chore(i18n,learn): processed translations (#45583)
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camperbot
GitHub
@ -20,7 +20,9 @@ Di base, se ci fosse stato dato solo il primo termine della sequenza, sarebbe pi
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Quindi otterremo i seguenti PO per la sequenza cubica:
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$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
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OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
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OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
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Chiaramente non esistono BOP per k ≥ 4. Considerando la somma delle FIT generate dai BOP (indicata in $\color{red}{red}$ sopra), otteniamo 1 + 15 + 58 = 74. Considera la seguente funzione generatrice polinomiale di decimo grado:
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@ -15,7 +15,10 @@ Lascia che $S(A)$ rappresenti la somma degli elementi nel set A di dimensione n.
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Se $S(A)$ è minimizzata per un dato n, la chiameremo somma speciale di un set ottimale. Le prime cinque somme speciali di un set ottimale sono date sotto.
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$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\ & n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\ & n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\
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& n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\
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& n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\
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\end{align}$$
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Sembra che per un dato set ottimale, $A = \\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$, il successivo set ottimale è della forma $B = \\{b, a_1 + b, a_2 + b, \ldots, a_n + b\\}$, dove b è l'elemento "di mezzo" della riga precedente.
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@ -14,7 +14,9 @@ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$
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Per `n` = 4 ci sono esattamente tre distinte soluzioni:
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$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
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$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\
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\\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\
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\\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
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Qual è il valore più piccolo di `n` per cui il numero di soluzioni distinte supera mille?
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@ -20,7 +20,12 @@ Ci sono molte variazioni di regole ma nel gioco più popolare i giocatori inizia
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Quando un giocare è in grado di finire sul proprio punteggio viene chiamato un "checkout" e il checkout più alto è 170: T20 T20 D25 (due tripli 20 e un doppio centro). Ci sono esattamente 11 modi distinti per fare checkout con un punteggio di 6:
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$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\ D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\ D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\ S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\ S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\ D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
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$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\
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D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\
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D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\
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S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\
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S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\
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D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
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Nota che D1 D2 è considerato diverso da D2 D1 visto che finiscono su doppi diversi. Invece, la combinazione S1 T1 D1 è considerata la stessa di T1 S1 D1. In aggiunta, non includiamo lanci mancati considerando le combinazioni; per esempio, D3 è la stessa cosa di 0 D3 e 0 0 D3. Incredibilmente ci sono 42336 modi diversi per fare checkout in totale. Quanti modi distinti ci sono per un giocatore di fare checkout con un punteggio inferiore a 100?
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@ -14,11 +14,16 @@ $$n × n × \ldots × n = n^{15}$$
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Ma usando un metodo "binario" è possibile calcolarlo in sei moltiplicazioni:
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$$$\start{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\ & n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\ & n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
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$$$\start{align} & n × n = n^2\\\\
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& n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\
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& n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\
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& n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
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Tuttavia è ancora possibile calcolarlo in sole cinque moltiplicazioni:
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$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\ & n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
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$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
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& n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\
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& n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
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Definiremo $m(k)$ in modo che sia il numero minimo di moltiplicazioni per calcolare $n^k$; per esempio $m(15) = 5$.
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@ -14,7 +14,8 @@ Per questo problema consideriamo i valori di $x$ per cui $A_{F}(x)$ è un numero
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Sorprendentemente
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$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
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$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
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& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
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I valori porrispondenti di $x$ per i primi cinque numeri naturali sono mostrati sotto.
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@ -17,13 +17,17 @@ Nell'esempio sottostante si può facilmente verificare che il triangolo marcato
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Vogliamo creare una tale matrice triangolare con mille righe, in modo da generare 500500 numeri pseudo-casuali $s_k$ nel range $±2^{19}$, utilizzando un tipo di generatore di numeri casuali (noto come generatore di elementi costitutivi lineari) come segue:
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$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\ \text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\ & s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\
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\text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\
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& s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
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Thus: $s_1 = 273519$, $s_2 = −153582$, $s_3 = 450905$ etc.
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La nostra matrice triangolare è poi formata utilizzando i numeri pseudo-casuali in questo modo:
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$$ s_1 \\\\ s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\ s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
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$$ s_1 \\\\
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s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\
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s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
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I sub-triangoli possono iniziare da qualsiasi elemento dell'array ed estendersi quanto vogliamo (prendendo i due elementi direttamente sotto di esso dalla riga successiva, i tre elementi direttamente al di sotto dalla riga successiva, e così via).
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@ -12,7 +12,10 @@ Considera l'equazione diofantina $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{p}{{10}^n}$
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Per $n = 1$ questa equazione ha 20 soluzioni che sono elencate di seguito:
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$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\ \frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
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$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\
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\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\
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\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\
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\frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
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Quante soluzioni ha questa equazione per $1 ≤ n ≤ 9$?
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@ -12,7 +12,10 @@ Un numero composito può essere fattorizzato in molti modi diversi.
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Per esempio, senza includere la moltiplicazione per 1, 24 può essere fattorizzato in 7 modi distinti:
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$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\ & 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\ & 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\ & 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\
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& 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\
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& 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\
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& 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
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Ricordati che le radice numerica di un numero, in base 10, si trova sommando le cifre del numero e ripetendo il processo fino a che il risultato non è inferiore a 10. Quindi la radice numerica di 467 è 8.
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@ -12,7 +12,8 @@ Per ogni $N$, $f(N)$ rappresenti le ultime cinque cifre prima degli zero finali
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Ad esempio,
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$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\ & 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\
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& 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
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Trova $f(1,000,000,000,000)$
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@ -18,7 +18,8 @@ Si può vedere che il triangolo di dimensione 2 contiene 4 triangoli di dimensio
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Sia $T(n)$ il numero di triangoli presenti in un triangolo di dimensione $n$, allora
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$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\ & T(2) = 104 \end{align}$$
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$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\
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& T(2) = 104 \end{align}$$
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Trova $T(36)$.
