chore(i18n,learn): processed translations (#45626)
This commit is contained in:
camperbot
GitHub
@ -11,7 +11,9 @@ dashedName: set-the-font-size-for-multiple-heading-elements
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A propriedade `font-size` é usada para especificar o quão grande será o texto em um determinado elemento. Essa propriedade pode ser usada em múltiplos elementos para criar uma consistência visual dos textos na página. Nesse desafio, você vai definir os tamanhos das tipografias das tags `h1` até `h6` para balancear os tamanhos dos cabeçalhos.
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# --instructions-- <p>Na tag <code>style</code>, defina a propriedade <code>font-size</code> das tags:</p>
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# --instructions--
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<p>Na tag <code>style</code>, defina a propriedade <code>font-size</code> das tags:</p>
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<ul>
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<li><code>h1</code> para 68px.</li>
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@ -20,7 +20,9 @@ Como base, se nos fosse dado apenas o primeiro termo de sequência, seria mais s
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Assim, obtemos as seguintes OPs para a sequência cúbica:
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$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
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OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
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OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
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Claramente não existem BOPs para k ≥ 4. Considerando a soma dos FITs gerados pelos BOPs (indicados em $\color{red}{red}$ acima), obtemos 1 + 15 + 58 = 74. Considere a seguinte função de geração de polinômios de décimo grau:
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@ -15,7 +15,10 @@ Vamos $S(A)$ representar a soma dos elementos no conjunto A, de tamanho n. Vamos
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Se $S(A)$ for minimizado por um determinado n, vamos chamar de um conjunto de soma especial ideal. Os primeiros cinco conjuntos de somas especiais ideais são fornecidos abaixo.
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$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\ & n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\ & n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & n = 1: \\{1\\} \\\\
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& n = 2: \\{1, 2\\} \\\\ & n = 3: \\{2, 3, 4\\} \\\\
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& n = 4: \\{3, 5, 6, 7\\} \\\\ & n = 5: \\{6, 9, 11, 12, 13\\} \\\\
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\end{align}$$
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Parece que, para um determinado conjunto ideal, $A = \\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$, o próximo conjunto ideal é do formato $B = \\{b, a_1 + b, a_2 + b, \ldots, a_n + b\\}$, onde b é o elemento do "meio" na linha anterior.
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@ -14,7 +14,9 @@ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$
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Para `n` = 4, há exatamente três soluções distintas:
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$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\ \\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
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$$\begin{align} & \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}\\\\
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\\\\ & \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\\\\
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\\\\ & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{align}$$
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Qual é o menor valor de `n` para o qual o número de soluções distintas excede um mil?
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@ -20,7 +20,12 @@ Há muitas variações de regras, mas, no jogo mais popular, os jogadores começ
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Quando um jogador consegue terminar na pontuação atual, ela é chamada de "check-out". O check-out mais alto vale 170: T20 T20 D25 (dois 20s triplos e um duplo bull). Há exatamente onze maneiras distintas de marcar uma pontuação de 6:
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$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\ D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\ D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\ S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\ S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\ D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
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$$\begin{array} \text{D3} & & \\\\
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D1 & D2 & \\\\ S2 & D2 & \\\\
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D2 & D1 & \\\\ S4 & D1 & \\\\
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S1 & S1 & D2 \\\\ S1 & T1 & D1 \\\\
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S1 & S3 & D1 \\\\ D1 & D1 & D1 \\\\
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D1 & S2 & D1 \\\\ S2 & S2 & D1 \end{array}$$
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Observe que D1 D2 é considerado diferente de D2 D1, pois terminam em duplas diferentes. No entanto, a combinação S1 T1 D1 é considerada a mesma que T1 S1 D1. Além disso, não devemos incluir erros ao considerar as combinações; por exemplo, D3 é o mesmo que 0 D3 e 0 0 D3. Incrivelmente, no total, existem 42336 maneiras distintas de fazer checkout. De quantas maneiras diferentes um jogador pode finalizar com uma pontuação inferior a 100?
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@ -14,11 +14,16 @@ $$n × n × \ldots × n = n^{15}$$
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Mas usando um método "binário" você pode calculá-lo em seis multiplicações:
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$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\ & n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\ & n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
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$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
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& n^2 × n^2 = n^4\\\\ & n^4 × n^4 = n^8\\\\
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& n^8 × n^4 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^2 = n^{14}\\\\
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& n^{14} × n = n^{15} \end{align}$$
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No entanto, ainda é possível calculá-lo em apenas cinco multiplicações:
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$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\ & n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\ & n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
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$$\begin{align} & n × n = n^2\\\\
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& n^2 × n = n^3\\\\ & n^3 × n^3 = n^6\\\\
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& n^6 × n^6 = n^{12}\\\\ & n^{12} × n^3 = n^{15} \end{align}$$
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Definiremos $m(k)$ como o número mínimo de multiplicações para calcular $n^k$; por exemplo, $m(15) = 5$.
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@ -14,7 +14,8 @@ Para este problema, estaremos interessados em valores de $x$ para os quais $A_{F
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Surpreendentemente,
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$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
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$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
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& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
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Os valores correspondentes de $x$ para os primeiros cinco números naturais são mostrados abaixo.
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@ -17,13 +17,17 @@ No exemplo abaixo, pode ser facilmente verificado que o triângulo marcado satis
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Queremos fazer uma matriz triangular desse tipo com mil fileiras. Então, geramos 500500 números pseudoaleatórios $s_k$ no intervalo $±2^{19}$, usando um tipo de gerador de número aleatório (conhecido como gerador congruente linear), da seguinte forma:
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$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\ \text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\ & s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} t := & \\ 0\\\\
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\text{for}\\ & k = 1\\ \text{up to}\\ k = 500500:\\\\ & t := (615949 × t + 797807)\\ \text{modulo}\\ 2^{20}\\\\
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& s_k := t − 219\\\\ \end{align}$$
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Assim: $s_1 = 273519$, $s_2 = −153582$, $s_3 = 450905$ e assim por diante.
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Nossa matriz triangular é então formada usando os pseudonúmeros aleatórios, ou seja:
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$$ s_1 \\\\ s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\ s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
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$$ s_1 \\\\
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s_2\\;s_3 \\\\ s_4\\; s_5\\; s_6 \\\\
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s_7\\; s_8\\; s_9\\; s_{10} \\\\ \ldots $$
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Os subtriângulos podem começar em qualquer elemento da matriz e se estender até onde quisermos (pegando os dois elementos diretamente abaixo dele na próxima fileira, sendo os três elementos diretamente abaixo da linha depois disso e assim por diante).
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@ -12,7 +12,10 @@ Considere a equação diofantina $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{p}{{10}^n}$,
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Para $n = 1$, esta equação tem 20 soluções listadas abaixo:
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$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\ \frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
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$$\begin{array}{lllll} \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = \frac{20}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{15}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{12}{10} & \frac{1}{1} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{10} \\\\
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\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} & \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{10} & \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{10} & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} \\\\
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\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{10} & \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} & \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} & \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \\\\
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\frac{1}{11} + \frac{1}{110} = \frac{1}{10} & \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{1}{10} & \frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{1}{10} & \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} & \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \end{array}$$
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Quantas soluções tem esta equação para $1 ≤ n ≤ 9$?
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@ -12,7 +12,10 @@ Um número composto pode ser fatorado de várias maneiras.
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Por exemplo, não incluindo a multiplicação por um, 24 podem ser fatorado de 7 formas distintas:
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$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\ & 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\ & 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\ & 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\\\\
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& 24 = 2 \times 3 \times 4 \\\\ & 24 = 2 \times 2 \times 6 \\\\
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& 24 = 4 \times 6 \\\\ & 24 = 3 \times 8 \\\\
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& 24 = 2 \times 12 \\\\ & 24 = 24 \end{align}$$
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Lembre-se de que a raiz de algarismos de um número, na base 10, é encontrada adicionando os algarismos daquele número e repetindo esse processo até que um número chegue a menos de 10. Assim, a raiz dos algarismos de 467 é 8.
