chore(i18n,learn): processed translations (#45626)
This commit is contained in:
camperbot
GitHub
@ -20,7 +20,9 @@ Como base, se nos fosse dado apenas o primeiro termo de sequência, seria mais s
|
||||
|
||||
Assim, obtemos as seguintes OPs para a sequência cúbica:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
|
||||
OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
|
||||
OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Claramente não existem BOPs para k ≥ 4. Considerando a soma dos FITs gerados pelos BOPs (indicados em $\color{red}{red}$ acima), obtemos 1 + 15 + 58 = 74. Considere a seguinte função de geração de polinômios de décimo grau:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -15,7 +15,10 @@ Vamos $S(A)$ representar a soma dos elementos no conjunto A, de tamanho n. Vamos
|
||||
|
||||
Se $S(A)$ for minimizado por um determinado n, vamos chamar de um conjunto de soma especial ideal. Os primeiros cinco conjuntos de somas especiais ideais são fornecidos abaixo.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\ & n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\ & n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\
|
||||
& n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\
|
||||
& n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Parece que, para um determinado conjunto ideal, $A = \\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$, o próximo conjunto ideal é do formato $B = \\{b, a_1 + b, a_2 + b, \ldots, a_n + b\\}$, onde b é o elemento do "meio" na linha anterior.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$
|
||||
|
||||
Para `n` = 4, há exatamente três soluções distintas:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\
|
||||
\\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\
|
||||
\\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Qual é o menor valor de `n` para o qual o número de soluções distintas excede um mil?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,12 @@ Há muitas variações de regras, mas, no jogo mais popular, os jogadores começ
|
||||
|
||||
Quando um jogador consegue terminar na pontuação atual, ela é chamada de "check-out". O check-out mais alto vale 170: T20 T20 D25 (dois 20s triplos e um duplo bull). Há exatamente onze maneiras distintas de marcar uma pontuação de 6:
|
||||
|
||||
$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\ D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\ D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\ S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\ S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\ D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\
|
||||
D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\
|
||||
D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\
|
||||
S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\
|
||||
S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\
|
||||
D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Observe que D1 D2 é considerado diferente de D2 D1, pois terminam em duplas diferentes. No entanto, a combinação S1 T1 D1 é considerada a mesma que T1 S1 D1. Além disso, não devemos incluir erros ao considerar as combinações; por exemplo, D3 é o mesmo que 0 D3 e 0 0 D3. Incrivelmente, no total, existem 42336 maneiras distintas de fazer checkout. De quantas maneiras diferentes um jogador pode finalizar com uma pontuação inferior a 100?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,16 @@ $$n × n × \ldots × n = n^{15}$$
|
||||
|
||||
Mas usando um método "binário" você pode calculá-lo em seis multiplicações:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\ & n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\ & n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
|
||||
& n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\
|
||||
& n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\
|
||||
& n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
|
||||
|
||||
No entanto, ainda é possível calculá-lo em apenas cinco multiplicações:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\ & n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
|
||||
& n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\
|
||||
& n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Definiremos $m(k)$ como o número mínimo de multiplicações para calcular $n^k$; por exemplo, $m(15) = 5$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ Para este problema, estaremos interessados em valores de $x$ para os quais $A_{F
|
||||
|
||||
Surpreendentemente,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
|
||||
& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Os valores correspondentes de $x$ para os primeiros cinco números naturais são mostrados abaixo.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -17,13 +17,17 @@ No exemplo abaixo, pode ser facilmente verificado que o triângulo marcado satis
|
||||
|
||||
Queremos fazer uma matriz triangular desse tipo com mil fileiras. Então, geramos 500500 números pseudoaleatórios $s_k$ no intervalo $±2^{19}$, usando um tipo de gerador de número aleatório (conhecido como gerador congruente linear), da seguinte forma:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\ \text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\ & s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\
|
||||
\text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\
|
||||
& s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Assim: $s_1 = 273519$, $s_2 = −153582$, $s_3 = 450905$ e assim por diante.
|
||||
|
||||
Nossa matriz triangular é então formada usando os pseudonúmeros aleatórios, ou seja:
|
||||
|
||||
$$ s_1 \\\\ s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\ s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
|
||||
$$ s_1 \\\\
|
||||
s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\
|
||||
s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
|
||||
|
||||
Os subtriângulos podem começar em qualquer elemento da matriz e se estender até onde quisermos (pegando os dois elementos diretamente abaixo dele na próxima fileira, sendo os três elementos diretamente abaixo da linha depois disso e assim por diante).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ Considere a equação diofantina $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{p}{{10}^n}$,
|
||||
|
||||
Para $n = 1$, esta equação tem 20 soluções listadas abaixo:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\ \frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\
|
||||
\frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
|
||||
|
||||
Quantas soluções tem esta equação para $1 ≤ n ≤ 9$?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ Um número composto pode ser fatorado de várias maneiras.