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@ -16,13 +16,17 @@ Sia $T$, un punto in comune di due segmenti $L_1$ e $L_2$, un vero punto d'inter
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Considera i tre segmenti $L_1$, $L_2$, e $L_3$:
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$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\ & L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\
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& L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\
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\end{align}$$
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Si può verificare che i segmenti $L_2$ e $L_3$ hanno un vero punto di intersezione. Notiamo che essendo uno dei terminali di $L_3$: (22, 40) su $L_1$ questo non è un vero punto d'intersezione. $L_1$ e $L_2$ non hanno un punto in comune. Quindi tra i tre segmenti troviamo un vero punto di intersezione.
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Adesso facciamo lo stesso per 5000 segmenti. A questo fine, generiamo 20000 numeri casuali usando il generatore pseudo-casuale di numeri chiamato "Blum Blum Shub".
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$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\ & s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\
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& s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\
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\end{align}$$
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Per creare ogni segmento, usiamo quattro numeri consecutivi $t_n$. Quindi, il primo segmento è dato da:
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@ -12,7 +12,9 @@ Una griglia 4x4 è riempita con cifre $d$, $0 ≤ d ≤ 9$.
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Si può vedere che nella griglia
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$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\ 5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
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$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\
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5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\
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1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
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la somma di ciascuna riga e di ciascuna colonna ha il valore 12. Inoltre la somma di ogni diagonale è anch'essa 12.
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@ -14,7 +14,9 @@ Sia $f(0) = 1$ e sia $f(n)$ il numero di modi diversi in cui $n$ può essere esp
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Per esempio, $f(10)=5$ visto che ci sono cinque modi diversi di esprimere 10:
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$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\ & 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\ & 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\
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& 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\
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& 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
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Qual è il valore di $f({10}^{25})$?
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@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: >-
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Prendi il numero 6 e moltiplicalo per 1273 e 9854:
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$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\ & 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\
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& 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
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Concatenando questi prodotti otteniamo il pandigitale 1-9 763859124. Chiamiamo 763859124 il "prodotto concatenato di 6 e (1273, 9854)". Nota anche, che la concatenazione dei numeri di input, 612739854, è pure un numero pandigitale 1-9.
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: >-
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Per un numero intero positivo $n$, sia $f(n)$ la somma dei quadrati delle cifre (in base 10) di $n$, es.
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$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\ & f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\
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& f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\
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\end{align}$$
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Trova le ultime nove cifre della somma di tutti $n$, $0 < n < {10}^{20}$, tali che $f(n)$ sia un quadrato perfetto.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables
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Per qualsiasi intero $n$, considera le tre funzioni
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$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\ & f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
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$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\
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& f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
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e la loro combinazione
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@ -14,13 +14,27 @@ Invece di chiodini colorati, devi indovinare una sequenza segreta di cifre. Dopo
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Per esempio, date le seguenti ipotesi per una sequenza segreta di 5 cifre,
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$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
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$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
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La sequenza corretta 39542 è unica.
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Sulla base delle ipotesi seguenti,
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$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
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$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\
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& 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\
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& 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
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Trova la sequenza segreta unica a 16 cifre.
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@ -10,7 +10,13 @@ dashedName: problem-196-prime-triplets
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Costruisci un triangolo da tutti gli interi positivi nel modo seguente:
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$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\ & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\ & \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\ & 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\ & \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\ & 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\ & \cdots \end{array}$$
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$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\
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& \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\
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& \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\
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& 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\
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& \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\
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||||
& 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\
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& \cdots \end{array}$$
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Ogni numero intero positivo ha fino a otto vicini nel triangolo.
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@ -22,7 +22,7 @@ Considerando i termini nella sequenza di Fibonacci i cui valori non superano `n`
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assert(typeof fiboEvenSum(10) === 'number');
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```
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La tua funzione dovrebbe restituire un valore `pari`.
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||||
La tua funzione dovrebbe restituire un valore pari.
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```js
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assert.equal(fiboEvenSum(10) % 2 === 0, true);
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@ -12,7 +12,17 @@ Per qualsiasi insieme $A$ di numeri, sia $sum(A)$ la somma degli elementi di $A$
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Considera l'insieme $B = \\{1,3,6,8,10,11\\}$. Ci sono 20 sottoinsiemi di $B$ contenenti tre elementi, e le loro somme sono:
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$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\ & sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\ & sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\ & sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\ & sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
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$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\
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||||
& sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\
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||||
& sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\
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||||
& sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\
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||||
& sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\
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||||
& sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\
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||||
& sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\
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||||
& sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\
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||||
& sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\
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||||
& sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\
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||||
& sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
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Alcune di queste somme si verificano più di una volta, altre sono uniche. Per un insieme $A$, sia $U(A,k)$ l'insieme di somme uniche dei sottoinsiemi di $k$ elementi di $A$, nel nostro esempio troviamo $U(B,3) = \\{10,12,14,18,21,25,27,29\\}$ e $sum(U(B,3)) = 156$.
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@ -10,7 +10,11 @@ dashedName: problem-203-squarefree-binomial-coefficients
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I coefficienti binomiali $\displaystyle\binom{n}{k}$ possono essere disposti in forma triangolare (il triangolo di Pascal) in questo modo:
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$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\ & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\ & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\ & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\ 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\
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& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\
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& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\
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& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\
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1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
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Si può notare che le prime otto righe del triangolo di Pascal contengono dodici numeri distinti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 e 35.
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@ -20,7 +20,11 @@ Così $P(6) = \frac{1}{2}$.