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@ -12,7 +12,8 @@ Para qualquer $N$, considere $f(N)$ como os últimos cinco algarismos antes dos
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Por exemplo:
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$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\ & 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 9! = 362880 \\; \text{so} \\; f(9) = 36288 \\\\
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& 10! = 3628800 \\; \text{so} \\; f(10) = 36288 \\\\ & 20! = 2432902008176640000 \\; \text{so} \\; f(20) = 17664 \end{align}$$
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Encontre $f(1.000.000.000.000)$
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@ -18,7 +18,8 @@ Agora, nesse triângulo, podem ser observados dezesseis triângulos de forma, ta
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Se quisermos indicar que $T(n)$ é o número de triângulos presentes em um triângulo de tamanho $n$, então
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$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\ & T(2) = 104 \end{align}$$
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$$\begin{align} & T(1) = 16 \\\\
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& T(2) = 104 \end{align}$$
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Encontre $T(36)$.
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@ -16,13 +16,17 @@ Chamaremos de ponto comum $T$ de dois segmentos $L_1$ e $L_2$ um ponto de inters
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Considere os três segmentos $L_1$, $L_2$, e $L_3$:
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$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\ & L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & L_1: (27, 44) \\;\text{to}\\; (12, 32) \\\\
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& L_2: (46, 53) \\;\text{to}\\; (17, 62) \\\\ & L_3: (46, 70) \\;\text{to}\\; (22, 40) \\\\
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\end{align}$$
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É possível verificar que os segmentos de reta $L_2$ e $L_3$ têm um ponto de interseção verdadeira. Percebemos que, como um dos pontos de extremidade de $L_3$: (22, 40) fica sobre $L_1$, este não é considerado um ponto de interseção verdadeira. $L_1$ e $L_2$ não têm um ponto em comum. Portanto, entre os três segmentos de reta, encontramos um ponto de interseção verdadeira.
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Façamos agora o mesmo em 5.000 segmentos de reta. Para isso, geramos 20.000 números usando o chamado gerador pseudoaleatório de números "Blum Blum Shub".
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$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\ & s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & s_0 = 290797 \\\\
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& s_{n + 1} = s_n × s_n (\text{modulo}\\; 50515093) \\\\ & t_n = s_n (\text{modulo}\\; 500) \\\\
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\end{align}$$
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Para criar cada segmento de reta, usamos quatro números consecutivos $t_n$. Ou seja, o primeiro segmento de reta é dado por:
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@ -12,7 +12,9 @@ Uma grade de 4x4 é preenchida por algarismos $d$, sendo que $0 ≤ d ≤ 9$.
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Pode-se ver que na grade
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$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\ 5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
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$$\begin{array}{} 6 & 3 & 3 & 0 \\\\
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5 & 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 7 & 1 & 4 \\\\
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1 & 2 & 4 & 5 \end{array}$$
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a soma de cada linha e de cada coluna tem o valor 12. Além disso, a soma de cada diagonal também é 12.
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@ -14,7 +14,9 @@ Defina $f(0)=1$ e $f(n)$ como o número de diferentes maneiras pelas quais $n$ p
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Por exemplo, $f(10)=5$ já que há cinco maneiras diferentes de expressar 10:
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$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\ & 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\ & 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1 + 1 + 8 \\\\
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& 1 + 1 + 4 + 4 \\\\ & 1 + 1 + 2 + 2 + 4 \\\\
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& 2 + 4 + 4 \\\\ & 2 + 8 \end{align}$$
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Qual é $f({10}^{25})$?
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@ -12,7 +12,8 @@ dashedName: >-
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Pegue o número 6 e multiplique-o por 1273 e 9854:
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$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\ & 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 6 × 1273 = 7638 \\\\
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& 6 × 9854 = 59124 \\\\ \end{align}$$
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Ao concatenar esses produtos, temos o pandigital de 1 a 9 763859124. Chamaremos 763859124 de "produto concatenado de 6 e (1273, 9854)". Observe, também, que a concatenação dos números de entrada, 612739854, também é um pandigital de 1 a 9.
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: >-
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Para um número inteiro positivo $n$, considere $f(n)$ como a soma dos quadrados dos algarismos (na base 10) de $n$, por exemplo,
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$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\ & f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(3) = 3^2 = 9 \\\\
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& f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \\\\ & f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36 \\\\
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\end{align}$$
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Encontre os últimos nove algarismos da soma de todos os $n$, sendo que $0 < n < {10}^{20}$, de modo que $f(n)$ seja um quadrado perfeito.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-180-rational-zeros-of-a-function-of-three-variables
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Para qualquer número inteiro $n$, considere as três funções
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$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\ & f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
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$$\begin{align} & f_{1,n}(x,y,z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} − z^{n + 1}\\\\
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& f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n - 1} + y^{n - 1} − z^{n - 1})\\\\ & f_{3,n}(x,y,z) = xyz \times (x^{n - 2} + y^{n - 2} − z^{n - 2}) \end{align}$$
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e suas combinações
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@ -14,13 +14,27 @@ Em vez de peças coloridas, você tem que adivinhar uma sequência secreta de al
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Por exemplo, dados os seguintes palpites para uma sequência secreta de 5 algarismos
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$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
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$$\begin{align} & 90342 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 70794 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 39458 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 34109 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 51545 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 12531 ;1\\;\text{correct} \end{align}$$
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A sequência correta 39542 é única.
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Com base nos palpites abaixo
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$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\ & 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
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$$\begin{align} & 5616185650518293 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 3847439647293047 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 5855462940810587 ;3\\;\text{correct}\\\\
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& 9742855507068353 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4296849643607543 ;3\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 3174248439465858 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 4513559094146117 ;2\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 7890971548908067 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 8157356344118483 ;1\\;\text{correct}\\\\
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& 2615250744386899 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 8690095851526254 ;3\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 6375711915077050 ;1\\;\text{correct}\\\\ & 6913859173121360 ;1\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 6442889055042768 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 2321386104303845 ;0\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 2326509471271448 ;2\\;\text{correct}\\\\ & 5251583379644322 ;2\\;\text{correct}\\\\
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& 1748270476758276 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 4895722652190306 ;1\\;\text{correct}\\\\
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||||
& 3041631117224635 ;3\\;\text{correct}\\\\ & 1841236454324589 ;3\\;\text{correct}\\\\
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& 2659862637316867 ;2\\;\text{correct} \end{align}$$
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Encontre a sequência secreta única de 16 algarismos.
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@ -10,7 +10,13 @@ dashedName: problem-196-prime-triplets
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Construa um triângulo com todos os números inteiros positivos da seguinte maneira:
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$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\ & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\ & \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\ & 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\ & \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\ & 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\ & \cdots \end{array}$$
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$$\begin{array}{rrr} & 1 \\\\
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& \color{red}{2} & \color{red}{3} \\\\ & 4 & \color{red}{5} & 6 \\\\
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& \color{red}{7} & 8 & 9 & 10 \\\\ & \color{red}{11} & 12 & \color{red}{13} & 14 & 15 \\\\
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& 16 & \color{red}{17} & 18 & \color{red}{19} & 20 & 21 \\\\ & 22 & \color{red}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\\
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& \color{red}{29} & 30 & \color{red}{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\\\ & \color{red}{37} & 38 & 39 & 40 & \color{red}{41} & 42 & \color{red}{43} & 44 & 45 \\\\
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||||
& 46 & \color{red}{47} & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 & \color{red}{53} & 54 & 55 \\\\ & 56 & 57 & 58 & \color{red}{59} & 60 & \color{red}{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\\\
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& \cdots \end{array}$$
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Cada número inteiro positivo tem até oito vizinhos no triângulo.