|
||||
|
||||
Por exemplo, não incluindo a multiplicação por um, 24 podem ser fatorado de 7 formas distintas:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\ & 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\ & 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\ & 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\
|
||||
& 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\
|
||||
& 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\
|
||||
& 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Lembre-se de que a raiz de algarismos de um número, na base 10, é encontrada adicionando os algarismos daquele número e repetindo esse processo até que um número chegue a menos de 10. Assim, a raiz dos algarismos de 467 é 8.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ Para qualquer $N$, considere $f(N)$ como os últimos cinco algarismos antes dos
|
||||
|
||||
Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\ & 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\
|
||||
& 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $f(1.000.000.000.000)$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,8 @@ Agora, nesse triângulo, podem ser observados dezesseis triângulos de forma, ta
|
||||
|
||||
Se quisermos indicar que $T(n)$ é o número de triângulos presentes em um triângulo de tamanho $n$, então
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\ & T(2) = 104 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\
|
||||
& T(2) = 104 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $T(36)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,13 +16,17 @@ Chamaremos de ponto comum $T$ de dois segmentos $L_1$ e $L_2$ um ponto de inters
|
||||
|
||||
Considere os três segmentos $L_1$, $L_2$, e $L_3$:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\ & L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\
|
||||
& L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
É possível verificar que os segmentos de reta $L_2$ e $L_3$ têm um ponto de interseção verdadeira. Percebemos que, como um dos pontos de extremidade de $L_3$: (22, 40) fica sobre $L_1$, este não é considerado um ponto de interseção verdadeira. $L_1$ e $L_2$ não têm um ponto em comum. Portanto, entre os três segmentos de reta, encontramos um ponto de interseção verdadeira.
|
||||
|
||||
Façamos agora o mesmo em 5.000 segmentos de reta. Para isso, geramos 20.000 números usando o chamado gerador pseudoaleatório de números "Blum Blum Shub".
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\ & s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\
|
||||
& s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Para criar cada segmento de reta, usamos quatro números consecutivos $t_n$. Ou seja, o primeiro segmento de reta é dado por:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ Uma grade de 4x4 é preenchida por algarismos $d$, sendo que $0 ≤ d ≤ 9$.
|
||||
|
||||
Pode-se ver que na grade
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\ 5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\
|
||||
5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\
|
||||
1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
|
||||
|
||||
a soma de cada linha e de cada coluna tem o valor 12. Além disso, a soma de cada diagonal também é 12.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ Defina $f(0)=1$ e $f(n)$ como o número de diferentes maneiras pelas quais $n$ p
|
||||
|
||||
Por exemplo, $f(10)=5$ já que há cinco maneiras diferentes de expressar 10:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\ & 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\ & 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\
|
||||
& 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\
|
||||
& 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Qual é $f({10}^{25})$?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Pegue o número 6 e multiplique-o por 1273 e 9854:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\ & 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\
|
||||
& 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Ao concatenar esses produtos, temos o pandigital de 1 a 9 763859124. Chamaremos 763859124 de "produto concatenado de 6 e (1273, 9854)". Observe, também, que a concatenação dos números de entrada, 612739854, também é um pandigital de 1 a 9.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: >-
|
||||
|
||||
Para um número inteiro positivo $n$, considere $f(n)$ como a soma dos quadrados dos algarismos (na base 10) de $n$, por exemplo,
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\ & f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\
|
||||
& f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre os últimos nove algarismos da soma de todos os $n$, sendo que $0 < n < {10}^{20}$, de modo que $f(n)$ seja um quadrado perfeito.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables
|
||||
|
||||
Para qualquer número inteiro $n$, considere as três funções
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\ & f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\
|
||||
& f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
|
||||
|
||||
e suas combinações
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,13 +14,27 @@ Em vez de peças coloridas, você tem que adivinhar uma sequência secreta de al
|
||||
|
||||
Por exemplo, dados os seguintes palpites para uma sequência secreta de 5 algarismos
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
|
||||
A sequência correta 39542 é única.
|
||||
|
||||
Com base nos palpites abaixo
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\
|
||||
& 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre a sequência secreta única de 16 algarismos.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,13 @@ dashedName: problem-196-prime-triplets
|
||||
|
||||
Construa um triângulo com todos os números inteiros positivos da seguinte maneira:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\ & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\ & \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\ & 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\ & \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\ & 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\ & \cdots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\
|
||||
& \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\
|
||||
& \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\
|
||||
& 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\
|
||||
& \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\
|
||||
& 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\
|
||||
& \cdots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Cada número inteiro positivo tem até oito vizinhos no triângulo.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,17 @@ Para qualquer conjunto $A$ de números, considere $sum(A)$ a soma dos elementos
|
||||
|
||||
Considere o conjunto $B = \\{1,3,6,8,10,11\\}$. Há 20 subconjuntos de $B$ contendo três elementos, e suas somas são:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\ & sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\ & sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\ & sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\ & sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\
|
||||
& sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\
|
||||
& sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\
|
||||
& sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\
|
||||
& sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
|
||||
|
||||
Algumas destas somas ocorrem mais de uma vez, outras são únicas. Para um conjunto de $A$, considere $U(A,k)$ como sendo o conjunto de somas únicas de subconjuntos de $k$ elementos de $A$, No nosso exemplo, encontramos $U(B,3) = \\{10,12,14,18,21,25,27,29\\}$ e $sum(U(B,3)) = 156$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,11 @@ dashedName: problem-203-squarefree-binomial-coefficients
|
||||
|
||||
Os coeficientes binomiais $\displaystyle\binom{n}{k}$ podem ser organizados em forma triangular, no triângulo de Pascal, assim:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\ & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\ & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\ & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\ 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\
|
||||
& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\
|
||||
& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\
|
||||
& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\
|
||||
1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Podemos ver que as primeiras oito linhas do triângulo de Pascal contêm doze números distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 e 35.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,11 @@ Assim, $P(6) = \frac{1}{2}$.
