Questo oggetto Map, anche se simile a oggetti JavaScript regolari, fornisce alcune funzionalità utili che agli oggetti normali mancano. Ad esempio, una Map ES6 tiene in memoria l'ordine di inserimento degli elementi che vengono aggiunti. Ecco una panoramica più completa dei suoi metodi:
|
||||
|
||||
- `.has(key)` restituisce vero o falso in base alla presenza di una chiave
|
||||
- `.get(key)` restituisce il valore associato a una chiave
|
||||
- `.set(key, value)` imposta una nuova coppia chiave-valore
|
||||
- `.delete(key)` rimuove una coppia chiave-valore
|
||||
- `.clear()` rimuove tutte le coppie chiave-valore
|
||||
- `.entries()` restituisce un array di tutte le chiavi in ordine di inserimento
|
||||
- `.values()` restituisce un array di tutti i valori in ordine di inserimento
|
||||
|
||||
# --instructions--
|
||||
|
||||
@ -16,13 +24,13 @@ Definisci un oggetto Map JavaScript e assegna ad esso una variabile chiamata myM
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
L'oggetto myMap dovrebbe esistere.
|
||||
L'oggetto `myMap` dovrebbe esistere.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(typeof myMap === 'object');
|
||||
```
|
||||
|
||||
myMap dovrebbe contenere la coppia chiave-valore `freeCodeCamp`, `Awesome!`.
|
||||
`myMap` dovrebbe contenere la coppia chiave-valore `freeCodeCamp`,`Awesome!`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(myMap.get('freeCodeCamp') === 'Awesome!');
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,7 @@ Implementa un heap sort con un min heap. Adatta liberamente il codice del tuo ma
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura dati MinHeap dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura dati `MinHeap` dovrebbe esistere
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -32,7 +32,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MinHeap dovrebbe avere un metodo chiamato insert.
|
||||
`MinHeap` dovrebbe avere un metodo chiamato `insert`
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -48,7 +48,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MinHeap dovrebbe avere un metodo chiamato remove.
|
||||
`MinHeap` dovrebbe avere un metodo chiamato `remove`
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -64,7 +64,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MinHeap dovrebbe avere un metodo chiamato sort.
|
||||
`MinHeap` dovrebbe avere un metodo chiamato `insert`
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -80,7 +80,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo sort dovrebbe restituire un array che continuete tutto gli elementi aggiunti al min heap ordinati.
|
||||
Il metodo sort dovrebbe restituire un array che contiene tutti gli elementi aggiunti al min heap ordinati.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,7 @@ Ogni colonna rappresenterà un arco unico. Inoltre, ogni arco collegherà due no
|
||||
|
||||
<blockquote> 1<br> ---<br>1 | 1<br>2 | 0<br>3 | 1</blockquote>
|
||||
|
||||
Ecco un esempio di una `incidence matrix` con 4 archi e 4 nodi. Ricorda, le colonne sono gli archi e le righe sono i nodi.
|
||||
Ecco un esempio di matrice di incidenza con 4 archi e 4 nodi. Ricorda, le colonne sono gli archi e le righe sono i nodi.
|
||||
|
||||
<blockquote> 1 2 3 4<br> --------<br>1 | 0 1 1 1<br>2 | 1 1 0 0<br>3 | 1 0 0 1<br>4 | 0 0 1 0</blockquote>
|
||||
|
||||
|
||||
@ -48,7 +48,7 @@ Alla fine, aggiungi un metodo `print` che restituire un array di tutti gli eleme
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura dati MaxHeap dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura dati `MaxHeap` dovrebbe esistere
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -62,7 +62,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MaxHeap dovrebbe avere un metodo chiamato insert.
|
||||
`MaxHeap`dovrebbe avere un metodo chiamato `insert`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -78,7 +78,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MaxHeap dovrebbe avere un metodo chiamato print.
|
||||
`MaxHeap` dovrebbe avere un metodo chiamato `print`
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -94,7 +94,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo insert dovrebbe aggiungere elementi rispettando la proprietà max heap.
|
||||
Il metodo `insert` dovrebbe aggiungere elementi in base alla proprietà heap massima
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -25,7 +25,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il primo Set() dovrebbe essere contenuto nel secondo Set
|
||||
Il primo `Set` dovrebbe essere contenuto nel secondo `Set`
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -25,7 +25,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
L'unione di un insieme contenente valori ["a", "b", "c"] e un insieme contenente valori ["c", "d"] dovrebbe restituire un nuovo Set contenente valori ["a", "b", "c", "d"].
|
||||
L'unione di un `Set` contenente valori `["a", "b", "c"]` e un `Set` contenente valori `["c", "d"]` dovrebbe restituire un nuovo `Set` contenente valori `["a", "b", "c", "d"]`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -22,7 +22,7 @@ Istruzioni: Aggiungere un metodo al nostro max-heap chiamato `remove`. Questo me
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura dati MaxHeap dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura dati `MaxHeap` dovrebbe esistere
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -36,7 +36,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MaxHeap dovrebbe avere un metodo chiamato print.
|
||||
`MaxHeap` dovrebbe avere un metodo chiamato `print`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -52,7 +52,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MaxHeap dovrebbe avere un metodo chiamato insert.
|
||||
`MaxHeap`dovrebbe avere un metodo chiamato `insert`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -68,7 +68,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
MaxHeap dovrebbe avere un metodo chiamato remove.
|
||||
`MaxHeap`dovrebbe avere un metodo chiamato `remove`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,7 @@ Creiamo un metodo in più per la nostra lista a doppio collegamento, chiamato re
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
La struttura dei dati DoublyLinkedList dovrebbe esistere.
|
||||
La struttura di dati DoublyLinkedList dovrebbe esistere.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -26,7 +26,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
La lista DoublyLinkedList dovrebbe avere un metodo chiamato reverse.
|
||||
`DoublyLinkedList` dovrebbe avere un metodo chiamato `reverse`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -43,7 +43,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Invertire una lista vuota dovrebbe restituire null.
|
||||
Invertire una lista vuota dovrebbe restituire `null`.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -57,7 +57,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
Il metodo reverse dovrebbe invertire l'elenco.
|
||||
Il metodo `reverse` dovrebbe invertire la lista.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
@ -77,7 +77,7 @@ assert(
|
||||
);
|
||||
```
|
||||
|
||||
I riferimenti next e previous dovrebbero essere mantenuti correttamente quando un elenco è invertito.