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@ -12,7 +12,17 @@ Para qualquer conjunto $A$ de números, considere $sum(A)$ a soma dos elementos
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Considere o conjunto $B = \\{1,3,6,8,10,11\\}$. Há 20 subconjuntos de $B$ contendo três elementos, e suas somas são:
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$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\ & sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\ & sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\ & sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\ & sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\ & sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
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||||
$$\begin{align} & sum(\\{1,3,6\\}) = 10 \\\\
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||||
& sum(\\{1,3,8\\}) = 12 \\\\ & sum(\\{1,3,10\\}) = 14 \\\\
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||||
& sum(\\{1,3,11\\}) = 15 \\\\ & sum(\\{1,6,8\\}) = 15 \\\\
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||||
& sum(\\{1,6,10\\}) = 17 \\\\ & sum(\\{1,6,11\\}) = 18 \\\\
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||||
& sum(\\{1,8,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{1,8,11\\}) = 20 \\\\
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||||
& sum(\\{1,10,11\\}) = 22 \\\\ & sum(\\{3,6,8\\}) = 17 \\\\
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||||
& sum(\\{3,6,10\\}) = 19 \\\\ & sum(\\{3,6,11\\}) = 20 \\\\
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||||
& sum(\\{3,8,10\\}) = 21 \\\\ & sum(\\{3,8,11\\}) = 22 \\\\
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||||
& sum(\\{3,10,11\\}) = 24 \\\\ & sum(\\{6,8,10\\}) = 24 \\\\
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||||
& sum(\\{6,8,11\\}) = 25 \\\\ & sum(\\{6,10,11\\}) = 27 \\\\
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||||
& sum(\\{8,10,11\\}) = 29 \\end{align}$$
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Algumas destas somas ocorrem mais de uma vez, outras são únicas. Para um conjunto de $A$, considere $U(A,k)$ como sendo o conjunto de somas únicas de subconjuntos de $k$ elementos de $A$, No nosso exemplo, encontramos $U(B,3) = \\{10,12,14,18,21,25,27,29\\}$ e $sum(U(B,3)) = 156$.
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@ -10,7 +10,11 @@ dashedName: problem-203-squarefree-binomial-coefficients
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Os coeficientes binomiais $\displaystyle\binom{n}{k}$ podem ser organizados em forma triangular, no triângulo de Pascal, assim:
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$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\ & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\ & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\ & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\ 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & 1 & & & & & & & \\\\
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& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\\\ & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\\\
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& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\\\ & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\\\
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& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\\\ & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\\\
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1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\\ & & & & & & & \ldots \end{array}$$
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Podemos ver que as primeiras oito linhas do triângulo de Pascal contêm doze números distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 e 35.
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@ -20,7 +20,11 @@ Assim, $P(6) = \frac{1}{2}$.
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Na tabela a seguir estão listados alguns valores de $P(m)$
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$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\ & P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\ & P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\ & P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\ & P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
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$$\begin{align} & P(5) = \frac{1}{1} \\\\
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& P(10) = \frac{1}{2} \\\\ & P(15) = \frac{2}{3} \\\\
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& P(20) = \frac{1}{2} \\\\ & P(25) = \frac{1}{2} \\\\
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||||
& P(30) = \frac{2}{5} \\\\ & \ldots \\\\
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& P(180) = \frac{1}{4} \\\\ & P(185) = \frac{3}{13} \end{align}$$
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Encontre o menor $m$ para o qual $P(m) < \frac{1}{12.345}$
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@ -12,7 +12,10 @@ Um cuboide alinhado em seus eixos, especificado pelos parâmetros $\{ (x_0,y_0,z
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Considere $C_1, \ldots, C_{50000}$ como sendo uma coleção de 50.000 cuboides alinhados em seus eixos, de modo que $C_n$ tenha parâmetros
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$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & x_0 = S_{6n - 5} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
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||||
& y_0 = S_{6n - 4} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\ & z_0 = S_{6n - 3} \\; \text{modulo} \\; 10000 \\\\
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||||
& dx = 1 + (S_{6n - 2} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ & dy = 1 + (S_{6n - 1} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\
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||||
& dz = 1 + (S_{6n} \\; \text{modulo} \\; 399) \\\\ \end{align}$$
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onde $S_1, \ldots, S_{300000}$ vem do "Gerador Fibonacci com atraso":
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@ -12,7 +12,11 @@ Considere $φ$ como sendo a função totiente de Euler, ou seja, para um número
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Ao iterar por $φ$, cada número inteiro positivo gera uma cadeia decrescente de números terminando em 1. Ex: se começarmos com 5 a sequência 5,4,2,1 é gerada. Aqui está uma lista de todas as cadeias com comprimento 4:
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$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\ 7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\ 9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\ 12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\ 18,6,2,1 & \end{align}$$
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$$\begin{align} 5,4,2,1 & \\\\
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7,6,2,1 & \\\\ 8,4,2,1 & \\\\
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9,6,2,1 & \\\\ 10,4,2,1 & \\\\
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||||
12,4,2,1 & \\\\ 14,6,2,1 & \\\\
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18,6,2,1 & \end{align}$$
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Apenas duas dessas cadeias começam com um número primo e sua soma é 12.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-228-minkowski-sums
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Considere $S_n$ como o polígono – ou forma – regular de $n$ lados, cujos vértices $v_k (k = 1, 2, \ldots, n)$ têm as coordenadas:
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$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\ & y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
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$$\begin{align} & x_k = cos(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \\\\
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& y_k = sin(\frac{2k - 1}{n} × 180°) \end{align}$$
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Cada $S_n$ deve ser interpretado como uma forma preenchida que consiste em todos os pontos no perímetro e no interior.
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@ -10,13 +10,17 @@ dashedName: problem-229-four-representations-using-squares
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Considere o número 3600. Ele é muito especial, porque
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$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\ & 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\ & 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 3600 = {48}^2 + {36}^2 \\\\
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& 3600 = {20}^2 + {2×40}^2 \\\\ & 3600 = {30}^2 + {3×30}^2 \\\\
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& 3600 = {45}^2 + {7×15}^2 \\\\ \end{align}$$
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Da mesma forma, descobrimos que $88201 = {99}^2 + {280}^2 = {287}^2 + 2 × {54}^2 = {283}^2 + 3 × {52}^2 = {197}^2 + 7 × {84}^2$.
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Em 1747, Euler provou quais números são representáveis como uma soma de dois quadrados. Estamos interessados nos números $n$ que admitem representações de todos os quatro tipos a seguir:
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$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\ & n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\ & n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & n = {a_1}^2 + {b_1}^2 \\\\
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||||
& n = {a_2}^2 + 2{b_2}^2 \\\\ & n = {a_3}^2 + 3{b_3}^2 \\\\
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& n = {a_7}^2 + 7{b_7}^2 \\\\ \end{align}$$
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onde $a_k$ e $b_k$ são números inteiros positivos.
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@ -18,17 +18,21 @@ Considere $A = 1.415.926.535$, $B = 8.979.323.846$. Queremos encontrar, digamos,
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Os primeiros termos de $F_{A,B}$ são:
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$$\begin{align} & 1.415.926\\,535 \\\\ & 8.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846 \\\\ & 897.932.384.614.159.265.358.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846.897.932.384.614.15\color{red}{9}.265.358.979.323.846 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1.415.926\\,535 \\\\
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& 8.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846 \\\\
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& 897.932.384.614.159.265.358.979.323.846 \\\\ & 14.159.265.358.979.323.846.897.932.384.614.15\color{red}{9}.265.358.979.323.846 \end{align}$$
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Então, $D_{A,B}(35)$ é o ${35}^{\text{o}}$ algarismo no quinto termo, que é 9.
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Agora, usamos para $A$ os primeiros 100 algarismos de $π$ antes do ponto decimal:
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$$\begin{align} & 14.159.265.358.979.323.846.264.338.327.950.288.419.716.939.937.510 \\\\ & 58.209.749.445.923.078.164.062.862.089.986.280.348.253.421.170.679 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 14.159.265.358.979.323.846.264.338.327.950.288.419.716.939.937.510 \\\\
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& 58.209.749.445.923.078.164.062.862.089.986.280.348.253.421.170.679 \end{align}$$
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e para $B$ os próximos cem algarismos:
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$$\begin{align} & 82.148.086.513.282.306.647.093.844.609.550.582.231.725.359.408.128 \\\\ & 48.111.745.028.410.270.193.852.110.555.964.462.294.895.493.038.196 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 82.148.086.513.282.306.647.093.844.609.550.582.231.725.359.408.128 \\\\
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& 48.111.745.028.410.270.193.852.110.555.964.462.294.895.493.038.196 \end{align}$$
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Encontre $\sum_{n = 0, 1, \ldots, 17} {10}^n × D_{A,B}((127 + 19n) × 7^n)$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-238-infinite-string-tour
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Crie uma sequência de números usando o gerador de números pseudoaleatório "Blum Blum Shub":
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$$ s_0 = 14025256 \\\\ s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20.300.713 $$
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$$ s_0 = 14025256 \\\\
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s_{n + 1} = {s_n}^2 \\; mod \\; 20.300.713 $$
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Concatene esses números $s_0s_1s_2\ldots$ para criar uma string $w$ de comprimento infinito. Assim, $w = 14025256741014958470038053646\ldots$
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-240-top-dice
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Há 1111 maneiras pelas quais cinco dados de 6 lados (lados numerados de 1 a 6) podem ser rolados de modo que os três maiores somem 15. Alguns exemplos:
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$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
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$$\begin{align} & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5 \\\\
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& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6 \\\\ & D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6 \\\\
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& D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3 \end{align}$$
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De quantas maneiras vinte dados de doze lados (lados numerados de 1 a 12) podem ser rolados de modo que a soma dos dez maiores seja 70?