|
||||
|
||||
Na tabela a seguir estão listados alguns valores de $P(m)$
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\ & P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\ & P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\ & P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\ & P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\
|
||||
& P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\
|
||||
& P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\
|
||||
& P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\
|
||||
& P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre o menor $m$ para o qual $P(m) < \frac{1}{12.345}$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,10 @@ Um cuboide alinhado em seus eixos, especificado pelos parâmetros $\{ (x_0,y_0,z
|
||||
|
||||
Considere $C_1, \ldots, C_{50000}$ como sendo uma coleção de 50.000 cuboides alinhados em seus eixos, de modo que $C_n$ tenha parâmetros
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
|
||||
& y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
|
||||
& dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\
|
||||
& dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
onde $S_1, \ldots, S_{300000}$ vem do "Gerador Fibonacci com atraso":
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,11 @@ Considere $φ$ como sendo a função totiente de Euler, ou seja, para um número
|
||||
|
||||
Ao iterar por $φ$, cada número inteiro positivo gera uma cadeia decrescente de números terminando em 1. Ex: se começarmos com 5 a sequência 5,4,2,1 é gerada. Aqui está uma lista de todas as cadeias com comprimento 4:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\ 7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\ 9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\ 12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\ 18,6,2,1 & \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\
|
||||
7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\
|
||||
9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\
|
||||
12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\
|
||||
18,6,2,1 & \end{align}$$
|
||||
|
||||
Apenas duas dessas cadeias começam com um número primo e sua soma é 12.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-228-minkowski-sums
|
||||
|
||||
Considere $S_n$ como o polígono – ou forma – regular de $n$ lados, cujos vértices $v_k (k = 1, 2, \ldots, n)$ têm as coordenadas:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\ & y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\
|
||||
& y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Cada $S_n$ deve ser interpretado como uma forma preenchida que consiste em todos os pontos no perímetro e no interior.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,13 +10,17 @@ dashedName: problem-229-four-representations-using-squares
|
||||
|
||||
Considere o número 3600. Ele é muito especial, porque
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\ & 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\ & 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\
|
||||
& 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\
|
||||
& 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Da mesma forma, descobrimos que $88201 = {99}^2 + {280}^2 = {287}^2 + 2 × {54}^2 = {283}^2 + 3 × {52}^2 = {197}^2 + 7 × {84}^2$.
|
||||
|
||||
Em 1747, Euler provou quais números são representáveis como uma soma de dois quadrados. Estamos interessados nos números $n$ que admitem representações de todos os quatro tipos a seguir:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\ & n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\ & n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\
|
||||
& n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\
|
||||
& n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
onde $a_k$ e $b_k$ são números inteiros positivos.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,17 +18,21 @@ Considere $A = 1.415.926.535$, $B = 8.979.323.846$. Queremos encontrar, digamos,
|
||||
|
||||
Os primeiros termos de $F_{A,B}$ são:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1.415.926\\,535 \\\\ & 8.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846 \\\\ & 897.932.384.614.159.265.358.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846.897.932.384.614.15\color{red}{9}.265.358.979.323.846 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1.415.926\\,535 \\\\
|
||||
& 8.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846 \\\\
|
||||
& 897.932.384.614.159.265.358.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846.897.932.384.614.15\color{red}{9}.265.358.979.323.846 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Então, $D_{A,B}(35)$ é o ${35}^{\text{o}}$ algarismo no quinto termo, que é 9.
|
||||
|
||||
Agora, usamos para $A$ os primeiros 100 algarismos de $π$ antes do ponto decimal:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 14.159.265.358.979.323.846.264.338.327.950.288.419.716.939.937.510 \\\\ & 58.209.749.445.923.078.164.062.862.089.986.280.348.253.421.170.679 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 14.159.265.358.979.323.846.264.338.327.950.288.419.716.939.937.510 \\\\
|
||||
& 58.209.749.445.923.078.164.062.862.089.986.280.348.253.421.170.679 \end{align}$$
|
||||
|
||||
e para $B$ os próximos cem algarismos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 82.148.086.513.282.306.647.093.844.609.550.582.231.725.359.408.128 \\\\ & 48.111.745.028.410.270.193.852.110.555.964.462.294.895.493.038.196 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 82.148.086.513.282.306.647.093.844.609.550.582.231.725.359.408.128 \\\\
|
||||
& 48.111.745.028.410.270.193.852.110.555.964.462.294.895.493.038.196 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $\sum_{n = 0, 1, \ldots, 17} {10}^n × D_{A,B}((127 + 19n) × 7^n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-238-infinite-string-tour
|
||||
|
||||
Crie uma sequência de números usando o gerador de números pseudoaleatório "Blum Blum Shub":
|
||||
|
||||
$$ s_0 = 14025256 \\\\ s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20.300.713 $$
|
||||
$$ s_0 = 14025256 \\\\
|
||||
s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20.300.713 $$
|
||||
|
||||
Concatene esses números $s_0s_1s_2\ldots$ para criar uma string $w$ de comprimento infinito. Assim, $w = 14025256741014958470038053646\ldots$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-240-top-dice
|
||||
|
||||
Há 1111 maneiras pelas quais cinco dados de 6 lados (lados numerados de 1 a 6) podem ser rolados de modo que os três maiores somem 15. Alguns exemplos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\
|
||||
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\
|
||||
& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
|
||||
|
||||
De quantas maneiras vinte dados de doze lados (lados numerados de 1 a 12) podem ser rolados de modo que a soma dos dez maiores seja 70?