|
||||
I riferimenti `next` e `previous` dovrebbero essere mantenuti correttamente quando la lista è invertita.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert(
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,9 @@ Di base, se ci fosse stato dato solo il primo termine della sequenza, sarebbe pi
|
||||
|
||||
Quindi otterremo i seguenti PO per la sequenza cubica:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
|
||||
OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
|
||||
OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Chiaramente non esistono BOP per k ≥ 4. Considerando la somma delle FIT generate dai BOP (indicata in $\color{red}{red}$ sopra), otteniamo 1 + 15 + 58 = 74. Considera la seguente funzione generatrice polinomiale di decimo grado:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -15,7 +15,10 @@ Lascia che $S(A)$ rappresenti la somma degli elementi nel set A di dimensione n.
|
||||
|
||||
Se $S(A)$ è minimizzata per un dato n, la chiameremo somma speciale di un set ottimale. Le prime cinque somme speciali di un set ottimale sono date sotto.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\ & n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\ & n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\
|
||||
& n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\
|
||||
& n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Sembra che per un dato set ottimale, $A = \\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$, il successivo set ottimale è della forma $B = \\{b, a_1 + b, a_2 + b, \ldots, a_n + b\\}$, dove b è l'elemento "di mezzo" della riga precedente.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$
|
||||
|
||||
Per `n` = 4 ci sono esattamente tre distinte soluzioni:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\
|
||||
\\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\
|
||||
\\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Qual è il valore più piccolo di `n` per cui il numero di soluzioni distinte supera mille?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,12 @@ Ci sono molte variazioni di regole ma nel gioco più popolare i giocatori inizia
|
||||
|
||||
Quando un giocare è in grado di finire sul proprio punteggio viene chiamato un "checkout" e il checkout più alto è 170: T20 T20 D25 (due tripli 20 e un doppio centro). Ci sono esattamente 11 modi distinti per fare checkout con un punteggio di 6:
|
||||
|
||||
$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\ D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\ D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\ S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\ S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\ D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\
|
||||
D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\
|
||||
D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\
|
||||
S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\
|
||||
S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\
|
||||
D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Nota che D1 D2 è considerato diverso da D2 D1 visto che finiscono su doppi diversi. Invece, la combinazione S1 T1 D1 è considerata la stessa di T1 S1 D1. In aggiunta, non includiamo lanci mancati considerando le combinazioni; per esempio, D3 è la stessa cosa di 0 D3 e 0 0 D3. Incredibilmente ci sono 42336 modi diversi per fare checkout in totale. Quanti modi distinti ci sono per un giocatore di fare checkout con un punteggio inferiore a 100?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,16 @@ $$n × n × \ldots × n = n^{15}$$
|
||||
|
||||
Ma usando un metodo "binario" è possibile calcolarlo in sei moltiplicazioni:
|
||||
|
||||
$$$\start{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\ & n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\ & n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
|
||||
$$$\start{align} & n × n = n^2\\\\
|
||||
& n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\
|
||||
& n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\
|
||||
& n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Tuttavia è ancora possibile calcolarlo in sole cinque moltiplicazioni:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\ & n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
|
||||
& n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\
|
||||
& n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Definiremo $m(k)$ in modo che sia il numero minimo di moltiplicazioni per calcolare $n^k$; per esempio $m(15) = 5$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ Per questo problema consideriamo i valori di $x$ per cui $A_{F}(x)$ è un numero
|
||||
|
||||
Sorprendentemente
|
||||
|
||||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
|
||||
& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||||
|
||||
I valori porrispondenti di $x$ per i primi cinque numeri naturali sono mostrati sotto.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -17,13 +17,17 @@ Nell'esempio sottostante si può facilmente verificare che il triangolo marcato
|
||||
|
||||
Vogliamo creare una tale matrice triangolare con mille righe, in modo da generare 500500 numeri pseudo-casuali $s_k$ nel range $±2^{19}$, utilizzando un tipo di generatore di numeri casuali (noto come generatore di elementi costitutivi lineari) come segue:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\ \text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\ & s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\
|
||||
\text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\
|
||||
& s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Thus: $s_1 = 273519$, $s_2 = −153582$, $s_3 = 450905$ etc.
|
||||
|
||||
La nostra matrice triangolare è poi formata utilizzando i numeri pseudo-casuali in questo modo:
|
||||
|
||||
$$ s_1 \\\\ s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\ s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
|
||||
$$ s_1 \\\\
|
||||
s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\
|
||||
s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
|
||||
|
||||
I sub-triangoli possono iniziare da qualsiasi elemento dell'array ed estendersi quanto vogliamo (prendendo i due elementi direttamente sotto di esso dalla riga successiva, i tre elementi direttamente al di sotto dalla riga successiva, e così via).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ Considera l'equazione diofantina $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{p}{{10}^n}$
|
||||
|
||||
Per $n = 1$ questa equazione ha 20 soluzioni che sono elencate di seguito:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\ \frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
|
||||
|
||||
Quante soluzioni ha questa equazione per $1 ≤ n ≤ 9$?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ Un numero composito può essere fattorizzato in molti modi diversi.
|
||||
|
||||
Per esempio, senza includere la moltiplicazione per 1, 24 può essere fattorizzato in 7 modi distinti:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\ & 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\ & 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\ & 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\
|
||||
& 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\
|
||||
& 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\
|
||||
& 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Ricordati che le radice numerica di un numero, in base 10, si trova sommando le cifre del numero e ripetendo il processo fino a che il risultato non è inferiore a 10. Quindi la radice numerica di 467 è 8.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ Per ogni $N$, $f(N)$ rappresenti le ultime cinque cifre prima degli zero finali
|
||||
|
||||
Ad esempio,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\ & 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\
|
||||
& 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $f(1,000,000,000,000)$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,8 @@ Si può vedere che il triangolo di dimensione 2 contiene 4 triangoli di dimensio
|
||||
|
||||
Sia $T(n)$ il numero di triangoli presenti in un triangolo di dimensione $n$, allora
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\ & T(2) = 104 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\
|
||||
& T(2) = 104 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $T(36)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,13 +16,17 @@ Sia $T$, un punto in comune di due segmenti $L_1$ e $L_2$, un vero punto d'inter
|
||||
|
||||
Considera i tre segmenti $L_1$, $L_2$, e $L_3$:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\ & L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\
|
||||
& L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Si può verificare che i segmenti $L_2$ e $L_3$ hanno un vero punto di intersezione. Notiamo che essendo uno dei terminali di $L_3$: (22, 40) su $L_1$ questo non è un vero punto d'intersezione. $L_1$ e $L_2$ non hanno un punto in comune. Quindi tra i tre segmenti troviamo un vero punto di intersezione.
|
||||
|
||||
Adesso facciamo lo stesso per 5000 segmenti. A questo fine, generiamo 20000 numeri casuali usando il generatore pseudo-casuale di numeri chiamato "Blum Blum Shub".