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@ -16,7 +16,9 @@ Um movimento é indicado pela primeira letra maiúscula da direção (Left - Esq
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Para cada caminho, seu valor de verificação é calculado por (pseudocódigo):
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$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
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$$\begin{align} & \text{checksum} = 0 \\\\
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& \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_1) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_2) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \\\\
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& \ldots \\\\ & \text{checksum} = (\text{checksum} × 243 + m_n) \\; \text{mod} \\; 100\\,000\\,007 \end{align}$$
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onde $m_k$ é o valor ASCII da $k^{\text{a}}$ letra na sequência de movimento e os valores ASCII dos movimentos são:
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@ -16,7 +16,8 @@ Como exemplo, a imagem abaixo apresenta um conjunto de vinte pontos e alguns des
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Para nosso exemplo, usamos os primeiros 20 pontos ($T_{2k − 1}$, $T_{2k}$), para $k = 1, 2, \ldots, 20$, produzido com o gerador de números pseudoaleatório:
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$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\ S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50.515.093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
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$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\
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S_{n+1} & = {S_n}^2 \\; \text{mod} \\; 50.515.093 \\\\ T_n & = (S_n \\; \text{mod} \\; 2000) − 1000 \end{align}$$
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por exemplo: (527, 144), (-488, 732), (-454, − 947), …
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@ -28,7 +28,8 @@ Como exemplo, vamos encontrar a raiz quadrada arredondada de $n = 4321$.
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$n$ tem 4 algarismos, então $x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$.
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$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
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$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\
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x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
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Como $x_2 = x_1$, paramos aqui. Então, depois de apenas duas iterações, descobrimos que a raiz arredondada de 4321 é 66 (a raiz quadrada real é 65.7343137…).
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@ -14,7 +14,9 @@ $${(k - m)}^2 + \ldots + k^2 = {(n + 1)}^2 + \ldots + {(n + m)}^2$$
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Alguns quadrados pivotais pequenos são
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$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\ & \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\ & \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & \mathbf{4}: 3^2 + \mathbf{4}^2 = 5^2 \\\\
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& \mathbf{21}: {20}^2 + \mathbf{21}^2 = {29}^2 \\\\ & \mathbf{24}: {21}^2 + {22}^2 + {23}^2 + \mathbf{24}^2 = {25}^2 + {26}^2 + {27}^2 \\\\
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& \mathbf{110}: {108}^2 + {109}^2 + \mathbf{110}^2 = {133}^2 + {134}^2 \\\\ \end{align}$$
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Encontre a soma de todos os quadrados pivotais distintos $≤ {10}^{10}$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-282-the-ackermann-function
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Para números inteiros não negativos $m$, $n$, a função de Ackermann $A(m, n)$ é definida da seguinte forma:
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$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\ A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ and $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ and $n > 0$} \end{cases}$$
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$$A(m, n) = \begin{cases} n + 1 & \text{if $m = 0$} \\\\
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A(m - 1, 1) & \text{if $m > 0$ and $n = 0$} \\\\ A(m - 1, A(m, n - 1)) & \text{if $m > 0$ and $n > 0$} \end{cases}$$
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Por exemplo $A(1, 0) = 2$, $A(2, 2) = 7$ e $A(3, 4) = 125$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-288-an-enormous-factorial
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Para qualquer número primo $p$, o número $N(p,q)$ é definido por $N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$ com $T_n$ gerado pelo seguinte gerador aleatório de números:
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$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\ & S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
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$$\begin{align} & S_0 = 290797 \\\\
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& S_{n + 1} = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & T_n = S_n\bmod p \end{align}$$
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Considere $Nfac(p,q)$ como o fatorial de $N(p,q)$.
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@ -16,7 +16,8 @@ Chamamos a área convexa criada no cruzamento de dois círculos de um orifício
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Considere os círculos:
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$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\ & C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
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$$\begin{align} & C_0: x^2 + y^2 = 25 \\\\
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& C_1: {(x + 4)}^2 + {(y - 4)}^2 = 1 \\\\ & C_2: {(x - 12)}^2 + {(y - 4)}^2 = 65 \end{align}$$
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Os círculos $C_0$, $C_1$ e $C_2$ estão desenhados na imagem abaixo.
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@ -19,7 +19,9 @@ Considere $C(n)$ como o número de ciclos que passam exatamente uma vez por todo
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Também pode ser verificado que:
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$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\ & C(5) = 71.328.803.586.048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37.652.224 \\\\ & C(10 000)\bmod {13}^8 = 617.720.485 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & C(1) = C(2) = 1 \\\\
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& C(5) = 71.328.803.586.048 \\\\ & C(10 000)\bmod {10}^8 = 37.652.224 \\\\
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& C(10 000)\bmod {13}^8 = 617.720.485 \\\\ \end{align}$$
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Encontre $C(C(C(10.000)))\bmod {13}^8$.
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@ -12,7 +12,11 @@ Considere o número real $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
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Quando calculamos as potências pares de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ obtemos:
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
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||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
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||||
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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Parece que o número de noves consecutivos no início da parte fracionária dessas potências não diminui. Na verdade, pode ser provado que a parte fracionária de ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ aproxima-se de 1 para $n$ grandes.
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@ -12,7 +12,9 @@ Considere $f(n)$ como o número de maneiras que se pode preencher uma torre $3×
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Por exemplo (com $q = 100.000.007$):
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$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\ & f(4) = 117.805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96.149.360, \\\\ & f({10}^3)\bmod q = 24.806.056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30.808.124. \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(2) = 229, \\\\
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& f(4) = 117.805, \\\\ & f(10)\bmod q = 96.149.360, \\\\
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||||
& f({10}^3)\bmod q = 24.806.056, \\\\ & f({10}^6)\bmod q = 30.808.124. \end{align}$$
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Encontre $f({10}^{10000})\bmod 100.000.007$.
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@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-330-eulers-number
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Uma sequência infinita de números reais $a(n)$ é definida para todos os números inteiros $n$ da seguinte forma:
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$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\ \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
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$$ a(n) = \begin{cases} 1 & n < 0 \\\\
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\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a(n - 1)}{i!} & n \ge 0 \end{cases} $$
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Por exemplo:
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$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\ & a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
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$$\begin{align} & a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e − 1 \\\\
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& a(1) = \frac{e − 1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2e − 3 \\\\ & a(2) = \frac{2e − 3}{1!} + \frac{e − 1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = \frac{7}{2} e − 6 \end{align}$$
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com $e = 2.7182818\ldots$ sendo a constante de Euler.
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@ -14,7 +14,8 @@ Consideremos apenas aquelas partições em que nenhum dos termos pode dividir qu
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Muitos números inteiros têm mais de uma partição válida, sendo o primeiro 11 tendo as duas partições que seguem.
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$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\ & 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
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$$\begin{align} & 11 = 2 + 9 = (2^1 \times 3^0 + 2^0 \times 3^2) \\\\
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& 11 = 8 + 3 = (2^3 \times 3^0 + 2^0 \times 3^1) \end{align}$$
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Vamos definir $P(n)$ como o número de partições válidas de $n$. Por exemplo, $P(11) = 2$.