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Nella tabella seguente sono elencati alcuni valori di $P(m)$
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$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\ & P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\ & P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\ & P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\ & P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
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$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\
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& P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\
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& P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\
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& P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\
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& P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
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Trova il più piccolo $m$ per il quale $P(m) < \frac{1}{12\\,345}
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@ -12,7 +12,10 @@ Un cuboid allineato all'asse, specificato dai parametri $\{ (x_0,y_0,z_0), (dx,d
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Sia $C_1, \ldots, C_{50000}$ una collezione di 50000 cuboidi allineati assialmente in modo che $C_n$ abbia parametri
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$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
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& y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
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||||
& dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\
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& dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
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dove $S_1, \ldots, S_{300000}$ provengono dal "Lagged Fibonacci Generator":
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@ -12,7 +12,11 @@ Sia $φ$ la funzione toziente di Eulero, cioè per un numero naturale $n$, $φ(n
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Iterando $φ$, ogni numero intero positivo genera una serie decrescente di numeri che termina con 1. Ad es. se iniziamo con 5 viene generata la sequenza 5,4,2,1. Ecco un elenco di tutte le catene con lunghezza 4:
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$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\ 7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\ 9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\ 12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\ 18,6,2,1 & \end{align}$$
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$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\
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7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\
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9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\
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12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\
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18,6,2,1 & \end{align}$$
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Solo due di queste catene iniziano con un primo, la loro somma è 12.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-228-minkowski-sums
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Sia $S_n$ il poligono regolare a $n$ lati i cui vertici $v_k (k = 1, 2, \ldots, n)$ hanno coordinate:
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$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\ & y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
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$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\
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& y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
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Ogni $S_n$ è da considerarsi come una forma riempita consistente di tutti i punti sia del perimetro che dell'interno.
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@ -10,13 +10,17 @@ dashedName: problem-229-four-representations-using-squares
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Considera il numero 3600. È molto speciale, perché
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$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\ & 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\ & 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\
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& 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\
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& 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
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In maniera simile troviamo che $88201 = {99}^2 + {280}^2 = {287}^2 + 2 × {54}^2 = {283}^2 + 3 × {52}^2 = {197}^2 + 7 × {84}^2$.
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Nel 1747, Eulero ha provato quali numeri sono rappresentabili come somma di due quadrati. Siamo interessati nel numero $n$ che ammette le rappresentazioni di tutti i seguenti quattro tipi:
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$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\ & n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\ & n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\
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& n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\
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||||
& n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
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dove i numeri $a_k$ e $b_k$ sono numeri interi positivi.
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@ -18,17 +18,21 @@ Sia $A = 1\\,415\\,926\\,535$, $B = 8\\,979\\,323\\,846$. Vogliamo trovare, dici
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I primi termini di $F_{A,B}$ sono:
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$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\ & 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1\\,415\\,926\\,535 \\\\
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& 8\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\
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& 897\\,932\\,384\\,614\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \\\\ & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,897\\,932\\,384\\,614\\,15\color{red}{9}\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846 \end{align}$$
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Allora $D_{A,B}(35)$ è la ${35}$-sima cifra nel qunto termine, che è 9.
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Ora utilizziamo per $A$ le prime 100 cifre di $π$ dietro il punto decimale:
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$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\ & 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 14\\,159\\,265\\,358\\,979\\,323\\,846\\,264\\,338\\,327\\,950\\,288\\,419\\,716\\,939\\,937\\,510 \\\\
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& 58\\,209\\,749\\,445\\,923\\,078\\,164\\,062\\,862\\,089\\,986\\,280\\,348\\,253\\,421\\,170\\,679 \end{align}$$
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e per $B$ le prossime cento cifre:
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$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\ & 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 82\\,148\\,086\\,513\\,282\\,306\\,647\\,093\\,844\\,609\\,550\\,582\\,231\\,725\\,359\\,408\\,128 \\\\
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& 48\\,111\\,745\\,028\\,410\\,270\\,193\\,852\\,110\\,555\\,964\\,462\\,294\\,895\\,493\\,038\\,196 \end{align}$$
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Trova $\sum_{n = 0, 1, \ldots, 17} {10}^n × D_{A,B}((127 + 19n) × 7^n)$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-238-infinite-string-tour
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Crea una sequenza di numeri usando il generatore pseudo-casuale di numero "Blum Blum Shub":
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$$ s_0 = 14025256 \\\\ s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
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$$ s_0 = 14025256 \\\\
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s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20\\,300\\,713 $$
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Concatena questi numeri $s_0s_1s_2\ldots$ per creare una stringa $w$ di lunghezza infinita. Quindi, $w = 14025256741014958470038053646\ldots$
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-240-top-dice
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Ci sono 1111 modi in cui cinque dadi a 6 facce (le facce numerate da 1 a 6) possono essere lanciati in modo che i tre più grandi sommino a 15. Alcuni esempi sono:
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$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
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$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\
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& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\
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& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
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In quanti modi si possono lanciare venti dadi a 12 facce (facce numerate da 1 a 12) in modo che la somma dei dieci maggiori a 70?
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@ -16,7 +16,9 @@ Una mossa è indicata dall'iniziale maiuscolo della direzione (sinistra, destra,
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Per ogni percorso, il suo checksum è calcolato con (pseudocodice):
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$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
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$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\
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& \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\
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& \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
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dove $m_k$ è il valore ASCII della $k^{\text{th}}$-ma lettera nella sequenza di movimento e i valori ASCII per le mosse sono:
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@ -16,7 +16,8 @@ Ad esempio, l'immagine sottostante mostra una serie di venti punti e alcuni di q
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Per il nostro esempio, abbiamo usato i primi 20 punti ($T_{2k − 1}$, $T_{2k}$), per $k = 1, 2, \ldots, 20$, prodotto con il generatore di numeri pseudo-casuali:
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$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
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$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
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S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50\\,515\\,093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
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cioè (527, 144), (−488, 732), (−454, −947), …
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@ -28,7 +28,8 @@ Ad esempio, cerchiamo di trovare la radice-quadrata-arrotondata di $n = 4321$.
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$n$ ha 4 cifre, quindi $x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$.
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$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
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$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\
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x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
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Dal momento che $x_2 = x_1$, ci fermiamo qui. Così, dopo solo due iterazioni, abbiamo scoperto che la radice-quadrata-arrotondata di 4321 è 66 (la vera radice quadrata è 65.7343137…).
