--- id: 5900f3f51000cf542c50ff08 title: '問題 137:斐波那契金塊' challengeType: 5 forumTopicId: 301765 dashedName: problem-137-fibonacci-golden-nuggets --- # --description-- 考慮無窮級數 $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$,其中 $F_k$ 是斐波那契數列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ 的第 $k$ 項;即 $F_k = F_{k − 1} + F_{k − 2}, F_1 = 1$,$F_2 = 1$。 在這個問題中,我們關注的是那些使得 $A_{F}(x)$ 爲正整數的 $x$ 的值。 令人驚訝的是: $$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$ 前五個對應的自然數 $x$ 如下。 | $x$ | $A_F(x)$ | | --------------------------- | -------- | | $\sqrt{2} − 1$ | $1$ | | $\frac{1}{2}$ | $2$ | | $\frac{\sqrt{13} − 2}{3}$ | $3$ | | $\frac{\sqrt{89} − 5}{8}$ | $4$ | | $\frac{\sqrt{34} − 3}{5}$ | $5$ | 當 $x$ 是有理數時,我們稱 $A_F(x)$ 是一個金磚,因爲這樣的數字逐漸變得稀少;例如,第 10 個金磚是 74049690。 請求出第 15 個金磚。 # --hints-- `goldenNugget()` 應該返回 `1120149658760`。 ```js assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760); ``` # --seed-- ## --seed-contents-- ```js function goldenNugget() { return true; } goldenNugget(); ``` # --solutions-- ```js // solution required ```