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@ -16,7 +16,10 @@ Por exemplo, considere duas tigelas adjacentes contendo 2 e 3 feijões, respecti
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Você recebe as seguintes sequências:
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$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\ & t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ é par} \\\\ \left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ é ímpar} \end{cases} \\\\ & \qquad \text{onde $⌊x⌋$ é a função piso e $\oplus$ é o operador bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
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$$\begin{align} & t_0 = 123456, \\\\
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& t_i = \begin{cases} \frac{t_{i - 1}}{2}, & \text{if $t_{i - 1}$ é par} \\\\
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\left\lfloor\frac{t_{i - 1}}{2}\right\rfloor \oplus 926252, & \text{if $t_{i - 1}$ é ímpar} \end{cases} \\\\
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& \qquad \text{onde $⌊x⌋$ é a função piso e $\oplus$ é o operador bitwise XOR.} \\\\ & b_i = (t_i\bmod 2^{11}) + 1. \end{align}$$
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Os dois primeiros termos da última sequência são $b_1 = 289$ e $b_2 = 145$. Se começarmos com $b_1$ e $b_2$ feijões em duas tigelas adjacentes, 3419100 movimentos seriam necessários para terminar o jogo.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-340-crazy-function
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Para números inteiros fixos $a$, $b$, $c$, defina a função maluca $F(n)$ da seguinte forma:
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$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ para todo } n > b \\\\ & F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ para todo } n ≤ b. \end{align}$$
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$$\begin{align} & F(n) = n - c \\;\text{ para todo } n > b \\\\
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& F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) \\;\text{ para todo } n ≤ b. \end{align}$$
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Além disso, defina $S(a, b, c) = \displaystyle\sum_{n = 0}^b F(n)$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-341-golombs-self-describing-sequence
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A sequência autodescritiva de Golomb ($G(n)$) é a única sequência não decrescente de números naturais, tal que $n$ aparece exatamente $G(n)$ vezes na sequência. Os valores de $G(n)$ para os primeiros $n$ são
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$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\ G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \ldots \\\\
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G(n) & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & \ldots \end{array}$$
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Você é informado de que $G({10}^3) = 86$, $G({10}^6) = 6137$.
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@ -12,11 +12,20 @@ Definimos a soma interna da matriz como a soma máxima dos elementos da matriz c
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Por exemplo, a soma interna da matriz abaixo é igual a $3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767)$:
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$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\ 497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
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$$\begin{array}{rrrrr} 7 & 53 & 183 & 439 & \color{lime}{863} \\\\
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497 & \color{lime}{383} & 563 & 79 & 973 \\\\ 287 & 63 & \color{lime}{343} & 169 & 583 \\\\
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627 & 343 & 773 & \color{lime}{959} & 943 \\\\ \color{lime}{767} & 473 & 103 & 699 & 303 \end{array}$$
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Encontre a soma interna da matriz de:
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$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\ 627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\ 217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\ 870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\ 322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\ 414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\ 821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\ 815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
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$$\\begin{array}{r} 7 & 53 & 183 & 439 & 863 & 497 & 383 & 563 & 79 & 973 & 287 & 63 & 343 & 169 & 583 \\\\
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627 & 343 & 773 & 959 & 943 & 767 & 473 & 103 & 699 & 303 & 957 & 703 & 583 & 639 & 913 \\\\ 447 & 283 & 463 & 29 & 23 & 487 & 463 & 993 & 119 & 883 & 327 & 493 & 423 & 159 & 743 \\\\
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217 & 623 & 3 & 399 & 853 & 407 & 103 & 983 & 89 & 463 & 290 & 516 & 212 & 462 & 350 \\\\ 960 & 376 & 682 & 962 & 300 & 780 & 486 & 502 & 912 & 800 & 250 & 346 & 172 & 812 & 350 \\\\
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870 & 456 & 192 & 162 & 593 & 473 & 915 & 45 & 989 & 873 & 823 & 965 & 425 & 329 & 803 \\\\ 973 & 965 & 905 & 919 & 133 & 673 & 665 & 235 & 509 & 613 & 673 & 815 & 165 & 992 & 326 \\\\
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322 & 148 & 972 & 962 & 286 & 255 & 941 & 541 & 265 & 323 & 925 & 281 & 601 & 95 & 973 \\\\ 445 & 721 & 11 & 525 & 473 & 65 & 511 & 164 & 138 & 672 & 18 & 428 & 154 & 448 & 848 \\\\
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414 & 456 & 310 & 312 & 798 & 104 & 566 & 520 & 302 & 248 & 694 & 976 & 430 & 392 & 198 \\\\ 184 & 829 & 373 & 181 & 631 & 101 & 969 & 613 & 840 & 740 & 778 & 458 & 284 & 760 & 390 \\\\
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821 & 461 & 843 & 513 & 17 & 901 & 711 & 993 & 293 & 157 & 274 & 94 & 192 & 156 & 574 \\\\ 34 & 124 & 4 & 878 & 450 & 476 & 712 & 914 & 838 & 669 & 875 & 299 & 823 & 329 & 699 \\\\
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815 & 559 & 813 & 459 & 522 & 788 & 168 & 586 & 966 & 232 & 308 & 833 & 251 & 631 & 107 \\\\ 813 & 883 & 451 & 509 & 615 & 77 & 281 & 613 & 459 & 205 & 380 & 274 & 302 & 35 & 805 \end{array}$$
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# --hints--
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@ -14,7 +14,9 @@ Considere os números palíndromos que podem ser expressos como a soma de um qua
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Por exemplo, 5229225 é um número palíndromo e pode ser expresso de exatamente 4 formas diferentes:
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$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\ & {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\ & {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
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$$\begin{align} & {2285}^2 + {20}^3 \\\\
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& {2223}^2 + {66}^3 \\\\ & {1810}^2 + {125}^3 \\\\
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& {1197}^2 + {156}^3 \end{align}$$
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Encontre a soma dos cinco menores números palíndromos deste tipo.
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@ -16,7 +16,9 @@ O mínimo múltiplo comum, ou $lcm$, de uma lista é o menor número natural div
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Considere $f(G, L, N)$ como o número de listas de tamanho $N$ com $gcd ≥ G$ e $lcm ≤ L$. Por exemplo:
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$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\ & f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\ & f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3.286.053 \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(10, 100, 1) = 91 \\\\
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& f(10, 100, 2) = 327 \\\\ & f(10, 100, 3) = 1135 \\\\
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& f(10, 100, 1000)\bmod {101}^4 = 3.286.053 \end{align}$$
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Encontre $f({10}^6, {10}^{12}, {10}^{18})\bmod {101}^4$.
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@ -14,11 +14,16 @@ Quando é multiplicado por 1, 2, 3, 4, ... $n$, todos os produtos têm exatament
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O menor número cíclico é o número de 6 algarismos 142857:
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$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\ & 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\ & 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\ & 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 142857 × 1 = 142857 \\\\
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& 142857 × 2 = 285714 \\\\ & 142857 × 3 = 428571 \\\\
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& 142857 × 4 = 571428 \\\\ & 142857 × 5 = 714285 \\\\
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& 142857 × 6 = 857142 \end{align}$$
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O próximo número cíclico é 0588235294117647, com 16 algarismos:
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$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\ & 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\ & \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 0588235294117647 × 1 = 0588235294117647 \\\\
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& 0588235294117647 × 2 = 1176470588235294 \\\\ & 0588235294117647 × 3 = 1764705882352941 \\\\
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& \ldots \\\\ & 0588235294117647 × 16 = 9411764705882352 \end{align}$$
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Observe que, para números cíclicos, zeros à esquerda são importantes.
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@ -27,7 +27,10 @@ No fim, cada pessoa na fila pegará um quarto no hotel.
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Defina $P(f, r)$ como $n$ se a pessoa $n$ ocupar o quarto $r$ no andar $f$, e 0 se ninguém ocupar o quarto. Aqui estão alguns exemplos:
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$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\ & P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\ & P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
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$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\\\
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& P(1, 2) = 3 \\\\ & P(2, 1) = 2 \\\\
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& P(10, 20) = 440 \\\\ & P(25, 75) = 4863 \\\\
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& P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
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Encontre a soma de todos os $P(f, r)$ para todos os números positivos $f$ e $r$, tal que $f × r = 71.328.803.586.048$ e dê os últimos 8 algarismos como resposta.