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@ -8,7 +8,7 @@ dashedName: problem-257-angular-bisectors
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# --description--
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Dato un triangolo con lati interi $ABC$ con lati $a ≤ b ≤ c$. ($AB = c$, $BC = a$ and $AC = b$).
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Ti viene dato un triangolo con lati interi $ABC$ con lati $a ≤ b ≤ c$ ($AB = c$, $BC = a$ e $AC = b$).
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Le bisettrici angolari del triangolo intersecano i lati ai punti $E$, $F$ e $G$ (vedi la figura sotto).
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@ -14,7 +14,9 @@ $${(k - m)}^2 + \ldots + k^2 = {(n + 1)}^2 + \ldots + {(n + m)}^2$$
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Alcuni piccoli square-pivot sono
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$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\ & \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\ & \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\
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& \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\
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& \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
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Trova la somma dei square pivot distinti $≤ {10}^{10}$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-282-the-ackermann-function
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Per gli interi non negativi $m$, $n$, la funzione Ackermann $A(m, n)$ è definita come segue:
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$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\ A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ e $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ e $n > 0$} \end{cases}$$
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$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\
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A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ e $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ e $n > 0$} \end{cases}$$
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Per esempio $A(1, 0) = 2$, $A(2, 2) = 7$ e $A(3, 4) = 125$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-288-an-enormous-factorial
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Per ogni numero primo $p$ il numero $N(p, q)$ è definito da $N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$ con $T_n$ generato dal seguente generatore casuale di numeri:
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$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\ & S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
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$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\
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& S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
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Sia $Nfac(p,q)$ il fattoriale di $N(p,q)$.
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@ -16,7 +16,8 @@ Chiamiamo l'area convessa racchiusa da due cerchi un foro lenticolare se:
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Considera i cerchi:
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$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\ & C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
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$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\
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& C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
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I cerchi $C_0$, $C_1$ e $C_2$ sono disegnati nell'immagine sottostante.
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@ -19,7 +19,9 @@ Sia $C(n)$ il numero di cicli che passano esattamente una volta attraverso tutti
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Si può anche verificare che:
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$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\ & C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\ & C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\
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& C(5) = 71\\,328\\,803\\,586\\,048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37\\,652\\,224 \\\\
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& C(10 000)\bmod {13}^8 = 617\\,720\\,485 \\\\ \end{align}$$
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Trova $C(C(C(C(10\\,000)))\bmod {13}^8$.
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@ -12,7 +12,11 @@ Considera il numero reale $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
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Quando calcoliamo le potenze pari di $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ troviamo:
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
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||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
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||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
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||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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Sembra che il numero di nove consecutivi all'inizio della parte frazionaria di queste potenze non diminuisca. In realtà si può dimostrare che la parte frazionaria di ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ si avvicina 1 per $n$ di grandi dimensioni.
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@ -8,18 +8,16 @@ dashedName: problem-323-bitwise-or-operations-on-random-integers
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# --description--
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Sia $y_0, y_1, y_2, \ldots$ una sequenza di numeri interi casuali a 32 bit senza segno
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Sia $y_0, y_1, y_2, \ldots$ una successione casuale di numeri interi senza segno a 32 bit (cioè $0 ≤ y_i < 2^{32}$, ogni valore altrettanto probabile).
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(cioè $0 ≤ y_i < 2^{32}$, con ogni valore ugualmente probabile).
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Per la sequenza $x_i$ viene fornita la seguente ricorsione:
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Per la successione $x_i$ viene data la seguente ricorsione:
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- $x_0 = 0$ e
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- $x_i = x_{i - 1} \mathbf{|} y_{i - 1}$, per $i > 0$. ($\mathbf{|}$ è l'operatore bitwise-OR)
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Si può vedere che alla fine ci sarà un indice $N$ tale che $x_i = 2^{32} - 1$ (un bit-pattern di solo uno) per tutti $i ≥ N$.
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Si può vedere che alla fine ci sarà un indice $N$ tale che $x_i = 2^{32} - 1$ (un pattern con tutti i bit a uno) per tutti gli i $i ≥ N$.
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Trova il valore atteso di $N$. Dare la risposta arrotondata a 10 cifre dopo il punto decimale.
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Trova il valore atteso di $N$. Dai la tua risposta arrotondata a 10 cifre dopo il punto decimale.
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# --hints--
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@ -12,7 +12,9 @@ Sia $f(n)$ il numero di modi in cui si può riempire una torre $3×3×n$ con blo
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Per esempio (con $q = 100\\,000\\,007$):
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$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\ & f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\ & f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\
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& f(4) = 117\\,805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96\\,149\\,360, \\\\
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& f({10}^3)\bmod q = 24\\,806\\,056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30\\,808\\,124. \end{align}$$
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Trova $f({10}^{10000})\bmod 100\\,000\\,007$.
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@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-330-eulers-number
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Una sequenza infinita di numeri reali $a(n)$ è definita per tutti gli interi $n$ come segue:
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$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\ \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
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$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\
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\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
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Per esempio,
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$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\ & a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
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$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\
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& a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
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dove $e = 2.7182818\ldots$ è costante di Euler.
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@ -14,7 +14,8 @@ Consideriamo solo quelle partizioni dove nessuno dei termini può dividere uno d
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Molti interi hanno più di una partizione valida, il primo è 11 con le due partizioni seguenti.
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$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\ & 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
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$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\
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& 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
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Definiamo $P(n)$ come il numero di partizioni valide di $n$. Per esempio, $P(11) = 2$.