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\ & s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\
|
||||
& s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Per creare ogni segmento, usiamo quattro numeri consecutivi $t_n$. Quindi, il primo segmento è dato da:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ Una griglia 4x4 è riempita con cifre $d$, $0 ≤ d ≤ 9$.
|
||||
|
||||
Si può vedere che nella griglia
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\ 5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\
|
||||
5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\
|
||||
1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
|
||||
|
||||
la somma di ciascuna riga e di ciascuna colonna ha il valore 12. Inoltre la somma di ogni diagonale è anch'essa 12.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ Sia $f(0) = 1$ e sia $f(n)$ il numero di modi diversi in cui $n$ può essere esp
|
||||
|
||||
Per esempio, $f(10)=5$ visto che ci sono cinque modi diversi di esprimere 10:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\ & 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\ & 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\
|
||||
& 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\
|
||||
& 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Qual è il valore di $f({10}^{25})$?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Prendi il numero 6 e moltiplicalo per 1273 e 9854:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\ & 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\
|
||||
& 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Concatenando questi prodotti otteniamo il pandigitale 1-9 763859124. Chiamiamo 763859124 il "prodotto concatenato di 6 e (1273, 9854)". Nota anche, che la concatenazione dei numeri di input, 612739854, è pure un numero pandigitale 1-9.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Per un numero intero positivo $n$, sia $f(n)$ la somma dei quadrati delle cifre (in base 10) di $n$, es.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\ & f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\
|
||||
& f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova le ultime nove cifre della somma di tutti $n$, $0 < n < {10}^{20}$, tali che $f(n)$ sia un quadrato perfetto.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables
|
||||
|
||||
Per qualsiasi intero $n$, considera le tre funzioni
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\ & f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\
|
||||
& f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
|
||||
|
||||
e la loro combinazione
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,13 +14,27 @@ Invece di chiodini colorati, devi indovinare una sequenza segreta di cifre. Dopo
|
||||
|
||||
Per esempio, date le seguenti ipotesi per una sequenza segreta di 5 cifre,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
|
||||
La sequenza corretta 39542 è unica.
|
||||
|
||||
Sulla base delle ipotesi seguenti,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova la sequenza segreta unica a 16 cifre.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,13 @@ dashedName: problem-196-prime-triplets
|
||||
|
||||
Costruisci un triangolo da tutti gli interi positivi nel modo seguente:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\ & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\ & \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\ & 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\ & \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\ & 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\ & \cdots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\
|
||||
& \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\
|
||||
& \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\
|
||||
& 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\
|
||||
& \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\
|
||||
& 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\
|
||||
& \cdots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Ogni numero intero positivo ha fino a otto vicini nel triangolo.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -22,7 +22,7 @@ Considerando i termini nella sequenza di Fibonacci i cui valori non superano `n`
|
||||
assert(typeof fiboEvenSum(10) === 'number');
|
||||
```
|
||||
|
||||
La tua funzione dovrebbe restituire un valore `pari`.
|
||||
La tua funzione dovrebbe restituire un valore pari.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert.equal(fiboEvenSum(10) % 2 === 0, true);
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,17 @@ Per qualsiasi insieme $A$ di numeri, sia $sum(A)$ la somma degli elementi di $A$
|
||||
|
||||
Considera l'insieme $B = \\{1,3,6,8,10,11\\}$. Ci sono 20 sottoinsiemi di $B$ contenenti tre elementi, e le loro somme sono:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\ & sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\ & sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\ & sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\ & sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\
|
||||
& sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\
|
||||
& sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
|
||||
|
||||
Alcune di queste somme si verificano più di una volta, altre sono uniche. Per un insieme $A$, sia $U(A,k)$ l'insieme di somme uniche dei sottoinsiemi di $k$ elementi di $A$, nel nostro esempio troviamo $U(B,3) = \\{10,12,14,18,21,25,27,29\\}$ e $sum(U(B,3)) = 156$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,11 @@ dashedName: problem-203-squarefree-binomial-coefficients
|
||||
|
||||
I coefficienti binomiali $\displaystyle\binom{n}{k}$ possono essere disposti in forma triangolare (il triangolo di Pascal) in questo modo:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\ & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\ & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\ & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\ 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\
|
||||
& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\
|
||||
& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\
|
||||
& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\
|
||||
1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Si può notare che le prime otto righe del triangolo di Pascal contengono dodici numeri distinti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 e 35.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,11 @@ Così $P(6) = \frac{1}{2}$.
|
||||
|
||||
Nella tabella seguente sono elencati alcuni valori di $P(m)$
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\ & P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\ & P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\ & P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\ & P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\
|
||||
& P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\
|
||||
& P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\
|
||||
& P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\
|
||||
& P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova il più piccolo $m$ per il quale $P(m) < \frac{1}{12\\,345}
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ Un cuboid allineato all'asse, specificato dai parametri $\{ (x_0,y_0,z_0), (dx,d
|
||||
|
||||
Sia $C_1, \ldots, C_{50000}$ una collezione di 50000 cuboidi allineati assialmente in modo che $C_n$ abbia parametri
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
|
||||
& y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
|
||||
& dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\
|
||||
& dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
dove $S_1, \ldots, S_{300000}$ provengono dal "Lagged Fibonacci Generator":
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,11 @@ Sia $φ$ la funzione toziente di Eulero, cioè per un numero naturale $n$, $φ(n
|
||||
|
||||
Iterando $φ$, ogni numero intero positivo genera una serie decrescente di numeri che termina con 1. Ad es. se iniziamo con 5 viene generata la sequenza 5,4,2,1. Ecco un elenco di tutte le catene con lunghezza 4:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\ 7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\ 9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\ 12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\ 18,6,2,1 & \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\
|
||||
7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\
|
||||
9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\
|
||||
12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\
|
||||
18,6,2,1 & \end{align}$$
|
||||
|
||||
Solo due di queste catene iniziano con un primo, la loro somma è 12.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-228-minkowski-sums
|
||||
|
||||
Sia $S_n$ il poligono regolare a $n$ lati i cui vertici $v_k (k = 1, 2, \ldots, n)$ hanno coordinate:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\ & y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\
|
||||
& y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Ogni $S_n$ è da considerarsi come una forma riempita consistente di tutti i punti sia del perimetro che dell'interno.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,13 +10,17 @@ dashedName: problem-229-four-representations-using-squares
|
||||
|
||||
Considera il numero 3600. È molto speciale, perché
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\ & 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\ & 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\
|
||||
& 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\
|
||||
& 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
In maniera simile troviamo che $88201 = {99}^2 + {280}^2 = {287}^2 + 2 × {54}^2 = {283}^2 + 3 × {52}^2 = {197}^2 + 7 × {84}^2$.