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@ -20,7 +20,8 @@ Definimos $\\{A_n\\}$ como uma sequência ordenada de inteiros, de forma que a e
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Os primeiros termos de $A_n$ são atribuídos da seguinte forma:
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$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\ A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{cr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \ldots \\\\
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A_n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 18 & \ldots \end{array}$$
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Também podemos verificar que $A_{100} = 3251$ e $A_{1000} = 80.852.364.498$.
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@ -16,7 +16,8 @@ Consideremos agora outra série harmônica modificada, omitindo da série harmô
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Estes 20 termos omitidos são:
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$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\ \dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
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$$\dfrac{1}{111}, \dfrac{1}{222}, \dfrac{1}{333}, \dfrac{1}{444}, \dfrac{1}{555}, \dfrac{1}{666}, \dfrac{1}{777}, \dfrac{1}{888}, \dfrac{1}{999}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1110}, \\\\
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\dfrac{1}{1111}, \dfrac{1}{1112}, \dfrac{1}{1113}, \dfrac{1}{1114}, \dfrac{1}{1115}, \dfrac{1}{1116}, \dfrac{1}{1117}, \dfrac{1}{1118}, \dfrac{1}{1119}$$
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Esta série também converge.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-375-minimum-of-subsequences
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Considere $S_n$ como uma sequência de números inteiros produzida com o seguinte gerador de números pseudoaleatórios:
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$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\ S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \end{align}$$
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$$\begin{align} S_0 & = 290.797 \\\\
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S_{n + 1} & = {S_n}^2\bmod 50.515.093 \end{align}$$
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Considere $A(i, j)$ como o mínimo dos números $S_i, S_{i + 1}, \ldots, S_j$ para $i ≤ j$. Considere $M(N) = \sum A(i, j)$ para $1 ≤ i ≤ j ≤ N$.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-376-nontransitive-sets-of-dice
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Considere o seguinte conjunto de dados com valores fora do padrão de 1 a 6:
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$$\begin{array}{} \text{Die A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\ \text{Die B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Die C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\ \end{array}$$
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$$\begin{array}{} \text{Die A: } & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\\\
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\text{Die B: } & 2 & 2 & 2 & 5 & 5 & 5 \\\\ \text{Die C: } & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 \\\\
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\end{array}$$
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Um jogo é disputado por dois jogadores que escolhem um dado por vez e o rolam. O jogador que rolar nos dados o maior valor ganha.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-38-pandigital-multiples
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Pegue o número 192 e multiplique-o por cada um entre 1, 2 e 3:
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$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\ 192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} 192 × 1 = 192\\\\
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192 × 2 = 384\\\\ 192 × 3 = 576\\\\
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\end{align}$$
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Ao concatenar cada produto, chegamos ao total 192384576. Esse resultado possui 9 algarismos e usa todos os números de 1 a 9 pelo menos uma vez. Chamaremos 192384576 o produto concatenado de 192 e (1, 2, 3).
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@ -18,7 +18,9 @@ Além disso, considere a sequência somatória de $b(n)$: $s(n) = \displaystyle\
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Os primeiros valores destas sequências são:
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$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
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$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
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a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
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s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
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A sequência $s(n)$ tem a incrível propriedade de que todos os elementos são positivos e de que todo número inteiro positivo $k$ ocorre exatamente $k$ vezes.
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@ -28,7 +30,8 @@ Ex.: $g(3, 3) = 6$, $g(4, 2) = 7$ e $g(54321, 12345) = 1.220.847.710$.
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Considere $F(n)$ como a sequência de Fibonacci definida por:
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$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ e} \\\\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ para } n > 1. \end{align}$$
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$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ e} \\\\
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& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ para } n > 1. \end{align}$$
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Defina $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
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@ -32,7 +32,9 @@ Considere $C(n, a, b)$ como o pior caso de custo obtido por uma estratégia idea
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Aqui estão alguns exemplos:
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$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\ & C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20.000, 5, 7) = 82 \\\\ & C(2.000.000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & C(5, 2, 3) = 5 \\\\
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& C(500, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = 13.220\\,731\\,97\ldots \\\\ & C(20.000, 5, 7) = 82 \\\\
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& C(2.000.000, √5, √7) = 49.637\\,559\\,55\ldots \\\\ \end{align}$$
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Considere $F_k$ como sendo os números de Fibonacci: $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$ com casos base $F_1 = F_2 = 1$.
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@ -16,7 +16,8 @@ Isso também funciona com números que têm menos de 4 algarismos se colocarmos
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Ex: vamos começar com o número 0837:
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$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\\\
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& 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$
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6174 é chamado de constante de Kaprekar. O processo de ordenar e subtrair e repetir isso até chegar a 0 ou à constante de Kaprekar é chamado de rotina de Kaprekar.
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@ -10,7 +10,12 @@ dashedName: problem-417-reciprocal-cycles-ii
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Em uma fração unitária, o numerador é 1. A representação decimal das frações unitárias com denominadores de 2 a 10 é a seguinte:
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$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\ & \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\ & \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\ & \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\ & \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & \frac{1}{2} = 0.5 \\\\
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& \frac{1}{3} = 0.(3) \\\\ & \frac{1}{4} = 0.25 \\\\
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& \frac{1}{5} = 0.2 \\\\ & \frac{1}{6} = 0.1(6) \\\\
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& \frac{1}{7} = 0.(142857) \\\\ & \frac{1}{8} = 0.125 \\\\
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& \frac{1}{9} = 0.(1) \\\\ & \frac{1}{10} = 0.1 \\\\
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\end{align}$$
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A expressão $0.1(6)$ significa $0.16666666\dots$, e tem um ciclo recorrente de 1 algarismo. Pode ser visto que $\frac{1}{7}$ tem um ciclo recorrente de 6 algarismos.
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@ -12,11 +12,14 @@ Uma matriz de números inteiros positivos é uma matriz cujos elementos são tod
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Algumas matrizes de números inteiros positivos podem ser expressas como um quadrado de uma matriz de números inteiros positivos de duas formas diferentes. Exemplo:
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$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\ 48 & 40 \end{pmatrix} =
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$$\begin{pmatrix} 40 & 12 \\\\
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48 & 40 \end{pmatrix} =
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{\begin{pmatrix}
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2 & 3 \\\\ 12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
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2 & 3 \\\\
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12 & 2 \end{pmatrix}}^2 =
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{\begin{pmatrix}
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6 & 1 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
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6 & 1 \\\\
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4 & 6 \end{pmatrix}}^2$$
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Definimos $F(N)$ como a quantidade de matrizes de números inteiros positivos 2x2 que têm um traço inferior a N e que podem ser expressas como um quadrado de uma matriz de números inteiros positivos de duas formas diferentes.
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@ -14,7 +14,8 @@ Um dado de 6 lados é lançado $n$ vezes. Considere $c$ como o número de pares
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Por exemplo, se $n = 7$ e os valores dos lançamentos dos dados são (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3), os seguintes pares de lançamentos consecutivos dão o mesmo valor:
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$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
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$$\begin{align} & (\underline{1}, \underline{1}, 5, 6, 6, 6, 3) \\\\
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& (1, 1, 5, \underline{6}, \underline{6}, 6, 3) \\\\ & (1, 1, 5, 6, \underline{6}, \underline{6}, 3) \end{align}$$
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Portanto, $c = 3$ para (1, 1, 5, 6, 6, 6, 3).
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@ -24,7 +24,8 @@ Pode-se mostrar que após um número suficiente de movimentos, o sistema evolui
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Definimos a sequência $\\{t_i\\}$:
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$$\begin{align} & s_0 = 290.797 \\\\ & s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
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$$\begin{align} & s_0 = 290.797 \\\\
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& s_{k + 1} = {s_k}^2\bmod 50.515.093 \\\\ & t_k = (s_k\bmod 64) + 1 \end{align}$$
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Começando da configuração inicial $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$, o estado final se torna [1, 3, 10, 24, 51, 75].