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,9 @@ Um movimento é indicado pela primeira letra maiúscula da direção (Left - Esq
|
||||
|
||||
Para cada caminho, seu valor de verificação é calculado por (pseudocódigo):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\
|
||||
& \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
|
||||
|
||||
onde $m_k$ é o valor ASCII da $k^{\text{a}}$ letra na sequência de movimento e os valores ASCII dos movimentos são:
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Como exemplo, a imagem abaixo apresenta um conjunto de vinte pontos e alguns des
|
||||
|
||||
Para nosso exemplo, usamos os primeiros 20 pontos ($T_{2k − 1}$, $T_{2k}$), para $k = 1, 2, \ldots, 20$, produzido com o gerador de números pseudoaleatório:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\ S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50.515.093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\
|
||||
S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50.515.093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
|
||||
|
||||
por exemplo: (527, 144), (-488, 732), (-454, − 947), …
|
||||
|
||||
|
||||
@ -28,7 +28,8 @@ Como exemplo, vamos encontrar a raiz quadrada arredondada de $n = 4321$.
|
||||
|
||||
$n$ tem 4 algarismos, então $x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$.
|
||||
|
||||
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
|
||||
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\
|
||||
x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
|
||||
|
||||
Como $x_2 = x_1$, paramos aqui. Então, depois de apenas duas iterações, descobrimos que a raiz arredondada de 4321 é 66 (a raiz quadrada real é 65.7343137…).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ $${(k - m)}^2 + \ldots + k^2 = {(n + 1)}^2 + \ldots + {(n + m)}^2$$
|
||||
|
||||
Alguns quadrados pivotais pequenos são
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\ & \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\ & \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\
|
||||
& \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\
|
||||
& \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma de todos os quadrados pivotais distintos $≤ {10}^{10}$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-282-the-ackermann-function
|
||||
|
||||
Para números inteiros não negativos $m$, $n$, a função de Ackermann $A(m, n)$ é definida da seguinte forma:
|
||||
|
||||
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\ A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ and $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ and $n > 0$} \end{cases}$$
|
||||
$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\
|
||||
A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ and $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ and $n > 0$} \end{cases}$$
|
||||
|
||||
Por exemplo $A(1, 0) = 2$, $A(2, 2) = 7$ e $A(3, 4) = 125$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-288-an-enormous-factorial
|
||||
|
||||
Para qualquer número primo $p$, o número $N(p,q)$ é definido por $N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$ com $T_n$ gerado pelo seguinte gerador aleatório de números:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\ & S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\
|
||||
& S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $Nfac(p,q)$ como o fatorial de $N(p,q)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Chamamos a área convexa criada no cruzamento de dois círculos de um orifício
|
||||
|
||||
Considere os círculos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\ & C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\
|
||||
& C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Os círculos $C_0$, $C_1$ e $C_2$ estão desenhados na imagem abaixo.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -19,7 +19,9 @@ Considere $C(n)$ como o número de ciclos que passam exatamente uma vez por todo
|
||||
|
||||
Também pode ser verificado que:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\ & C(5) = 71.328.803.586.048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37.652.224 \\\\ & C(10 000)\bmod {13}^8 = 617.720.485 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\
|
||||
& C(5) = 71.328.803.586.048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37.652.224 \\\\
|
||||
& C(10 000)\bmod {13}^8 = 617.720.485 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $C(C(C(10.000)))\bmod {13}^8$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,11 @@ Considere o número real $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
|
||||
|
||||
Quando calculamos as potências pares de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ obtemos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
|
||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Parece que o número de noves consecutivos no início da parte fracionária dessas potências não diminui. Na verdade, pode ser provado que a parte fracionária de ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ aproxima-se de 1 para $n$ grandes.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ Considere $f(n)$ como o número de maneiras que se pode preencher uma torre $3×
|
||||
|
||||
Por exemplo (com $q = 100.000.007$):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\ & f(4) = 117.805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96.149.360, \\\\ & f({10}^3)\bmod q = 24.806.056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30.808.124. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\
|
||||
& f(4) = 117.805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96.149.360, \\\\
|
||||
& f({10}^3)\bmod q = 24.806.056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30.808.124. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $f({10}^{10000})\bmod 100.000.007$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-330-eulers-number
|
||||
|
||||
Uma sequência infinita de números reais $a(n)$ é definida para todos os números inteiros $n$ da seguinte forma:
|
||||
|
||||
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\ \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
|
||||
$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\
|
||||
\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
|
||||
|
||||
Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\ & a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\
|
||||
& a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
|
||||
|
||||
com $e = 2.7182818\ldots$ sendo a constante de Euler.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ Consideremos apenas aquelas partições em que nenhum dos termos pode dividir qu
|
||||
|
||||
Muitos números inteiros têm mais de uma partição válida, sendo o primeiro 11 tendo as duas partições que seguem.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\ & 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\
|
||||
& 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Vamos definir $P(n)$ como o número de partições válidas de $n$. Por exemplo, $P(11) = 2$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,10 @@ Por exemplo, considere duas tigelas adjacentes contendo 2 e 3 feijões, respecti
|
||||
|
||||
Você recebe as seguintes sequências:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\ & t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ é par} \\\\ \left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ é ímpar} \end{cases} \\\\ & \qquad \text{onde $⌊x⌋$ é a função piso e $\oplus$ é o operador bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\
|
||||
& t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ é par} \\\\
|
||||
\left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ é ímpar} \end{cases} \\\\
|
||||
& \qquad \text{onde $⌊x⌋$ é a função piso e $\oplus$ é o operador bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Os dois primeiros termos da última sequência são $b_1 = 289$ e $b_2 = 145$. Se começarmos com $b_1$ e $b_2$ feijões em duas tigelas adjacentes, 3419100 movimentos seriam necessários para terminar o jogo.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-340-crazy-function
|
||||
|
||||
Para números inteiros fixos $a$, $b$, $c$, defina a função maluca $F(n)$ da seguinte forma:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ para todo } n > b \\\\ & F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ para todo } n ≤ b. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ para todo } n > b \\\\
|
||||