|
||||
|
||||
Nel 1747, Eulero ha provato quali numeri sono rappresentabili come somma di due quadrati. Siamo interessati nel numero $n$ che ammette le rappresentazioni di tutti i seguenti quattro tipi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\ & n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\ & n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\
|
||||
& n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\
|
||||
& n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
dove i numeri $a_k$ e $b_k$ sono numeri interi positivi.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,17 +18,21 @@ Sia $A = 1\\,415\\,926\\,535$, $B = 8\\,979\\,323\\,846$. Vogliamo trovare, dici
|
||||
|
||||
I primi termini di $F_{A,B}$ sono:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\ & 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\
|
||||
& 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\
|
||||
& 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Allora $D_{A,B}(35)$ è la ${35}$-sima cifra nel qunto termine, che è 9.
|
||||
|
||||
Ora utilizziamo per $A$ le prime 100 cifre di $π$ dietro il punto decimale:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\ & 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\
|
||||
& 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
|
||||
|
||||
e per $B$ le prossime cento cifre:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\ & 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\
|
||||
& 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $\sum_{n = 0, 1, \ldots, 17} {10}^n × D_{A,B}((127 + 19n) × 7^n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-238-infinite-string-tour
|
||||
|
||||
Crea una sequenza di numeri usando il generatore pseudo-casuale di numero "Blum Blum Shub":
|
||||
|
||||
$$ s_0 = 14025256 \\\\ s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
|
||||
$$ s_0 = 14025256 \\\\
|
||||
s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
|
||||
|
||||
Concatena questi numeri $s_0s_1s_2\ldots$ per creare una stringa $w$ di lunghezza infinita. Quindi, $w = 14025256741014958470038053646\ldots$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-240-top-dice
|
||||
|
||||
Ci sono 1111 modi in cui cinque dadi a 6 facce (le facce numerate da 1 a 6) possono essere lanciati in modo che i tre più grandi sommino a 15. Alcuni esempi sono:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\
|
||||
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\
|
||||
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
|
||||
|
||||
In quanti modi si possono lanciare venti dadi a 12 facce (facce numerate da 1 a 12) in modo che la somma dei dieci maggiori a 70?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,9 @@ Una mossa è indicata dall'iniziale maiuscolo della direzione (sinistra, destra,
|
||||
|
||||
Per ogni percorso, il suo checksum è calcolato con (pseudocodice):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\
|
||||
& \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
|
||||
|
||||
dove $m_k$ è il valore ASCII della $k^{\text{th}}$-ma lettera nella sequenza di movimento e i valori ASCII per le mosse sono:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Ad esempio, l'immagine sottostante mostra una serie di venti punti e alcuni di q
|
||||
|
||||
Per il nostro esempio, abbiamo usato i primi 20 punti ($T_{2k − 1}$, $T_{2k}$), per $k = 1, 2, \ldots, 20$, prodotto con il generatore di numeri pseudo-casuali:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
|
||||
S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
|
||||
|
||||
cioè (527, 144), (−488, 732), (−454, −947), …
|
||||
|
||||
|
||||
@ -28,7 +28,8 @@ Ad esempio, cerchiamo di trovare la radice-quadrata-arrotondata di $n = 4321$.
|
||||
|
||||
$n$ ha 4 cifre, quindi $x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$.
|
||||
|
||||
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
|
||||
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\
|
||||
x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
|
||||
|
||||
Dal momento che $x_2 = x_1$, ci fermiamo qui. Così, dopo solo due iterazioni, abbiamo scoperto che la radice-quadrata-arrotondata di 4321 è 66 (la vera radice quadrata è 65.7343137…).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -8,7 +8,7 @@ dashedName: problem-257-angular-bisectors
|
||||
|
||||
# --description--
|
||||
|
||||
Dato un triangolo con lati interi $ABC$ con lati $a ≤ b ≤ c$. ($AB = c$, $BC = a$ and $AC = b$).
|
||||
Ti viene dato un triangolo con lati interi $ABC$ con lati $a ≤ b ≤ c$ ($AB = c$, $BC = a$ e $AC = b$).
|
||||
|
||||
Le bisettrici angolari del triangolo intersecano i lati ai punti $E$, $F$ e $G$ (vedi la figura sotto).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ $${(k - m)}^2 + \ldots + k^2 = {(n + 1)}^2 + \ldots + {(n + m)}^2$$
|
||||
|
||||
Alcuni piccoli square-pivot sono
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\ & \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\ & \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\
|
||||
& \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\
|
||||
& \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova la somma dei square pivot distinti $≤ {10}^{10}$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-282-the-ackermann-function
|
||||
|
||||
Per gli interi non negativi $m$, $n$, la funzione Ackermann $A(m, n)$ è definita come segue:
|
||||
|
||||
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\ A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ e $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ e $n > 0$} \end{cases}$$
|
||||
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\
|
||||
A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ e $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ e $n > 0$} \end{cases}$$
|
||||
|
||||
Per esempio $A(1, 0) = 2$, $A(2, 2) = 7$ e $A(3, 4) = 125$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-288-an-enormous-factorial
|
||||
|
||||
Per ogni numero primo $p$ il numero $N(p, q)$ è definito da $N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$ con $T_n$ generato dal seguente generatore casuale di numeri:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\ & S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\
|
||||
& S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $Nfac(p,q)$ il fattoriale di $N(p,q)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Chiamiamo l'area convessa racchiusa da due cerchi un foro lenticolare se:
|
||||
|
||||
Considera i cerchi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\ & C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\
|
||||
& C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
|
||||
|
||||
I cerchi $C_0$, $C_1$ e $C_2$ sono disegnati nell'immagine sottostante.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -19,7 +19,9 @@ Sia $C(n)$ il numero di cicli che passano esattamente una volta attraverso tutti
|
||||
|
||||
Si può anche verificare che:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\ & C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\ & C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\
|
||||
& C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\
|
||||
& C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $C(C(C(C(10\\,000)))\bmod {13}^8$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,11 @@ Considera il numero reale $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
|
||||
|
||||
Quando calcoliamo le potenze pari di $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ troviamo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sembra che il numero di nove consecutivi all'inizio della parte frazionaria di queste potenze non diminuisca. In realtà si può dimostrare che la parte frazionaria di ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ si avvicina 1 per $n$ di grandi dimensioni.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -8,18 +8,16 @@ dashedName: problem-323-bitwise-or-operations-on-random-integers
|
||||
|
||||
# --description--
|
||||
|
||||
Sia $y_0, y_1, y_2, \ldots$ una sequenza di numeri interi casuali a 32 bit senza segno
|
||||
Sia $y_0, y_1, y_2, \ldots$ una successione casuale di numeri interi senza segno a 32 bit (cioè $0 ≤ y_i < 2^{32}$, ogni valore altrettanto probabile).