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@ -16,7 +16,10 @@ Ad esempio, considera due ciotole adiacenti contenenti 2 e 3 fagioli rispettivam
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animazione di una partita con due ciotole adiacenti contenenti rispettivamente 2 e 3 fagioli:
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$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\ & t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ is even} \\\\ \left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ is odd} \end{cases} \\\\ & \qquad \text{dove$⌊x⌋$ è la funzione arrotonda verso il basso e $\oplus$ è l'operatore bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
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$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\
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& t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ is even} \\\\
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\left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ is odd} \end{cases} \\\\
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& \qquad \text{dove$⌊x⌋$ è la funzione arrotonda verso il basso e $\oplus$ è l'operatore bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
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I primi due termini dell'ultima sequenza sono $b_1 = 289$ e $b_2 = 145$. Se iniziamo con $b_1$ e $b_2$ fagioli in due ciotole adiacenti, saranno necessarie 3419100 mosse per finire la partita.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-340-crazy-function
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Per gli interi fissati $a$, $b$, $c$, definire la funzione pazza $F(n)$ come segue:
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$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ per ogni } n > b \\\\ & F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ per ogni } n ≤ b. \end{align}$$
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$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ per ogni } n > b \\\\
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& F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ per ogni } n ≤ b. \end{align}$$
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Inoltre, definisci $S(a, b, c) = \displaystyle\sum_{n = 0}^b F(n)$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-341-golombs-self-describing-sequence
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La sequenza di auto-descrizione di Golomb ($G(n)$) è l'unica sequenza non decrescente di numeri naturali tali che $n$ appaia esattamente $G(n)$ volte nella sequenza. I valori di $G(n)$ per i primi $n$ sono
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$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\ G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\
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G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
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Ti viene dato che $G({10}^3) = 86$, $G({10}^6) = 6137$.
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@ -12,11 +12,20 @@ Definiamo la Somma di Matrice di una matrice come la somma massima di elementi d
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Ad esempio, la somma di matrice della matrice qui sotto è pari a $3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767)$:
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$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\ 497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
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$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\
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497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\
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627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
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Trova la somma di matrice di:
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$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\ 217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\ 870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\ 322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\ 414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\ 821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\ 815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
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$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\
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627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\
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217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\
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870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\
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322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\
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414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\
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821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\
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815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
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# --hints--
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@ -14,7 +14,9 @@ Considera i numeri palindromici che possono essere espressi come la somma di un
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Ad esempio, 5229225 è un numero palindromico e può essere espresso esattamente in 4 modi diversi:
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$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\ & {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\ & {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
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$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\
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& {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\
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& {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
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Trova la somma dei cinque numeri palindromi più piccoli.
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@ -16,7 +16,9 @@ Il minimo comun divisore, o $lcm$ (dall'inglese least common multiple), di una l
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Sia $f(G, L, N)$ il numero di liste di dimensione $N$ con $gcd ≥ G$ e $lcm ≤ L$. Ad esempio:
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$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\ & f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\ & f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\
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& f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\
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& f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3\\,286\\,053 \end{align}$$
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Trova $f({10}^6, {10}^{12}, {10}^{18})\bmod {101}^4$.
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@ -14,11 +14,16 @@ Quando è moltiplicato per 1, 2, 3, 4, ... $n$, tutti i prodotti hanno esattamen
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Il numero ciclico più piccolo è il numero a 6 cifre 142857:
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$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\ & 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\ & 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\ & 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\
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& 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\
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& 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\
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& 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
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Il successivo numero ciclico è 0588235294117647 con 16 cifre:
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$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\ & 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\ & \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\
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& 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\
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& \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
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Nota che per i numeri ciclici gli zeri iniziali sono importanti.
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@ -27,7 +27,10 @@ Alla fine, ogni persona in fila ottiene una stanza nell'hotel.
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Sia $P(f, r)$ $n$ se la persona $n$ occupa stanza $r$ al piano $f$, e 0 se nessuna persona occupa la stanza. Ecco alcuni esempi:
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$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\ & P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\ & P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
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$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\
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& P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\
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& P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\
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& P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
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Trova la somma di tutti i $P(f, r)$ per tutti i positivi $f$ e $r$ in modo tale che $f × r = 71\\,328\\,803\\,586\\,048$ e dai le ultime 8 cifre come risposta.
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@ -20,7 +20,8 @@ Definiamo $\\{A_n\\}$ come la sequenza ordinata di interi in modo che l'espressi
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I primi svariati termini di $A_n$ sono dati come segue:
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$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\ A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\
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A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
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Possiamo verificare che $A_{100} = 3251$ e $A_{1000} = 80\\,852\\,364\\,498$.
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@ -16,7 +16,8 @@ Consideriamo ora un'altra serie armonica modificata omettendo dalla serie armoni
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Questi 20 termini omessi sono:
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$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\ \dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
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$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\
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\dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
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Anche questa serie converge.
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@ -14,7 +14,7 @@ Mentre guida per andare a lavoro Seth gioca il seguente gioco:
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Ogni volta che i numeri di due targhe visti nel suo viaggio si sommano a 1000, vince.
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Ad es. `MIC-012` e `HAN-988` è una vittoria e `RYU-500` e `SET-500` anche. (finché li vede nello stesso viaggio).
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Ad es. `MIC-012` e `HAN-988` è una vittoria, così come `RYU-500` e `SET-500` (sempre che li veda nello stesso viaggio).
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Trova il numero previsto di targhe che ha bisogno di vedere per una vittoria. Dai la tua risposta approssimata a 8 cifre dopo il punto decimale.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-375-minimum-of-subsequences
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Lascia che $S_n$ sia una sequenza intera prodotta con il seguente generatore di numeri pseudo-casuali:
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$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\ S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
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$$\begin{align} S_0 & = 290\\,797 \\\\
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S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50\\,515\\,093 \end{align}$$
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Sia $A(i, j)$ il minimo dei numeri $S_i, S_{i + 1}, \ldots, S_j$ per $i ≤ j$. Sia $M(N) = \sum A(i, j)$ per $1 ≤ i ≤ j ≤ N$.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-376-nontransitive-sets-of-dice
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Considera la seguente serie di dadi con pallini non standard:
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$$$\begin{array}{} \text{Dado A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\ \text{Dado B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Dado C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\ \end{array}$$
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$$$\begin{array}{} \text{Dado A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\
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\text{Dado B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Dado C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\
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\end{array}$$
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Un gioco è giocato da due giocatori scegliendo un dado a turno e lanciandolo. Il giocatore che lancia il valore più alto vince.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-38-pandigital-multiples
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Prendi il numero 192 e moltiplicalo separatemente per 1, 2, e 3:
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$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\ 192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\
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192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\
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\end{align}$$
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Concatenando ogni prodotto otteniamo il pandigitale di cifre da 1 a 9, 192384576. Chiamiamo 192384576 il prodotto concatenato di 192 e (1, 2, 3).