& F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ para todo } n ≤ b. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Além disso, defina $S(a, b, c) = \displaystyle\sum_{n = 0}^b F(n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-341-golombs-self-describing-sequence
|
||||
|
||||
A sequência autodescritiva de Golomb ($G(n)$) é a única sequência não decrescente de números naturais, tal que $n$ aparece exatamente $G(n)$ vezes na sequência. Os valores de $G(n)$ para os primeiros $n$ são
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\ G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\
|
||||
G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Você é informado de que $G({10}^3) = 86$, $G({10}^6) = 6137$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,11 +12,20 @@ Definimos a soma interna da matriz como a soma máxima dos elementos da matriz c
|
||||
|
||||
Por exemplo, a soma interna da matriz abaixo é igual a $3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767)$:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\ 497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\
|
||||
497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\
|
||||
627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma interna da matriz de:
|
||||
|
||||
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\ 217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\ 870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\ 322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\ 414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\ 821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\ 815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
|
||||
$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\
|
||||
627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\
|
||||
217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\
|
||||
870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\
|
||||
322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\
|
||||
414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\
|
||||
821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\
|
||||
815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
|
||||
|
||||
# --hints--
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,9 @@ Considere os números palíndromos que podem ser expressos como a soma de um qua
|
||||
|
||||
Por exemplo, 5229225 é um número palíndromo e pode ser expresso de exatamente 4 formas diferentes:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\ & {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\ & {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\
|
||||
& {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\
|
||||
& {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma dos cinco menores números palíndromos deste tipo.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,9 @@ O mínimo múltiplo comum, ou $lcm$, de uma lista é o menor número natural div
|
||||
|
||||
Considere $f(G, L, N)$ como o número de listas de tamanho $N$ com $gcd ≥ G$ e $lcm ≤ L$. Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\ & f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\ & f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3.286.053 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\
|
||||
& f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\
|
||||
& f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3.286.053 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $f({10}^6, {10}^{12}, {10}^{18})\bmod {101}^4$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,16 @@ Quando é multiplicado por 1, 2, 3, 4, ... $n$, todos os produtos têm exatament
|
||||
|
||||
O menor número cíclico é o número de 6 algarismos 142857:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\ & 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\ & 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\ & 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\
|
||||
& 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\
|
||||
& 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\
|
||||
& 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
|
||||
|
||||
O próximo número cíclico é 0588235294117647, com 16 algarismos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\ & 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\ & \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\
|
||||
& 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Observe que, para números cíclicos, zeros à esquerda são importantes.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -27,7 +27,10 @@ No fim, cada pessoa na fila pegará um quarto no hotel.
|
||||
|
||||
Defina $P(f, r)$ como $n$ se a pessoa $n$ ocupar o quarto $r$ no andar $f$, e 0 se ninguém ocupar o quarto. Aqui estão alguns exemplos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\ & P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\ & P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\
|
||||
& P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\
|
||||
& P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\
|
||||
& P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma de todos os $P(f, r)$ para todos os números positivos $f$ e $r$, tal que $f × r = 71.328.803.586.048$ e dê os últimos 8 algarismos como resposta.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -20,7 +20,8 @@ Definimos $\\{A_n\\}$ como uma sequência ordenada de inteiros, de forma que a e
|
||||
|
||||
Os primeiros termos de $A_n$ são atribuídos da seguinte forma:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\ A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\
|
||||
A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Também podemos verificar que $A_{100} = 3251$ e $A_{1000} = 80.852.364.498$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Consideremos agora outra série harmônica modificada, omitindo da série harmô
|
||||
|
||||
Estes 20 termos omitidos são:
|
||||
|
||||
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\ \dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
|
||||
$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\
|
||||
\dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
|
||||
|
||||
Esta série também converge.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-375-minimum-of-subsequences
|
||||
|
||||
Considere $S_n$ como uma sequência de números inteiros produzida com o seguinte gerador de números pseudoaleatórios:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\ S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\
|
||||
S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $A(i, j)$ como o mínimo dos números $S_i, S_{i + 1}, \ldots, S_j$ para $i ≤ j$. Considere $M(N) = \sum A(i, j)$ para $1 ≤ i ≤ j ≤ N$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-376-nontransitive-sets-of-dice
|
||||
|
||||
Considere o seguinte conjunto de dados com valores fora do padrão de 1 a 6:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{} \text{Die A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\ \text{Die B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Die C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\ \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{} \text{Die A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\
|
||||
\text{Die B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Die C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\
|
||||
\end{array}$$
|
||||
|
||||
Um jogo é disputado por dois jogadores que escolhem um dado por vez e o rolam. O jogador que rolar nos dados o maior valor ganha.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-38-pandigital-multiples
|
||||
|
||||
Pegue o número 192 e multiplique-o por cada um entre 1, 2 e 3:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\ 192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\
|
||||
192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Ao concatenar cada produto, chegamos ao total 192384576. Esse resultado possui 9 algarismos e usa todos os números de 1 a 9 pelo menos uma vez. Chamaremos 192384576 o produto concatenado de 192 e (1, 2, 3).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -18,7 +18,9 @@ Além disso, considere a sequência somatória de $b(n)$: $s(n) = \displaystyle\
|
||||
|
||||
Os primeiros valores destas sequências são:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
|
||||
a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
|
||||
s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
||||
|
||||
A sequência $s(n)$ tem a incrível propriedade de que todos os elementos são positivos e de que todo número inteiro positivo $k$ ocorre exatamente $k$ vezes.
