--- id: 5900f3cc1000cf542c50fede title: '问题 95:友好的数链' challengeType: 5 forumTopicId: 302212 dashedName: problem-95-amicable-chains --- # --description-- 一个数的真因子是除自身以外的其他因子。 例如,28 的真因子是 1、2、4、7 和 14。 由于这些真因子之和等于 28,我们称 28 为完全数,又称完美数或完备数。 有趣的是,220 的真因子之和为 284,而 284 的真因子之和为 220,形成了一条两个数构成的链。 因此,220 和 284 被称为友好数对。 也许更长的链条鲜为人知。 例如,从 12496 开始,可以形成一条五个数字的数链: $$ 12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 \\,(→ 12496 → \cdots) $$ 由于该链返回其起始点,因此称为友好数链。 找出最长友好数链中的最小数字,要求该链中的每一个数字均不能超过给定的 `limit`。 # --hints-- `amicableChains(300)` 应该返回一个数字。 ```js assert(typeof amicableChains(300) === 'number'); ``` `amicableChains(300)` 应该返回 `220`。 ```js assert.strictEqual(amicableChains(300), 220); ``` `amicableChains(15000)` 应该返回 `220`。 ```js assert.strictEqual(amicableChains(15000), 220); ``` `amicableChains(100000)` 应该返回 `12496`。 ```js assert.strictEqual(amicableChains(100000), 12496); ``` `amicableChains(1000000)` 应该返回 `14316`。 ```js assert.strictEqual(amicableChains(1000000), 14316); ``` # --seed-- ## --seed-contents-- ```js function amicableChains(limit) { return true; } amicableChains(300); ``` # --solutions-- ```js function amicableChains(limit) { function getSmallestMember(chain) { let smallest = chain[0]; for (let i = 1; i < chain.length; i++) { if (smallest > chain[i]) { smallest = chain[i]; } } return smallest; } function getFactorsSums(limit) { const factorsSums = new Array(limit + 1).fill(1); for (let i = 2; i <= limit / 2; i++) { for (let j = 2 * i; j <= limit; j += i) { factorsSums[j] += i; } } return factorsSums; } const factorsSums = getFactorsSums(limit); const checkedNumbers = new Set(); let longestChain = 0; let smallestMember = 0; for (let i = 0; i <= limit; i++) { const curChain = []; let curNumber = i; while (!checkedNumbers.has(curNumber) && factorsSums[curNumber] <= limit) { curNumber = factorsSums[curNumber]; const chainStart = curChain.indexOf(curNumber); if (chainStart === -1) { curChain.push(curNumber); continue; } const chainLength = curChain.length - chainStart; if (chainLength > longestChain) { longestChain = chainLength; smallestMember = getSmallestMember(curChain.slice(chainStart)); } break; } for (let j = 0; j < curChain.length; j++) { checkedNumbers.add(curChain[j]); } } return smallestMember; } ```