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-433-steps-in-euclids-algorithm
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Considere $E(x_0, y_0)$ como o número de etapas necessárias para determinar o máximo divisor comum de $x_0$ e $y_0$ com o algoritmo de Euclides. Mais formalmente:
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$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\ & x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
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$$\begin{align} & x_1 = y_0, y_1 = x_0\bmod y_0 \\\\
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& x_n = y_{n - 1}, y_n = x_{n - 1}\bmod y_{n - 1} \end{align}$$
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$E(x_0, y_0)$ é o menor $n$, tal que $y_n = 0$.
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@ -16,7 +16,11 @@ Mas há mais:
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Se olharmos mais de perto:
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$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\ & 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\ & 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\ & 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\ & 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1 + 8 = 9 \\\\
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& 8 + 9 = 17 ≡ 6\bmod 11 \\\\ & 9 + 6 = 15 ≡ 4\bmod 11 \\\\
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& 6 + 4 = 10 \\\\ & 4 + 10 = 14 ≡ 3\bmod 11 \\\\
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& 10 + 3 = 13 ≡ 2\bmod 11 \\\\ & 3 + 2 = 5 \\\\
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& 2 + 5 = 7 \\\\ & 5 + 7 = 12 ≡ 1\bmod 11. \end{align}$$
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Portanto, as potências de 8 mod 11 são cíclicas com o período de 10 e $8^n + 8^{n + 1} ≡ 8^{n + 2} (\text{mod } 11)$. 8 é chamado de raiz primitiva de Fibonacci de 11.
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@ -24,7 +24,8 @@ Considere $S(L)$ como a soma tripla $\sum_{a, b, c} gcd(T(c^a), T(c^b))$ para $1
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Por exemplo:
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$$\begin{align} & S(2) = 10.444 \\\\ & S(3) = 1.292.115.238.446.807.016.106.539.989 \\\\ & S(4)\bmod 987.898.789 = 670.616.280. \end{align}$$
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$$\begin{align} & S(2) = 10.444 \\\\
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& S(3) = 1.292.115.238.446.807.016.106.539.989 \\\\ & S(4)\bmod 987.898.789 = 670.616.280. \end{align}$$
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Encontre $S(2000)\bmod 987.898.789$.
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@ -10,11 +10,13 @@ dashedName: problem-443-gcd-sequence
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Considere $g(n)$ como uma sequência definida assim:
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$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\ & g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ para } n > 4. \end{align}$$
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$$\begin{align} & g(4) = 13, \\\\
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& g(n) = g(n-1) + gcd(n, g(n - 1)) \text{ para } n > 4. \end{align}$$
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Seus primeiros valores são:
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$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\ g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
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$$\begin{array}{l} n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \ldots \\\\
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g(n) & 13 & 14 & 16 & 17 & 18 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 51 & 54 & 55 & 60 & \ldots \end{array}$$
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Você é informado de que $g(1.000) = 2.524$ e $g(1.000.000) = 2.624.152$.
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@ -24,7 +24,8 @@ Considere $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right
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Você é informado de que:
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$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
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$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\
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C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
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**Observação:** (-625, 0) não é um elemento de $C(2500, 1000)$, pois $\sin(t)$ não é um número racional para os valores correspondentes de $t$.
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@ -14,7 +14,10 @@ Há oito números positivos inferiores a 15 que são coprimos para 15: 1, 2, 4,
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As inversas modulares desses números modulo 15 são: 1, 8, 4, 13, 2, 11, 7, 14, porque
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$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\ & 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\ & 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1 \times 1\bmod 15 = 1 \\\\
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& 2 \times 8 = 16\bmod 15 = 1 \\\\ & 4 \times 4 = 16\bmod 15 = 1 \\\\
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& 7 \times 13 = 91\bmod 15 = 1 \\\\ & 11 \times 11 = 121\bmod 15 = 1 \\\\
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& 14 \times 14 = 196\bmod 15 = 1 \end{align}$$
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Considere $I(n)$ como o maior número positivo $m$ menor que $n - 1$, tal que a inversa modular de $m$ modulo $n$ é igual ao próprio $m$.
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@ -12,7 +12,9 @@ Considere $f(n)$ como o maior número inteiro positivo $x$ inferior a ${10}^9$,
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Por exemplo:
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$$\begin{align} & f(4) = 411.728.896 (4^{411.728.896} = ...490\underline{411728896}) \\\\ & f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743.757 (157^{743.757} = ...567\underline{000743757}) \\\\ & Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442.530.011.399 \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(4) = 411.728.896 (4^{411.728.896} = ...490\underline{411728896}) \\\\
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& f(10) = 0 \\\\ & f(157) = 743.757 (157^{743.757} = ...567\underline{000743757}) \\\\
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& Σf(n), 2 ≤ n ≤ 103 = 442.530.011.399 \end{align}$$
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Encontre $\sum f(n)$, $2 ≤ n ≤ {10}^6$.
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@ -10,7 +10,8 @@ dashedName: problem-456-triangles-containing-the-origin-ii
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Definição:
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$$\start{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\ & y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
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$$\start{align} & x_n = ({1248}^n\bmod 32323) - 16161 \\\\
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& y_n = ({8421}^n\bmod 30103) - 15051 \\\\ & P_n = \\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\\} \end{align}$$
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Por exemplo, $$P_8 = \\{(-14913, -6630), (-10161, 5625), (5226, 11896), (8340, -10778), (15852, -5203), (-15165, 11295), (-1427, -14495), (12407, 1060)\\}$$
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@ -18,7 +19,8 @@ Considere $C(n)$ o número de triângulos cujos vértices estão em $P_n$ e que
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Exemplos:
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$$\start{align} & C(8) = 20 \\\\ & C(600) = 8.950.634 \\\\ & C(40.000) = 266.610.948.988 \end{align}$$
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$$\start{align} & C(8) = 20 \\\\
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& C(600) = 8.950.634 \\\\ & C(40.000) = 266.610.948.988 \end{align}$$
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Encontre $C(2.000.000)$.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-463-a-weird-recurrence-relation
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A função $f$ é definida para todos os números inteiros positivos da seguinte forma:
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$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\ & f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\ & f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
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$$\begin{align} & f(1) = 1 \\\\
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& f(3) = 3 \\\\ & f(2n) = f(n) \\\\
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& f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n) \\\\ & f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - 2f(n) \end{align}$$
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A função $S(n)$ é definida como $\sum_{i=1}^{n} f(i)$.
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@ -12,13 +12,17 @@ Considere $P(m,n)$ como o número de termos distintos em uma tabela de multiplic
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Por exemplo, uma tabela de multiplicação 3×4 fica assim:
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$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\ \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ \mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
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$$\begin{array}{c} × & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\\\
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\mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \mathbf{2} & 2 & 4 & 6 & 8 \\\\
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\mathbf{3} & 3 & 6 & 9 & 12 \end{array}$$
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Existem 8 termos distintos {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}, portanto $P(3, 4) = 8$.
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Você é informado de que:
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$$\begin{align} & P(64, 64) = 1.263, \\\\ & P(12, 345) = 1.998, \text{ e} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13.826.382.602.124.302. \\\\ \end{align}$$
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||||
$$\begin{align} & P(64, 64) = 1.263, \\\\
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||||
& P(12, 345) = 1.998, \text{ e} \\\\ & P(32, {10}^{15}) = 13.826.382.602.124.302. \\\\
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\end{align}$$
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Encontre $P(64, {10}^{16})$.
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@ -14,15 +14,18 @@ Por exemplo, 2718281828 é um superinteiro de 18828, enquanto 314159 não é um
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Considere $p(n)$ como o número primo $n$ e $c(n)$ como o $n$º número composto. Por exemplo, $p(1) = 2$, $p(10) = 29$, $c(1) = 4$ e $c(10) = 18$.
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$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\ & \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
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$$\begin{align} & \\{p(i) : i ≥ 1\\} = \\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \\} \\\\
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& \\{c(i) : i ≥ 1\\} = \\{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, \ldots \\} \end{align}$$
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Considere $P^D$ como a sequência de raízes dos algarismos de $\\{p(i)\\}$ ($C^D$ é definido da mesma forma para $\\{c(i)\\}$):
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$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\ & C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
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$$\begin{align} & P^D = \\{2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, \ldots \\} \\\\
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& C^D = \\{4, 6, 8, 9, 1, 3, 5, 6, 7, 9, \ldots \\} \end{align}$$
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Considere $P_n$ como o número inteiro formado concatenando os primeiros $n$ elementos de $P^D$ ($C_n$ é definido de forma semelhante para $C^D$).