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@ -18,7 +18,9 @@ Considera anche la sequenza sommatoria di $b(n)$: $s(n) = \displaystyle\sum_{i =
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La prima coppia di valori di queste sequenze sono:
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$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
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$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
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a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
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s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
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La sequenza $s(n)$ ha la notevole proprietà che tutti gli elementi sono positivi e ogni numero intero positivo $k$ si verifica esattamente $k$ volte.
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@ -28,7 +30,8 @@ Ad esempio: $g(3, 3) = 6$, $g(4, 2) = 7$ and $g(54321, 12345) = 1\\,220\\,847\\,
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Sia $F(n)$ la sequenza di fibonacci definita da:
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$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
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$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\
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& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
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Definisci $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
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@ -32,7 +32,9 @@ Sia $C(n, a, b)$ il costo per il peggio scenario ottenuto da una strategia ottim
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Ecco alcuni esempi:
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$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\ & C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\ & C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\
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& C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20\\,000, 5, 7) = 82 \\\\
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& C(2\\,000\\,000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
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Siano $F_k$ i numeri di Fibonacci: $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ con i casi base $F_1 = F_2 = 1$.
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@ -16,7 +16,8 @@ Questo funziona anche con numeri che hanno meno di 4 cifre se aggiungiamo al num
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Ad es. iniziamo con il numero 0837:
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$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\
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& 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
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6174 è chiamata costante Kaprekar. Il processo di ordinamento e sottrazione e ripetizione fino a quando non si raggiunge lo 0 o la costante Kaprekar è chiamato la routine di Kaprekar.
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@ -10,7 +10,12 @@ dashedName: problem-417-reciprocal-cycles-ii
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Una frazione di unità contiene 1 nel numeratore. La rappresentazione decimale delle frazioni di unità con i denominatori da 2 a 10 è indicata con:
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$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\ & \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\ & \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\ & \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\ & \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\
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& \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\
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& \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\
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& \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\
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& \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\
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\end{align}$$
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Dove $0.1(6)$ significa $0.166666\ldots$ e ha una cifra che si ripete. Si può vedere che $\frac{1}{7}$ ha 6 cifre che si ripetono.
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@ -12,11 +12,14 @@ Una matrice intera positiva è una matrice i cui elementi sono tutti interi posi
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Alcune matrici intere positive possono essere espresse come un quadrato di una matrice intera positiva in due modi diversi. Ecco un esempio:
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$$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\ 48 & 40 \end{pmatrix}=
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$$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\
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48 & 40 \end{pmatrix}=
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{\start{pmatrix}
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2 & 3 \\\\ 12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
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2 & 3 \\\\
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12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
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{\start{pmatrix}
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6 & 1 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
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6 & 1 \\\\
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4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
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Definiamo $F(N)$ come il numero delle matrici intere positive 2x2 che hanno una traccia inferiore a N e che possono essere espresse come un quadrato di una matrice intera positiva in due modi diversi.
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@ -14,7 +14,8 @@ Un dado a 6 lati viene lanciato $n$ volte. Sia $c$ il numero di coppie di lanci
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Ad esempio, se $n = 7$ e i valori dei lanci sono (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3), allora le seguenti coppie di lanci consecutivi danno lo stesso valore:
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$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
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$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\
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& (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
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Pertanto, $c = 3$ per (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3).
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@ -24,7 +24,8 @@ Può essere mostrato che il sistema dopo un numero sufficiente di turni evolve a
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Definiamo la sequenza $\\{t_i\\}$:
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$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\ & s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
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$$\begin{align} & s_0 = 290\\,797 \\\\
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& s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50\\,515\\,093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
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Iniziando dalla configurazione iniziale $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$, lo stato finale diventa [1, 3, 10, 24, 51, 75].
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-433-steps-in-euclids-algorithm
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Sia $E(x_0, y_0)$ il numero di passi necessari a determinare il maggiore divisore comune di $x_0$ e $y_0$ con l'algoritmo di Euclide. Più formalmente:
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$$$\start{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\ & x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
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$$$\start{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\
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& x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
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$E(x_0, y_0)$ è il più piccolo $n$ tale che $y_n = 0$.
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@ -16,7 +16,11 @@ Ma c'è di più:
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Se guardiamo più da vicino vediamo:
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$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\ & 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\ & 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\ & 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\ & 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\
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& 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\
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& 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\
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& 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\
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& 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
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Quindi le potenze di 8 mod 11 sono cicliche con periodo 10, e $8^n + 8^{n + 1} ≡ 8^{n + 2} (\text{mod } 11)$. 8 è chiamata radice primitiva di Fibonacci di 11.
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@ -19,7 +19,7 @@ Per $n = 4$, ci sono 12 $n$-ple di interi che soddisfano entrambe le condizioni.
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Definiamo $S(t)$ come la somma dei valori assoluti degli interi in $t$.
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Per $n = 4$ possiamo verificare che $\sum S(t) = 2087$ per tutte le $n$-ple t che soddisfano entrambe le condizioni.
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Per $n = 4$ possiamo verificare che $\sum S(t) = 2087$ per tutte le $n$-ple $t$ che soddisfano entrambe le condizioni.
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Trova $\sum S(t)$ per $n = 7$.
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@ -24,7 +24,8 @@ Sia $S(L)$ la tripla somma $\sum_{a, b, c} gcd(T(c^a), T(c^b)$ per $1 ≤ a, b,
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Per esempio:
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$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\ & S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
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$$\begin{align} & S(2) = 10\\,444 \\\\
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& S(3) = 1\\,292\\,115\\,238\\,446\\,807\\,016\\,106\\,539\\,989 \\\\ & S(4)\bmod 987\\,898\\,789 = 670\\,616\\,280. \end{align}$$
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Trova $S(2000)\bmod 987\\,898\\,789$.