|
||||
|
||||
@ -28,7 +30,8 @@ Ex.: $g(3, 3) = 6$, $g(4, 2) = 7$ e $g(54321, 12345) = 1.220.847.710$.
|
||||
|
||||
Considere $F(n)$ como a sequência de Fibonacci definida por:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ e} \\\\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ para } n > 1. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ e} \\\\
|
||||
& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ para } n > 1. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Defina $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -32,7 +32,9 @@ Considere $C(n, a, b)$ como o pior caso de custo obtido por uma estratégia idea
|
||||
|
||||
Aqui estão alguns exemplos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\ & C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20.000, 5, 7) = 82 \\\\ & C(2.000.000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\
|
||||
& C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20.000, 5, 7) = 82 \\\\
|
||||
& C(2.000.000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $F_k$ como sendo os números de Fibonacci: $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ com casos base $F_1 = F_2 = 1$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,8 @@ Isso também funciona com números que têm menos de 4 algarismos se colocarmos
|
||||
|
||||
Ex: vamos começar com o número 0837:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\
|
||||
& 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
|
||||
|
||||
6174 é chamado de constante de Kaprekar. O processo de ordenar e subtrair e repetir isso até chegar a 0 ou à constante de Kaprekar é chamado de rotina de Kaprekar.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,12 @@ dashedName: problem-417-reciprocal-cycles-ii
|
||||
|
||||
Em uma fração unitária, o numerador é 1. A representação decimal das frações unitárias com denominadores de 2 a 10 é a seguinte:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\ & \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\ & \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\ & \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\ & \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\
|
||||
& \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\
|
||||
& \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\
|
||||
& \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\
|
||||
& \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
A expressão $0.1(6)$ significa $0.16666666\dots$, e tem um ciclo recorrente de 1 algarismo. Pode ser visto que $\frac{1}{7}$ tem um ciclo recorrente de 6 algarismos.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,11 +12,14 @@ Uma matriz de números inteiros positivos é uma matriz cujos elementos são tod
|
||||
|
||||
Algumas matrizes de números inteiros positivos podem ser expressas como um quadrado de uma matriz de números inteiros positivos de duas formas diferentes. Exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\ 48 & 40 \end{pmatrix} =
|
||||
$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\
|
||||
48 & 40 \end{pmatrix} =
|
||||
{\begin{pmatrix}
|
||||
2 & 3 \\\\ 12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
|
||||
2 & 3 \\\\
|
||||
12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
|
||||
{\begin{pmatrix}
|
||||
6 & 1 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
|
||||
6 & 1 \\\\
|
||||
4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
|
||||
|
||||
Definimos $F(N)$ como a quantidade de matrizes de números inteiros positivos 2x2 que têm um traço inferior a N e que podem ser expressas como um quadrado de uma matriz de números inteiros positivos de duas formas diferentes.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,8 @@ Um dado de 6 lados é lançado $n$ vezes. Considere $c$ como o número de pares
|
||||
|
||||
Por exemplo, se $n = 7$ e os valores dos lançamentos dos dados são (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3), os seguintes pares de lançamentos consecutivos dão o mesmo valor:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\
|
||||
& (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
|
||||
|
||||
Portanto, $c = 3$ para (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3).
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ Pode-se mostrar que após um número suficiente de movimentos, o sistema evolui
|
||||
|
||||
Definimos a sequência $\\{t_i\\}$:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290.797 \\\\ & s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & s_0 = 290.797 \\\\
|
||||
& s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Começando da configuração inicial $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$, o estado final se torna [1, 3, 10, 24, 51, 75].