|
||||
|
||||
(cioè $0 ≤ y_i < 2^{32}$, con ogni valore ugualmente probabile).
|
||||
|
||||
Per la sequenza $x_i$ viene fornita la seguente ricorsione:
|
||||
Per la successione $x_i$ viene data la seguente ricorsione:
|
||||
|
||||
- $x_0 = 0$ e
|
||||
- $x_i = x_{i - 1} \mathbf{|} y_{i - 1}$, per $i > 0$. ($\mathbf{|}$ è l'operatore bitwise-OR)
|
||||
|
||||
Si può vedere che alla fine ci sarà un indice $N$ tale che $x_i = 2^{32} - 1$ (un bit-pattern di solo uno) per tutti $i ≥ N$.
|
||||
Si può vedere che alla fine ci sarà un indice $N$ tale che $x_i = 2^{32} - 1$ (un pattern con tutti i bit a uno) per tutti gli i $i ≥ N$.
|
||||
|
||||
Trova il valore atteso di $N$. Dare la risposta arrotondata a 10 cifre dopo il punto decimale.
|
||||
Trova il valore atteso di $N$. Dai la tua risposta arrotondata a 10 cifre dopo il punto decimale.
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ Sia $f(n)$ il numero di modi in cui si può riempire una torre $3×3×n$ con blo
|
||||
|
||||
Per esempio (con $q = 100\\,000\\,007$):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\ & f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\ & f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\
|
||||
& f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\
|
||||
& f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $f({10}^{10000})\bmod 100\\,000\\,007$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-330-eulers-number
|
||||
|
||||
Una sequenza infinita di numeri reali $a(n)$ è definita per tutti gli interi $n$ come segue:
|
||||
|
||||
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\ \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
|
||||
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\
|
||||
\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
|
||||
|
||||
Per esempio,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\ & a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\
|
||||
& a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
|
||||
|
||||
dove $e = 2.7182818\ldots$ è costante di Euler.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ Consideriamo solo quelle partizioni dove nessuno dei termini può dividere uno d
|
||||
|
||||
Molti interi hanno più di una partizione valida, il primo è 11 con le due partizioni seguenti.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\ & 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\
|
||||
& 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Definiamo $P(n)$ come il numero di partizioni valide di $n$. Per esempio, $P(11) = 2$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,10 @@ Ad esempio, considera due ciotole adiacenti contenenti 2 e 3 fagioli rispettivam
|
||||
|
||||
animazione di una partita con due ciotole adiacenti contenenti rispettivamente 2 e 3 fagioli:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\ & t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ is even} \\\\ \left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ is odd} \end{cases} \\\\ & \qquad \text{dove$⌊x⌋$ è la funzione arrotonda verso il basso e $\oplus$ è l'operatore bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\
|
||||
& t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ is even} \\\\
|
||||
\left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ is odd} \end{cases} \\\\
|
||||
& \qquad \text{dove$⌊x⌋$ è la funzione arrotonda verso il basso e $\oplus$ è l'operatore bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
|
||||
|
||||
I primi due termini dell'ultima sequenza sono $b_1 = 289$ e $b_2 = 145$. Se iniziamo con $b_1$ e $b_2$ fagioli in due ciotole adiacenti, saranno necessarie 3419100 mosse per finire la partita.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-340-crazy-function
|
||||
|
||||
Per gli interi fissati $a$, $b$, $c$, definire la funzione pazza $F(n)$ come segue:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ per ogni } n > b \\\\ & F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ per ogni } n ≤ b. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ per ogni } n > b \\\\
|
||||
& F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ per ogni } n ≤ b. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Inoltre, definisci $S(a, b, c) = \displaystyle\sum_{n = 0}^b F(n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-341-golombs-self-describing-sequence
|
||||
|
||||
La sequenza di auto-descrizione di Golomb ($G(n)$) è l'unica sequenza non decrescente di numeri naturali tali che $n$ appaia esattamente $G(n)$ volte nella sequenza. I valori di $G(n)$ per i primi $n$ sono
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\ G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\
|
||||
G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Ti viene dato che $G({10}^3) = 86$, $G({10}^6) = 6137$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,11 +12,20 @@ Definiamo la Somma di Matrice di una matrice come la somma massima di elementi d
|
||||
|
||||
Ad esempio, la somma di matrice della matrice qui sotto è pari a $3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767)$:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\ 497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\
|
||||
497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\
|
||||
627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Trova la somma di matrice di:
|
||||
|
||||
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\ 217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\ 870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\ 322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\ 414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\ 821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\ 815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
|
||||
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\
|
||||
627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\
|
||||
217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\
|
||||
870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\
|
||||
322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\
|
||||
414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\
|
||||
821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\
|
||||
815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ Considera i numeri palindromici che possono essere espressi come la somma di un
|
||||
|
||||
Ad esempio, 5229225 è un numero palindromico e può essere espresso esattamente in 4 modi diversi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\ & {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\ & {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\
|
||||
& {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\
|
||||
& {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova la somma dei cinque numeri palindromi più piccoli.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,9 @@ Il minimo comun divisore, o $lcm$ (dall'inglese least common multiple), di una l
|
||||
|
||||
Sia $f(G, L, N)$ il numero di liste di dimensione $N$ con $gcd ≥ G$ e $lcm ≤ L$. Ad esempio:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\ & f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\ & f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\
|
||||
& f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\
|
||||
& f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $f({10}^6, {10}^{12}, {10}^{18})\bmod {101}^4$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,16 @@ Quando è moltiplicato per 1, 2, 3, 4, ... $n$, tutti i prodotti hanno esattamen
|
||||
|
||||
Il numero ciclico più piccolo è il numero a 6 cifre 142857:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\ & 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\ & 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\ & 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\
|
||||
& 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\
|
||||
& 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\
|
||||
& 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Il successivo numero ciclico è 0588235294117647 con 16 cifre:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\ & 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\ & \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\
|
||||
& 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Nota che per i numeri ciclici gli zeri iniziali sono importanti.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -27,7 +27,10 @@ Alla fine, ogni persona in fila ottiene una stanza nell'hotel.