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@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-443-gcd-sequence
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Sia $g(n)$ una sequenza definita come segue:
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$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\ & g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ for } n > 4. \end{align}$$
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$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\
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& g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ for } n > 4. \end{align}$$
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I primi valori sono:
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$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\ g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\
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g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
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Ti viene dato che $g(1\\,000) = 2\\,524$ and $g(1\\,000\\,000) = 2\\,624\\,152$.
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@ -24,9 +24,10 @@ Sia $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloo
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Ti è dato che:
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$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
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$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\
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C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
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**Nota:** (-625, 0) non è un elemento di $C(2500, 1000)$ perché $\sin(t)$ non è un numero razionale per i valori corrispondenti di t.
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**Nota:**(-625, 0) non è un elemento di $C(2500, 1000)$ perchè $\sin(t)$ non è un numero razionale per i corrispondenti valori di $t$.
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$S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$
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@ -14,7 +14,10 @@ Ci sono 8 numeri positivi sotto il 14 che sono coprimi di 15: 1, 2, 4, 7, 8, 11,
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I modulari inversi di questi numeri modulo 15 sono: 1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14 perché
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$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\ & 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\ & 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
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& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
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& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
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& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
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Sia $I(n)$ il più grande numero positivo $m$ più piccolo di $n - 1$ tale che l'inverso modulare di $m$ modulo $n$ sia uguale a $m$ stesso.
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@ -12,7 +12,9 @@ Sia $f(n)$ il più grande numero intero positivo $x$ minore di ${10}^9$ tale che
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Ad esempio:
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$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = ...490\underline{411728896}) \\\\ & f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\ & Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(4) = 411\\,728\\,896 (4^{411\\,728\\,896} = ...490\underline{411728896}) \\\\
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& f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743\\,757 (157^{743\\,757} = ...567\underline{000743757}) \\\\
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& Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442\\,530\\,011\\,399 \end{align}$$
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Trova $\sum f(n)$, $2 ≤ n ≤ {10}^6$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-456-triangles-containing-the-origin-ii
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Definisci:
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$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
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$$\begin{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\
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& y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
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Per esempio, $$P_8 = \\{(-14913, -6630), (-10161, 5625), (5226, 11896), (8340, -10778), (15852, -5203), (-15165, 11295), (-1427, -14495), (12407, 1060)\\}$$
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@ -18,7 +19,8 @@ Sia $C(n)$ il numero di triangoli i cui vertici sono in $P_n$ che contiene l'ori
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Esempi:
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$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\ & C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
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$$\begin{align} & C(8) = 20 \\\\
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& C(600) = 8\\,950\\,634 \\\\ & C(40\\,000) = 2\\,666\\,610\\,948\\,988 \end{align}$$
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Trova $C(2\\,000\\,000)$.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-463-a-weird-recurrence-relation
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La funzione $f$ è definita per tutti i numeri interi positivi come segue:
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$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\ & f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\ & f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\
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& f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\
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& f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
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La funzione $S(n)$ è definita come $\sum_{i=1}^{n} f(i)$.
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@ -12,13 +12,17 @@ Sia $P(m,n)$ il numero di termini distinti in una tabella di moltiplicazione $m
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Ad esempio, una tabella di moltiplicazione 3×4 assomiglia a questa:
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$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\ \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ \mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
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$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\
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\mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\
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\mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
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Ci sono 8 termini distinti {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}, quindi $P(3, 4) = 8$.
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Ti è dato che:
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$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263, \\\\ & P(12, 345) = 1\\,998, \text{ and} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302. \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & P(64, 64) = 1\\,263, \\\\
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& P(12, 345) = 1\\,998, \text{ and} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13\\,826\\,382\\,602\\,124\\,302. \\\\
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\end{align}$$
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Trova $P(64, {10}^{16})$.
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@ -14,15 +14,18 @@ Ad esempio, 2718281828 è un superintero di 18828, mentre 314159 non è un super
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Sia $p(n) l'$n$° numero primo, e sia $c(n)$ l'$n$° numero composto. Per esempio, $p(1) = 2$, $p(10) = 29$, $c(1) = 4$ e $c(10) = 18$.
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$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\ & \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
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$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\
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& \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
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Sia $P^D$ la sequenza delle radici digitali di $\\{p(i)\\}$ ($C^D$ è definita in modo simile per $\\{c(i)\\}$):
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$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\ & C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
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$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\
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& C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
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Sia $P_n$ il numero intero formato concatenando i primi $n$ elementi di $P^D$ ($C_n$ è definito allo stesso modo per $C^D$).
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$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\ & C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
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$$\begin{align} & P_{10} = 2\\,357\\,248\\,152 \\\\
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& C_{10} = 4\\,689\\,135\\,679 \end{align}$$
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Sia $f(n)$ il più piccolo intero positivo che è un superintero comune di $P_n$ e $C_n$. Per esempio, $f(10) = 2\\,357\\,246\\,891\\,352\\,679$, and $f(100)\bmod 1\\,000\\,000\\,007 = 771\\,661\\,825$.
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@ -14,13 +14,15 @@ Sia $SB(n)$ il divisore B-smooth più grande di $n$.
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Esempi:
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$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\ & S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
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$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\
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& S_4(2\\,100) = 12 \\\\ & S_{17}(2\\,496\\,144) = 5\\,712 \end{align}$$
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Definisci $F(n) = \displaystyle\sum_{B = 1}^n \sum_{r = 0}^n S_B(\displaystyle\binom{n}{r})$. Qui, $\displaystyle\binom{n}{r}$ denota il coefficiente binomiale.
