---
id: 5900f3ad1000cf542c50fec0
title: 'Problema 65: convergenti di e'
challengeType: 5
forumTopicId: 302177
dashedName: problem-65-convergents-of-e
---
# --description--
La radice quadrata di 2 può essere scritta come una frazione continuata infinita.
$\\sqrt{2} = 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + ...}}}}$
La frazione continuata infinita può essere scritta, $\\sqrt{2} = \[1; (2)]$ indica che 2 ripete *ad infinitum*. In modo simile, $\\sqrt{23} = \[4; (1, 3, 1, 8)]$. La sequenza di valori parziali di frazioni continuati delle radici quadrate provvede l'approssimazione razionale migliore. Consideriamo le convergenze con $\\sqrt{2}$.
$1 + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}} = \\dfrac{7}{5}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}}} = \\dfrac{17}{12}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}}}} = \\dfrac{41}{29}$
Quindi la sequenza delle prime dieci convergenze per $\\sqrt{2}$ sono:
$1, \\dfrac{3}{2}, \\dfrac{7}{5}, \\dfrac{17}{12}, \\dfrac{41}{29}, \\dfrac{99}{70}, \\dfrac{239}{169}, \\dfrac{577}{408}, \\dfrac{1393}{985}, \\dfrac{3363}{2378}, ...$
La cosa sorprendente è che la più importante costante matematica, $e = \[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ... , 1, 2k, 1, ...]$. I primi dieci termini della sequenza convergente di `e` sono:
$2, 3, \\dfrac{8}{3}, \\dfrac{11}{4}, \\dfrac{19}{7}, \\dfrac{87}{32}, \\dfrac{106}{39}, \\dfrac{193}{71}, \\dfrac{1264}{465}, \\dfrac{1457}{536}, ...$
La somma delle digite del numeratore del 10o convergente è $1 + 4 + 5 + 7 = 17$.
Trova la somma delle cifre nel numeratore per il `n`o convergente della frazione continuata di `e`.
# --hints--
`convergentsOfE(10)` dovrebbe restituire un numero.
```js
assert(typeof convergentsOfE(10) === 'number');
```
`convergentsOfE(10)` dovrebbe restituire `17`.
```js
assert.strictEqual(convergentsOfE(10), 17);
```
`convergentsOfE(30)` dovrebbe restituire `53`.
```js
assert.strictEqual(convergentsOfE(30), 53);
```
`convergentsOfE(50)` dovrebbe restituire `91`.
```js
assert.strictEqual(convergentsOfE(50), 91);
```
`convergentsOfE(70)` dovrebbe restituire `169`.
```js
assert.strictEqual(convergentsOfE(70), 169);
```
`convergentsOfE(100)` dovrebbe restituire `272`.
```js
assert.strictEqual(convergentsOfE(100), 272);
```
# --seed--
## --seed-contents--
```js
function convergentsOfE(n) {
return true;
}
convergentsOfE(10);
```
# --solutions--
```js
function convergentsOfE(n) {
function sumDigits(num) {
let sum = 0n;
while (num > 0) {
sum += num % 10n;
num = num / 10n;
}
return parseInt(sum);
}
// BigInt is needed for high convergents
let convergents = [
[2n, 1n],
[3n, 1n]
];
const multipliers = [1n, 1n, 2n];
for (let i = 2; i < n; i++) {
const [secondLastConvergent, lastConvergent] = convergents;
const [secondLastNumerator, secondLastDenominator] = secondLastConvergent;
const [lastNumerator, lastDenominator] = lastConvergent;
const curMultiplier = multipliers[i % 3];
const numerator = secondLastNumerator + curMultiplier * lastNumerator;
const denominator = secondLastDenominator + curMultiplier * lastDenominator;
convergents = [lastConvergent, [numerator, denominator]]
if (i % 3 === 2) {
multipliers[2] += 2n;
}
}
return sumDigits(convergents[1][0]);
}
```