|
||||
|
||||
Sia $P(f, r)$ $n$ se la persona $n$ occupa stanza $r$ al piano $f$, e 0 se nessuna persona occupa la stanza. Ecco alcuni esempi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\ & P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\ & P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\
|
||||
& P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\
|
||||
& P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\
|
||||
& P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova la somma di tutti i $P(f, r)$ per tutti i positivi $f$ e $r$ in modo tale che $f × r = 71\\,328\\,803\\,586\\,048$ e dai le ultime 8 cifre come risposta.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,8 @@ Definiamo $\\{A_n\\}$ come la sequenza ordinata di interi in modo che l'espressi
|
||||
|
||||
I primi svariati termini di $A_n$ sono dati come segue:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\ A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\
|
||||
A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Possiamo verificare che $A_{100} = 3251$ e $A_{1000} = 80\\,852\\,364\\,498$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Consideriamo ora un'altra serie armonica modificata omettendo dalla serie armoni
|
||||
|
||||
Questi 20 termini omessi sono:
|
||||
|
||||
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\ \dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
|
||||
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\
|
||||
\dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
|
||||
|
||||
Anche questa serie converge.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,7 @@ Mentre guida per andare a lavoro Seth gioca il seguente gioco:
|
||||
|
||||
Ogni volta che i numeri di due targhe visti nel suo viaggio si sommano a 1000, vince.
|
||||
|
||||
Ad es. `MIC-012` e `HAN-988` è una vittoria e `RYU-500` e `SET-500` anche. (finché li vede nello stesso viaggio).
|
||||
Ad es. `MIC-012` e `HAN-988` è una vittoria, così come `RYU-500` e `SET-500` (sempre che li veda nello stesso viaggio).
|
||||
|
||||
Trova il numero previsto di targhe che ha bisogno di vedere per una vittoria. Dai la tua risposta approssimata a 8 cifre dopo il punto decimale.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-375-minimum-of-subsequences
|
||||
|
||||
Lascia che $S_n$ sia una sequenza intera prodotta con il seguente generatore di numeri pseudo-casuali:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
|
||||
S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $A(i, j)$ il minimo dei numeri $S_i, S_{i + 1}, \ldots, S_j$ per $i ≤ j$. Sia $M(N) = \sum A(i, j)$ per $1 ≤ i ≤ j ≤ N$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-376-nontransitive-sets-of-dice
|
||||
|
||||
Considera la seguente serie di dadi con pallini non standard:
|
||||
|
||||
$$$\begin{array}{} \text{Dado A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\ \text{Dado B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Dado C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\ \end{array}$$
|
||||
$$$\begin{array}{} \text{Dado A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\
|
||||
\text{Dado B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Dado C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\
|
||||
\end{array}$$
|
||||
|
||||
Un gioco è giocato da due giocatori scegliendo un dado a turno e lanciandolo. Il giocatore che lancia il valore più alto vince.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-38-pandigital-multiples
|
||||
|
||||
Prendi il numero 192 e moltiplicalo separatemente per 1, 2, e 3:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\ 192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\
|
||||
192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Concatenando ogni prodotto otteniamo il pandigitale di cifre da 1 a 9, 192384576. Chiamiamo 192384576 il prodotto concatenato di 192 e (1, 2, 3).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,9 @@ Considera anche la sequenza sommatoria di $b(n)$: $s(n) = \displaystyle\sum_{i =
|
||||
|
||||
La prima coppia di valori di queste sequenze sono:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
|
||||
a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
|
||||
s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
||||
|
||||
La sequenza $s(n)$ ha la notevole proprietà che tutti gli elementi sono positivi e ogni numero intero positivo $k$ si verifica esattamente $k$ volte.
|
||||
|
||||
@ -28,7 +30,8 @@ Ad esempio: $g(3, 3) = 6$, $g(4, 2) = 7$ and $g(54321, 12345) = 1\\,220\\,847\\,
|
||||
|
||||
Sia $F(n)$ la sequenza di fibonacci definita da:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\
|
||||
& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Definisci $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -32,7 +32,9 @@ Sia $C(n, a, b)$ il costo per il peggio scenario ottenuto da una strategia ottim
|
||||
|
||||
Ecco alcuni esempi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\ & C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\ & C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\
|
||||
& C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\
|
||||
& C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Siano $F_k$ i numeri di Fibonacci: $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ con i casi base $F_1 = F_2 = 1$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Questo funziona anche con numeri che hanno meno di 4 cifre se aggiungiamo al num
|
||||
|
||||
Ad es. iniziamo con il numero 0837:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\
|
||||
& 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
|
||||
|
||||
6174 è chiamata costante Kaprekar. Il processo di ordinamento e sottrazione e ripetizione fino a quando non si raggiunge lo 0 o la costante Kaprekar è chiamato la routine di Kaprekar.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,12 @@ dashedName: problem-417-reciprocal-cycles-ii
|
||||
|
||||
Una frazione di unità contiene 1 nel numeratore. La rappresentazione decimale delle frazioni di unità con i denominatori da 2 a 10 è indicata con:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\ & \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\ & \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\ & \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\ & \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\
|
||||
& \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\
|
||||
& \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\
|
||||
& \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\
|
||||
& \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Dove $0.1(6)$ significa $0.166666\ldots$ e ha una cifra che si ripete. Si può vedere che $\frac{1}{7}$ ha 6 cifre che si ripetono.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,11 +12,14 @@ Una matrice intera positiva è una matrice i cui elementi sono tutti interi posi
|
||||
|
||||
Alcune matrici intere positive possono essere espresse come un quadrato di una matrice intera positiva in due modi diversi. Ecco un esempio:
|
||||
|
||||
$$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\ 48 & 40 \end{pmatrix}=
|
||||
$$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\
|
||||
48 & 40 \end{pmatrix}=
|
||||
{\start{pmatrix}
|
||||
2 & 3 \\\\ 12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
|
||||
2 & 3 \\\\
|
||||
12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
|
||||
{\start{pmatrix}
|
||||
6 & 1 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
|
||||
6 & 1 \\\\
|
||||
4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
|
||||
|
||||
Definiamo $F(N)$ come il numero delle matrici intere positive 2x2 che hanno una traccia inferiore a N e che possono essere espresse come un quadrato di una matrice intera positiva in due modi diversi.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ Un dado a 6 lati viene lanciato $n$ volte. Sia $c$ il numero di coppie di lanci
|
||||
|
||||
Ad esempio, se $n = 7$ e i valori dei lanci sono (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3), allora le seguenti coppie di lanci consecutivi danno lo stesso valore:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\
|
||||
& (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Pertanto, $c = 3$ per (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ Può essere mostrato che il sistema dopo un numero sufficiente di turni evolve a
|
||||
|
||||
Definiamo la sequenza $\\{t_i\\}$:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\ & s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\
|
||||
& s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Iniziando dalla configurazione iniziale $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$, lo stato finale diventa [1, 3, 10, 24, 51, 75].