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-433-steps-in-euclids-algorithm
|
||||
|
||||
Considere $E(x_0, y_0)$ como o número de etapas necessárias para determinar o máximo divisor comum de $x_0$ e $y_0$ com o algoritmo de Euclides. Mais formalmente:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\ & x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\
|
||||
& x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
|
||||
|
||||
$E(x_0, y_0)$ é o menor $n$, tal que $y_n = 0$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,11 @@ Mas há mais:
|
||||
|
||||
Se olharmos mais de perto:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\ & 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\ & 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\ & 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\ & 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\
|
||||
& 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\
|
||||
& 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\
|
||||
& 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\
|
||||
& 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Portanto, as potências de 8 mod 11 são cíclicas com o período de 10 e $8^n + 8^{n + 1} ≡ 8^{n + 2} (\text{mod } 11)$. 8 é chamado de raiz primitiva de Fibonacci de 11.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ Considere $S(L)$ como a soma tripla $\sum_{a, b, c} gcd(T(c^a), T(c^b))$ para $1
|
||||
|
||||
Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S(2) = 10.444 \\\\ & S(3) = 1.292.115.238.446.807.016.106.539.989 \\\\ & S(4)\bmod 987.898.789 = 670.616.280. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S(2) = 10.444 \\\\
|
||||
& S(3) = 1.292.115.238.446.807.016.106.539.989 \\\\ & S(4)\bmod 987.898.789 = 670.616.280. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $S(2000)\bmod 987.898.789$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-443-gcd-sequence
|
||||
|
||||
Considere $g(n)$ como uma sequência definida assim:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\ & g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ para } n > 4. \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\
|
||||
& g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ para } n > 4. \end{align}$$
|
||||
|
||||
Seus primeiros valores são:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\ g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\
|
||||
g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
|
||||
|
||||
Você é informado de que $g(1.000) = 2.524$ e $g(1.000.000) = 2.624.152$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -24,7 +24,8 @@ Considere $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right
|
||||
|
||||
Você é informado de que:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\
|
||||
C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
**Observação:** (-625, 0) não é um elemento de $C(2500, 1000)$, pois $\sin(t)$ não é um número racional para os valores correspondentes de $t$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,7 +14,10 @@ Há oito números positivos inferiores a 15 que são coprimos para 15: 1, 2, 4,
|
||||
|
||||
As inversas modulares desses números modulo 15 são: 1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14, porque
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\ & 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\ & 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
|
||||
& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $I(n)$ como o maior número positivo $m$ menor que $n - 1$, tal que a inversa modular de $m$ modulo $n$ é igual ao próprio $m$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ Considere $f(n)$ como o maior número inteiro positivo $x$ inferior a ${10}^9$,
|
||||
|
||||
Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(4) = 411.728.896 (4^{411.728.896} = ...490\underline{411728896}) \\\\ & f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743.757 (157^{743.757} = ...567\underline{000743757}) \\\\ & Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442.530.011.399 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(4) = 411.728.896 (4^{411.728.896} = ...490\underline{411728896}) \\\\
|
||||
& f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743.757 (157^{743.757} = ...567\underline{000743757}) \\\\
|
||||
& Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442.530.011.399 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $\sum f(n)$, $2 ≤ n ≤ {10}^6$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-456-triangles-containing-the-origin-ii
|
||||
|
||||
Definição:
|
||||
|
||||
$$\start{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
|
||||
$$\start{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\
|
||||
& y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Por exemplo, $$P_8 = \\{(-14913, -6630), (-10161, 5625), (5226, 11896), (8340, -10778), (15852, -5203), (-15165, 11295), (-1427, -14495), (12407, 1060)\\}$$
|
||||
|
||||
@ -18,7 +19,8 @@ Considere $C(n)$ o número de triângulos cujos vértices estão em $P_n$ e que
|
||||
|
||||
Exemplos:
|
||||
|
||||
$$\start{align} & C(8) = 20 \\\\ & C(600) = 8.950.634 \\\\ & C(40.000) = 266.610.948.988 \end{align}$$
|
||||
$$\start{align} & C(8) = 20 \\\\
|
||||
& C(600) = 8.950.634 \\\\ & C(40.000) = 266.610.948.988 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $C(2.000.000)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-463-a-weird-recurrence-relation
|
||||
|
||||
A função $f$ é definida para todos os números inteiros positivos da seguinte forma:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\ & f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\ & f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\
|
||||
& f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\
|
||||
& f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
|
||||
|
||||
A função $S(n)$ é definida como $\sum_{i=1}^{n} f(i)$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,13 +12,17 @@ Considere $P(m,n)$ como o número de termos distintos em uma tabela de multiplic
|
||||
|
||||
Por exemplo, uma tabela de multiplicação 3×4 fica assim:
|
||||
|
||||
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\ \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ \mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
|
||||
$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\
|
||||
\mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\
|
||||
\mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
|
||||
|
||||
Existem 8 termos distintos {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}, portanto $P(3, 4) = 8$.
|
||||
|
||||
Você é informado de que:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1.263, \\\\ & P(12, 345) = 1.998, \text{ e} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13.826.382.602.124.302. \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1.263, \\\\
|
||||
& P(12, 345) = 1.998, \text{ e} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13.826.382.602.124.302. \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $P(64, {10}^{16})$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,15 +14,18 @@ Por exemplo, 2718281828 é um superinteiro de 18828, enquanto 314159 não é um
|
||||
|
||||
Considere $p(n)$ como o número primo $n$ e $c(n)$ como o $n$º número composto. Por exemplo, $p(1) = 2$, $p(10) = 29$, $c(1) = 4$ e $c(10) = 18$.
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\ & \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\
|
||||
& \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $P^D$ como a sequência de raízes dos algarismos de $\\{p(i)\\}$ ($C^D$ é definido da mesma forma para $\\{c(i)\\}$):
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\ & C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\
|
||||
& C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $P_n$ como o número inteiro formado concatenando os primeiros $n$ elementos de $P^D$ ($C_n$ é definido de forma semelhante para $C^D$).