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Esempi:
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$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\ & F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
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$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\
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& F(1\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 706\\,036\\,312 \\\\ & F(111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993 = 22\\,156\\,169 \end{align}$$
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Trova $F(11\\,111\\,111)\bmod 1\\,000\\,000\\,993$.
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@ -22,7 +22,7 @@ $2 = \varphi + \varphi^{-2}$ e $3 = \varphi^{2} + \varphi^{-2}$
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Per rappresentare la somma delle potenze di $\varphi$ usiamo una stringa di 0 e 1 con un punto per indicare dove gli esponenti negativi iniziano. Chiamiamo questa rappresentazione in base pi-greco.
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Quindi $1 = 1_{\varphi}$, $2 = 10.01_{\varphi}$, $3 = 100.01_{\varphi}$ e $14 = 100100.001001_{\varphi}$. Le stringhe rappresentanti 1, 2 e 14 nella base pi-greco sono palindromiche, mentre la stringa rappresentante 3 non lo è. (il punto non è il carattere centrale).
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Quindi $1 = 1_{\varphi}$, $2 = 10.01_{\varphi}$, $3 = 100.01_{\varphi}$ e $14 = 100100.001001_{\varphi}$. Le stringhe che rappresentano 1,2 e 14 nella base numerica phigitale sono palindrome, mentre la stringa che rappresenta 3 non lo è ( il punto phigitale non è il carattere al centro).
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La somma dei numeri interi che non eccedono 1000 la cui rappresentazione in base pi-greco è palindromica è 4345.
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@ -16,7 +16,21 @@ Supponi che quelle con 15 lettere o meno sono elencate in ordine alfabetico e nu
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La lista includerebbe:
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$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\ & 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\ & 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\ & 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\ & 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\ & 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\ & 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\ & \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\ & 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\ & \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\ & 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\ & ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\
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& 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\
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& 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\
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& 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\
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& 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\
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& 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\
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& 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\
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& 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\
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& 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\
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& \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\
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& 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\
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& \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\
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& 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\
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& ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\
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\end{align}$$
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Sia $P(w)$ la posizione della parola $w$.
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@ -26,7 +40,9 @@ Possiamo vedere che $P(w)$ e $W(p)$ sono operazioni inverse: $P(W(p)) = p$ e $W(
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Esempi:
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$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\ & P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\ & P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\
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& P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\
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& P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
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Trova $$W(P(\text{legionary}) + P(\text{calorimeters}) - P(\text{annihilate}) + P(\text{orchestrated}) - P(\text{fluttering})).$$
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@ -12,7 +12,7 @@ Tutte le radici quadrate sono periodiche quando sono scritte come frazioni conti
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$\\displaystyle \\quad \\quad \\sqrt{N}=a_0+\\frac 1 {a_1+\\frac 1 {a_2+ \\frac 1 {a3+ \\dots}}}$
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Per esempio, considera $\\sqrt{23}$:
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Per esempio, consideriamo $\\sqrt{23}$:
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$\\quad \\quad \\sqrt{23}=4+\\sqrt{23}-4=4+\\frac 1 {\\frac 1 {\\sqrt{23}-4}}=4+\\frac 1 {1+\\frac{\\sqrt{23}-3}7}$
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@ -14,11 +14,15 @@ $$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$
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Forse meno noto è 169, in quanto produce la più lunga catena di numeri che riportano a 169; si scopre che esistono solo tre di questi loop:
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$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\ &871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\
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&871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\
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\end{align}$$
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Non è difficile dimostrare che OGNI numero di partenza alla fine entrerà in un ciclo. Per esempio,
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$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\ &78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\
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&78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\
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\end{align}$$
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Partire con 69 produce una catena di cinque termini non ripetibili, ma la più lunga catena non ripetibile con un numero iniziale inferiore a un milione è di sessanta termini.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-81-path-sum-two-ways
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Nella matrice 5x5 sotto, il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, **muovendo solo verso destra e verso il basso**, è indicato in rosso grassetto ed è uguale a `2427`.
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\
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\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\
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537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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Trova il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra muovendo solo verso destra e verso il basso in `matrix`, un array 2D rappresentante una matrice. La dimenzione più grande di una matrice usata nei test è 80x80.
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-82-path-sum-three-ways
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La somma minima del percorso nella matrice 5 per 5 qui sotto, iniziando in qualsiasi cella nella colonna di sinistra e terminando in qualsiasi cella nella colonna di destra, e solo muovendosi verso l'alto, verso il basso e verso destra, è indicata in rosso e in grassetto; la somma è pari a `994`.
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$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
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\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\
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537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
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Trova la somma del percorso minimo dalla colonna di sinistra alla colonna di destra in `matrix`, un array 2D che rappresenta una matrice. La dimensione massima della matrice utilizzata nei test sarà di 80 per 80.
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-83-path-sum-four-ways
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Nella matrice 5 x 5 sotto, il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, muovendo verso destra, sinistra, alto e basso, è indicato in rosso grassetto ed è uguale a `2297`.
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
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\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\
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537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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Trova il percorso della somma più piccola dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra muovendo a sinistra, destra, alto e basso in `matrix`, un array 2D rappresentate una matrice. La dimensione massima della matrice utilizzata nei test sarà di 80 per 80.
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@ -30,7 +30,7 @@ assert(typeof specialPythagoreanTriplet(24) === 'number');
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assert.strictEqual(specialPythagoreanTriplet(24), 480);
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```
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`specialPythagoreanTriplet(120)` dovrebbe restituire 49920, 55080 o 60000
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`specialPythagoreanTriplet(120)` dovrebbe restituire 49920, 55080 o 60000.
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```js
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assert([49920, 55080, 60000].includes(specialPythagoreanTriplet(120)));
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@ -12,7 +12,8 @@ Una catena di numeri è creata sommando in modo continuo i quadrati delle cifre
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Per esempio,
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$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\ & 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
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& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
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Quindi ogni catena che arriva ad 1 o 89 si bloccherà in un loop senza fine. La cosa affascinante è che OGNI numero iniziale arriverà prima o poi a 1 o 89.
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