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-433-steps-in-euclids-algorithm
|
||||
|
||||
Sia $E(x_0, y_0)$ il numero di passi necessari a determinare il maggiore divisore comune di $x_0$ e $y_0$ con l'algoritmo di Euclide. Più formalmente:
|
||||
|
||||
$$$\start{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\ & x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
|
||||
$$$\start{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\
|
||||
& x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
|
||||
|
||||
$E(x_0, y_0)$ è il più piccolo $n$ tale che $y_n = 0$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,11 @@ Ma c'è di più:
|
||||
|
||||
Se guardiamo più da vicino vediamo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\ & 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\ & 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\ & 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\ & 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\
|
||||
& 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\
|
||||
& 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\
|
||||
& 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\
|
||||
& 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Quindi le potenze di 8 mod 11 sono cicliche con periodo 10, e $8^n + 8^{n + 1} ≡ 8^{n + 2} (\text{mod } 11)$. 8 è chiamata radice primitiva di Fibonacci di 11.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -19,7 +19,7 @@ Per $n = 4$, ci sono 12 $n$-ple di interi che soddisfano entrambe le condizioni.
|
||||
|
||||
Definiamo $S(t)$ come la somma dei valori assoluti degli interi in $t$.
|
||||
|
||||
Per $n = 4$ possiamo verificare che $\sum S(t) = 2087$ per tutte le $n$-ple t che soddisfano entrambe le condizioni.
|
||||
Per $n = 4$ possiamo verificare che $\sum S(t) = 2087$ per tutte le $n$-ple $t$ che soddisfano entrambe le condizioni.
|
||||
|
||||
Trova $\sum S(t)$ per $n = 7$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ Sia $S(L)$ la tripla somma $\sum_{a, b, c} gcd(T(c^a), T(c^b)$ per $1 ≤ a, b,
|
||||
|
||||
Per esempio:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\ & S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\
|
||||
& S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $S(2000)\bmod 987\\,898\\,789$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-443-gcd-sequence
|
||||
|
||||
Sia $g(n)$ una sequenza definita come segue:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\ & g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ for } n > 4. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\
|
||||
& g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ for } n > 4. \end{align}$$
|
||||
|
||||
I primi valori sono:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\ g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\
|
||||
g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Ti viene dato che $g(1\\,000) = 2\\,524$ and $g(1\\,000\\,000) = 2\\,624\\,152$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,9 +24,10 @@ Sia $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloo
|
||||
|
||||
Ti è dato che:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\
|
||||
C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
**Nota:** (-625, 0) non è un elemento di $C(2500, 1000)$ perché $\sin(t)$ non è un numero razionale per i valori corrispondenti di t.
|
||||
**Nota:**(-625, 0) non è un elemento di $C(2500, 1000)$ perchè $\sin(t)$ non è un numero razionale per i corrispondenti valori di $t$.
|
||||
|
||||
$S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,10 @@ Ci sono 8 numeri positivi sotto il 14 che sono coprimi di 15: 1, 2, 4, 7, 8, 11,
|
||||
|
||||
I modulari inversi di questi numeri modulo 15 sono: 1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14 perché
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\ & 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\ & 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $I(n)$ il più grande numero positivo $m$ più piccolo di $n - 1$ tale che l'inverso modulare di $m$ modulo $n$ sia uguale a $m$ stesso.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ Sia $f(n)$ il più grande numero intero positivo $x$ minore di ${10}^9$ tale che
|
||||
|
||||
Ad esempio:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = ...490\underline{411728896}) \\\\ & f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\ & Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = ...490\underline{411728896}) \\\\
|
||||
& f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\
|
||||
& Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $\sum f(n)$, $2 ≤ n ≤ {10}^6$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-456-triangles-containing-the-origin-ii
|
||||
|
||||
Definisci:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\
|
||||
& y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Per esempio, $$P_8 = \\{(-14913, -6630), (-10161, 5625), (5226, 11896), (8340, -10778), (15852, -5203), (-15165, 11295), (-1427, -14495), (12407, 1060)\\}$$
|
||||
|
||||
@ -18,7 +19,8 @@ Sia $C(n)$ il numero di triangoli i cui vertici sono in $P_n$ che contiene l'ori
|
||||
|
||||
Esempi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\ & C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\
|
||||
& C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $C(2\\,000\\,000)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-463-a-weird-recurrence-relation
|
||||
|
||||
La funzione $f$ è definita per tutti i numeri interi positivi come segue:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\ & f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\ & f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\
|
||||
& f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\
|
||||
& f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
|
||||
|
||||
La funzione $S(n)$ è definita come $\sum_{i=1}^{n} f(i)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,13 +12,17 @@ Sia $P(m,n)$ il numero di termini distinti in una tabella di moltiplicazione $m
|
||||
|
||||
Ad esempio, una tabella di moltiplicazione 3×4 assomiglia a questa:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\ \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ \mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\
|
||||
\mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\
|
||||
\mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Ci sono 8 termini distinti {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}, quindi $P(3, 4) = 8$.
|
||||
|
||||
Ti è dato che:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263, \\\\ & P(12, 345) = 1\\,998, \text{ and} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302. \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263, \\\\
|
||||
& P(12, 345) = 1\\,998, \text{ and} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302. \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $P(64, {10}^{16})$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,15 +14,18 @@ Ad esempio, 2718281828 è un superintero di 18828, mentre 314159 non è un super
|
||||
|
||||
Sia $p(n) l'$n$° numero primo, e sia $c(n)$ l'$n$° numero composto. Per esempio, $p(1) = 2$, $p(10) = 29$, $c(1) = 4$ e $c(10) = 18$.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\ & \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\
|
||||
& \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $P^D$ la sequenza delle radici digitali di $\\{p(i)\\}$ ($C^D$ è definita in modo simile per $\\{c(i)\\}$):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\ & C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\
|
||||
& C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $P_n$ il numero intero formato concatenando i primi $n$ elementi di $P^D$ ($C_n$ è definito allo stesso modo per $C^D$).