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & P_{10} = 2.357.248.152 \\\\ & C_{10} = 4.689.135.679 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & P_{10} = 2.357.248.152 \\\\
|
||||
& C_{10} = 4.689.135.679 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Considere $f(n)$ como o menor número inteiro positivo que seja um superinteiro comum de $P_n$ e $C_n$. Por exemplo, $f(10) = 2.357.246.891.352.679$ e $f(100)\bmod 1.000.000.007 = 771.661.825$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,13 +14,15 @@ Considere $SB(n)$ como o maior divisor harmonizado de B de $n$.
|
||||
|
||||
Exemplos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\ & S_4(2.100) = 12 \\\\ & S_{17}(2.496.144) = 5.712 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\
|
||||
& S_4(2.100) = 12 \\\\ & S_{17}(2.496.144) = 5.712 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Defina $F(n) = \displaystyle\sum_{B = 1}^n \sum_{r = 0}^n S_B(\displaystyle\binom{n}{r})$. Aqui, $\displaystyle\binom{n}{r}$ denota o coeficiente binomial.
|
||||
|
||||
Exemplos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\ & F(1.111)\bmod 1.000.000.993 = 706.036.312 \\\\ & F(111.111)\bmod 1.000.000.993 = 22.156.169 \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\
|
||||
& F(1.111)\bmod 1.000.000.993 = 706.036.312 \\\\ & F(111.111)\bmod 1.000.000.993 = 22.156.169 \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $F(11.111.111)\bmod 1.000.000.993$.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -16,7 +16,21 @@ Suponha que aquelas com 15 letras ou menos estão listadas em ordem alfabética
|
||||
|
||||
A lista incluiria:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\ & 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\ & 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\ & 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\ & 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\ & 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\ & 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\ & \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\ & 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\ & \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\ & 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\ & ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\
|
||||
& 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\
|
||||
& 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\
|
||||
& 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\
|
||||
& 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\
|
||||
& 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\
|
||||
& 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\
|
||||
& 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\
|
||||
& 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\
|
||||
& 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\
|
||||
& \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\
|
||||
& 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\
|
||||
& ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Defina $P(w)$ como a posição da palavra $w$.
|
||||
|
||||
@ -26,7 +40,9 @@ Podemos ver que $P(w)$ e $W(p)$ são inversos: $P(W(p)) = p$ e $W(P(w)) = w$.
|
||||
|
||||
Exemplos:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\ & P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\ & P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\
|
||||
& P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\
|
||||
& P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Encontre $$W(P(\text{legionary}) + P(\text{calorimeters}) - P(\text{annihilate}) + P(\text{orchestrated}) - P(\text{fluttering})).$$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -14,11 +14,15 @@ $$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$
|
||||
|
||||
Talvez 169 seja menos conhecido. Esse número produz a maior cadeia de números que remonta a 169. Acontece que existem apenas três desses laços:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\ &871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\
|
||||
&871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
Não é difícil provar que TODOS os números com que você iniciar ficarão presos em um ciclo. Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\ &78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\
|
||||
&78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
O número 69 produz uma cadeia de cinco termos sem repetição. A cadeia de maior número sem repetição, iniciando com um número abaixo de um milhão, é de sessenta termos.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-81-path-sum-two-ways
|
||||
|
||||
Na matriz de 5 por 5 abaixo, a soma do caminho mínimo do canto superior esquerdo até o canto inferior direito, **movendo-se somente para a direita e para baixo**, é indicado em vermelho e em negrito e é igual a `2427`.
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma do caminho mínimo, do canto superior esquerdo para o canto inferior direito, movendo-se apenas para a direita e para baixo, na `matrix`, um array bidimensional que representa uma matriz. O tamanho máximo da matriz utilizado nos testes será de 80 por 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-82-path-sum-three-ways
|
||||
|
||||
A soma do caminho mínimo da matriz de 5 por 5 abaixo, iniciando em qualquer célula na coluna da esquerda e terminando em qualquer célula na coluna da direita, e apenas se movendo para cima, para baixo e para a direita, é indicado em vermelho e em negrito. A soma é igual a `994`.
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
|
||||
$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma do caminho mínimo, da coluna da esquerda para a coluna da direita, na `matrix`, um array bidimensional que representa uma matriz. O tamanho máximo da matriz utilizado nos testes será de 80 por 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-83-path-sum-four-ways
|
||||
|
||||
Na matriz de 5 por 5 abaixo, a soma do caminho mínimo do canto superior esquerdo até o canto inferior direito, movendo-se para a esquerda, para a direita, para cima e para baixo, é indicado em vermelho e em negrito e é igual a `2297`.
|
||||
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
|
||||
\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\
|
||||
537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
Encontre a soma do caminho mínimo, do canto superior esquerdo para o canto inferior direito, movendo-se para a esquerda, para a direita, para cima e para baixo, na `matrix`, um array bidimensional que representa uma matriz. O tamanho máximo da matriz utilizado nos testes será de 80 por 80.
|
||||
|
||||
|
||||
@ -12,7 +12,8 @@ Uma cadeia de números é criada adicionando continuamente o quadrado dos algari
|
||||
|
||||
Por exemplo:
|
||||
|
||||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\ & 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
|
||||
& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||||
|
||||
Portanto, qualquer corrente que chegue a 1 ou 89 ficará presa numa repetição infinita. O que é mais incrível é que TODO número inicial eventualmente chegará a 1 ou 89.
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user