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$$\begin{align} & P_{10} = 2.357.248.152 \\\\ & C_{10} = 4.689.135.679 \end{align}$$
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$$\begin{align} & P_{10} = 2.357.248.152 \\\\
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& C_{10} = 4.689.135.679 \end{align}$$
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Considere $f(n)$ como o menor número inteiro positivo que seja um superinteiro comum de $P_n$ e $C_n$. Por exemplo, $f(10) = 2.357.246.891.352.679$ e $f(100)\bmod 1.000.000.007 = 771.661.825$.
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@ -14,13 +14,15 @@ Considere $SB(n)$ como o maior divisor harmonizado de B de $n$.
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Exemplos:
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$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\ & S_4(2.100) = 12 \\\\ & S_{17}(2.496.144) = 5.712 \end{align}$$
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$$\begin{align} & S_1(10) = 1 \\\\
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& S_4(2.100) = 12 \\\\ & S_{17}(2.496.144) = 5.712 \end{align}$$
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Defina $F(n) = \displaystyle\sum_{B = 1}^n \sum_{r = 0}^n S_B(\displaystyle\binom{n}{r})$. Aqui, $\displaystyle\binom{n}{r}$ denota o coeficiente binomial.
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Exemplos:
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$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\ & F(1.111)\bmod 1.000.000.993 = 706.036.312 \\\\ & F(111.111)\bmod 1.000.000.993 = 22.156.169 \end{align}$$
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$$\begin{align} & F(11) = 3132 \\\\
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& F(1.111)\bmod 1.000.000.993 = 706.036.312 \\\\ & F(111.111)\bmod 1.000.000.993 = 22.156.169 \end{align}$$
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Encontre $F(11.111.111)\bmod 1.000.000.993$.
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@ -16,7 +16,21 @@ Suponha que aquelas com 15 letras ou menos estão listadas em ordem alfabética
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A lista incluiria:
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$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\ & 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\ & 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\ & 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\ & 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\ & 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\ & 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\ & 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\ & 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\ & \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\ & 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\ & \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\ & 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\ & ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 1: \text{a} \\\\
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& 2: \text{aa} \\\\ & 3: \text{aaa} \\\\
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& 4: \text{aaaa} \\\\ & 5: \text{aaaaa} \\\\
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& 6: \text{aaaaaa} \\\\ & 7: \text{aaaaaac} \\\\
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& 8: \text{aaaaaacd} \\\\ & 9: \text{aaaaaacde} \\\\
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& 10: \text{aaaaaacdee} \\\\ & 11: \text{aaaaaacdeee} \\\\
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& 12: \text{aaaaaacdeeee} \\\\ & 13: \text{aaaaaacdeeeee} \\\\
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& 14: \text{aaaaaacdeeeeee} \\\\ & 15: \text{aaaaaacdeeeeeef} \\\\
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& 16: \text{aaaaaacdeeeeeeg} \\\\ & 17: \text{aaaaaacdeeeeeeh} \\\\
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& \ldots \\\\ & 28: \text{aaaaaacdeeeeeey} \\\\
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& 29: \text{aaaaaacdeeeeef} \\\\ & 30: \text{aaaaaacdeeeeefe} \\\\
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& \ldots \\\\ & 115246685191495242: \text{euleoywuttttsss} \\\\
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& 115246685191495243: \text{euler} \\\\ & 115246685191495244: \text{eulera} \\\\
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& ... \\\\ & 525069350231428029: \text{ywuuttttssssrrr} \\\\
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\end{align}$$
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Defina $P(w)$ como a posição da palavra $w$.
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@ -26,7 +40,9 @@ Podemos ver que $P(w)$ e $W(p)$ são inversos: $P(W(p)) = p$ e $W(P(w)) = w$.
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Exemplos:
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$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\ & P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\ & P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & W(10) = \text{ aaaaaacdee} \\\\
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& P(\text{aaaaaacdee}) = 10 \\\\ & W(115246685191495243) = \text{ euler} \\\\
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& P(\text{euler}) = 115246685191495243 \\\\ \end{align}$$
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Encontre $$W(P(\text{legionary}) + P(\text{calorimeters}) - P(\text{annihilate}) + P(\text{orchestrated}) - P(\text{fluttering})).$$
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@ -14,11 +14,15 @@ $$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$
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Talvez 169 seja menos conhecido. Esse número produz a maior cadeia de números que remonta a 169. Acontece que existem apenas três desses laços:
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$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\ &871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} &169 → 363601 → 1454 → 169\\\\
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&871 → 45361 → 871\\\\ &872 → 45362 → 872\\\\
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\end{align}$$
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Não é difícil provar que TODOS os números com que você iniciar ficarão presos em um ciclo. Por exemplo:
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$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\ &78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} &69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601\\ (→ 1454)\\\\
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&78 → 45360 → 871 → 45361\\ (→ 871)\\\\ &540 → 145\\ (→ 145)\\\\
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\end{align}$$
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O número 69 produz uma cadeia de cinco termos sem repetição. A cadeia de maior número sem repetição, iniciando com um número abaixo de um milhão, é de sessenta termos.
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@ -10,7 +10,9 @@ dashedName: problem-81-path-sum-two-ways
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Na matriz de 5 por 5 abaixo, a soma do caminho mínimo do canto superior esquerdo até o canto inferior direito, **movendo-se somente para a direita e para baixo**, é indicado em vermelho e em negrito e é igual a `2427`.
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\\\
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\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & \color{red}{746} & \color{red}{422} & 111\\\\
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537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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Encontre a soma do caminho mínimo, do canto superior esquerdo para o canto inferior direito, movendo-se apenas para a direita e para baixo, na `matrix`, um array bidimensional que representa uma matriz. O tamanho máximo da matriz utilizado nos testes será de 80 por 80.
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-82-path-sum-three-ways
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A soma do caminho mínimo da matriz de 5 por 5 abaixo, iniciando em qualquer célula na coluna da esquerda e terminando em qualquer célula na coluna da direita, e apenas se movendo para cima, para baixo e para a direita, é indicado em vermelho e em negrito. A soma é igual a `994`.
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$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\ 537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} 131 & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
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\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & 150\\\\ 630 & 803 & 746 & 422 & 111\\\\
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537 & 699 & 497 & 121 & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & 37 & 331 \end{pmatrix}$$
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Encontre a soma do caminho mínimo, da coluna da esquerda para a coluna da direita, na `matrix`, um array bidimensional que representa uma matriz. O tamanho máximo da matriz utilizado nos testes será de 80 por 80.
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@ -12,7 +12,9 @@ dashedName: problem-83-path-sum-four-ways
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Na matriz de 5 por 5 abaixo, a soma do caminho mínimo do canto superior esquerdo até o canto inferior direito, movendo-se para a esquerda, para a direita, para cima e para baixo, é indicado em vermelho e em negrito e é igual a `2297`.
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\ \color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\ 537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & \color{red}{234} & \color{red}{103} & \color{red}{18}\\\\
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\color{red}{201} & \color{red}{96} & \color{red}{342} & 965 & \color{red}{150}\\\\ 630 & 803 & 746 & \color{red}{422} & \color{red}{111}\\\\
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537 & 699 & 497 & \color{red}{121} & 956\\\\ 805 & 732 & 524 & \color{red}{37} & \color{red}{331} \end{pmatrix}$$
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Encontre a soma do caminho mínimo, do canto superior esquerdo para o canto inferior direito, movendo-se para a esquerda, para a direita, para cima e para baixo, na `matrix`, um array bidimensional que representa uma matriz. O tamanho máximo da matriz utilizado nos testes será de 80 por 80.
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@ -12,7 +12,8 @@ Uma cadeia de números é criada adicionando continuamente o quadrado dos algari
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Por exemplo:
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$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\ & 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
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$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
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& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
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Portanto, qualquer corrente que chegue a 1 ou 89 ficará presa numa repetição infinita. O que é mais incrível é que TODO número inicial eventualmente chegará a 1 ou 89.
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