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\ & C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\
|
||||
& C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $f(n)$ il più piccolo intero positivo che è un superintero comune di $P_n$ e $C_n$. Per esempio, $f(10) = 2\\,357\\,246\\,891\\,352\\,679$, and $f(100)\bmod 1\\,000\\,000\\,007 = 771\\,661\\,825$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,13 +14,15 @@ Sia $SB(n)$ il divisore B-smooth più grande di $n$.
|
||||
|
||||
Esempi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\ & S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\
|
||||
& S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Definisci $F(n) = \displaystyle\sum_{B = 1}^n \sum_{r = 0}^n S_B(\displaystyle\binom{n}{r})$. Qui, $\displaystyle\binom{n}{r}$ denota il coefficiente binomiale.
|
||||
|
||||
Esempi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\ & F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\
|
||||
& F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $F(11\\,111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -22,7 +22,7 @@ $2 = \varphi + \varphi^{-2}$ e $3 = \varphi^{2} + \varphi^{-2}$
|
||||
|
||||
Per rappresentare la somma delle potenze di $\varphi$ usiamo una stringa di 0 e 1 con un punto per indicare dove gli esponenti negativi iniziano. Chiamiamo questa rappresentazione in base pi-greco.
|
||||
|
||||
Quindi $1 = 1_{\varphi}$, $2 = 10.01_{\varphi}$, $3 = 100.01_{\varphi}$ e $14 = 100100.001001_{\varphi}$. Le stringhe rappresentanti 1, 2 e 14 nella base pi-greco sono palindromiche, mentre la stringa rappresentante 3 non lo è. (il punto non è il carattere centrale).
|
||||
Quindi $1 = 1_{\varphi}$, $2 = 10.01_{\varphi}$, $3 = 100.01_{\varphi}$ e $14 = 100100.001001_{\varphi}$. Le stringhe che rappresentano 1,2 e 14 nella base numerica phigitale sono palindrome, mentre la stringa che rappresenta 3 non lo è ( il punto phigitale non è il carattere al centro).
|
||||
|
||||
La somma dei numeri interi che non eccedono 1000 la cui rappresentazione in base pi-greco è palindromica è 4345.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,21 @@ Supponi che quelle con 15 lettere o meno sono elencate in ordine alfabetico e nu
|
||||
|
||||
La lista includerebbe:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\ & 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\ & 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\ & 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\ & 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\ & 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\ & 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\ & \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\ & 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\ & \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\ & 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\ & ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\
|
||||
& 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\
|
||||
& 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\
|
||||
& 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\
|
||||
& 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\
|
||||
& 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\
|
||||
& 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\
|
||||
& 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\
|
||||
& 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\
|
||||
& 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\
|
||||
& 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\
|
||||
& ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Sia $P(w)$ la posizione della parola $w$.
|
||||
|
||||
@ -26,7 +40,9 @@ Possiamo vedere che $P(w)$ e $W(p)$ sono operazioni inverse: $P(W(p)) = p$ e $W(
|
||||
|
||||
Esempi:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\ & P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\ & P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\
|
||||
& P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\
|
||||
& P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Trova $$W(P(\text{legionary}) + P(\text{calorimeters}) - P(\text{annihilate}) + P(\text{orchestrated}) - P(\text{fluttering})).$$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,7 @@ Tutte le radici quadrate sono periodiche quando sono scritte come frazioni conti
|
||||
|
||||
$\\displaystyle \\quad \\quad \\sqrt{N}=a_0+\\frac 1 {a_1+\\frac 1 {a_2+ \\frac 1 {a3+ \\dots}}}$
|
||||
|
||||
Per esempio, considera $\\sqrt{23}$:
|
||||
Per esempio, consideriamo $\\sqrt{23}$:
|
||||
|
||||
$\\quad \\quad \\sqrt{23}=4+\\sqrt{23}-4=4+\\frac 1 {\\frac 1 {\\sqrt{23}-4}}=4+\\frac 1 {1+\\frac{\\sqrt{23}-3}7}$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,15 @@ $$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$
|
||||
|
||||
Forse meno noto è 169, in quanto produce la più lunga catena di numeri che riportano a 169; si scopre che esistono solo tre di questi loop:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\ &871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\
|
||||
&871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Non è difficile dimostrare che OGNI numero di partenza alla fine entrerà in un ciclo. Per esempio,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\ &78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\
|
||||
&78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Partire con 69 produce una catena di cinque termini non ripetibili, ma la più lunga catena non ripetibile con un numero iniziale inferiore a un milione è di sessanta termini.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-81-path-sum-two-ways
|
||||
|
||||
Nella matrice 5x5 sotto, il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, **muovendo solo verso destra e verso il basso**, è indicato in rosso grassetto ed è uguale a `2427`.
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Trova il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra muovendo solo verso destra e verso il basso in `matrix`, un array 2D rappresentante una matrice. La dimenzione più grande di una matrice usata nei test è 80x80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-82-path-sum-three-ways
|
||||
|
||||
La somma minima del percorso nella matrice 5 per 5 qui sotto, iniziando in qualsiasi cella nella colonna di sinistra e terminando in qualsiasi cella nella colonna di destra, e solo muovendosi verso l'alto, verso il basso e verso destra, è indicata in rosso e in grassetto; la somma è pari a `994`.
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
|
||||
$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Trova la somma del percorso minimo dalla colonna di sinistra alla colonna di destra in `matrix`, un array 2D che rappresenta una matrice. La dimensione massima della matrice utilizzata nei test sarà di 80 per 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-83-path-sum-four-ways
|
||||
|
||||
Nella matrice 5 x 5 sotto, il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, muovendo verso destra, sinistra, alto e basso, è indicato in rosso grassetto ed è uguale a `2297`.
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Trova il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra muovendo a sinistra, destra, alto e basso in `matrix`, un array 2D rappresentate una matrice. La dimensione massima della matrice utilizzata nei test sarà di 80 per 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -30,7 +30,7 @@ assert(typeof specialPythagoreanTriplet(24) === 'number');
|
||||
assert.strictEqual(specialPythagoreanTriplet(24), 480);
|
||||
```
|
||||
|
||||
`specialPythagoreanTriplet(120)` dovrebbe restituire 49920, 55080 o 60000
|
||||
`specialPythagoreanTriplet(120)` dovrebbe restituire 49920, 55080 o 60000.
|
||||
|
||||
```js
|
||||
assert([49920, 55080, 60000].includes(specialPythagoreanTriplet(120)));
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ Una catena di numeri è creata sommando in modo continuo i quadrati delle cifre
|
||||
|
||||
Per esempio,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\ & 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
|
||||
& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Quindi ogni catena che arriva ad 1 o 89 si bloccherà in un loop senza fine. La cosa affascinante è che OGNI numero iniziale arriverà prima o poi a 1 o 89.
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user