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id: 5900f5131000cf542c510025
title: '問題 422: 双曲線上の点列'
challengeType: 5
forumTopicId: 302092
dashedName: problem-422-sequence-of-points-on-a-hyperbola
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# --description--

式 $12x^2 + 7xy - 12y^2 = 625$ で定義される双曲線を $H$ とします。

次に、点 (7, 1) を $X$ と定義します。 $X$ が $H$ 上にあることが分かります。

ここで、$H, \\{P_i : i ≥ 1\\}$ の点列を次のように定義します。

- $P_1 = (13, \frac{61}{4})$
- $P_2 = (\frac{-43}{6}, -4)$
- $i > 2$ のとき、$P_i$ は、線 $P_iP_{i - 1}$ が線 $P_{i - 2}X$ と平行になるような点のうち $P_{i - 1}$ ではない方の、$H$ 上の一意の点である。 $P_i$ を明確に定義できること、および、それらの座標が常に有理数であることを示せる。

<img class="img-responsive center-block" alt="点 $P_1$ から点 $P_6$ までの決め方を示すアニメーション" src="https://cdn.freecodecamp.org/curriculum/project-euler/sequence-of-points-on-a-hyperbola.gif" style="background-color: white; padding: 10px;" />

$P_3 = (\frac{-19}{2}, \frac{-229}{24})$, $P_4 = (\frac{1267}{144}, \frac{-37}{12})$, $P_7 = (\frac{17\\,194\\,218\\,091}{143\\,327\\,232}, \frac{274\\,748\\,766\\,781}{1\\,719\\,926\\,784})$ が与えられます。

$n = {11}^{14}$ のとき、$P_n$ を次の形式で求めなさい: $P_n = (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ が既約分数かつ分母が正の数である場合、回答は $(a + b + c + d)\bmod 1\\,000\\,000\\,007$ となります。

$n = 7$ のとき、回答は $806\\,236\\,837$ です。

# --hints--

`sequenceOfPointsOnHyperbola()` は `92060460` を返す必要があります。

```js
assert.strictEqual(sequenceOfPointsOnHyperbola(), 92060460);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function sequenceOfPointsOnHyperbola() {

  return true;
}

sequenceOfPointsOnHyperbola();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```