--- id: 5900f46d1000cf542c50ff7f title: 'Problema 255: Raízes quadradas arredondadas' challengeType: 5 forumTopicId: 301903 dashedName: problem-255-rounded-square-roots --- # --description-- Definimos a raiz quadrada arredondada de um número inteiro positivo $n$ como a raiz quadrada de $n$ arredondada para o número inteiro mais próximo. O procedimento a seguir (essencialmente, o método de Heron adaptado para a aritmética de números inteiros) encontra a raiz arredondada de $n$: Considere $d$ como o número de algarismos do número $n$. Se $d$ for ímpar, defina $x_0 = 2 × {10}^{\frac{d - 1}{2}}$. Se $d$ for par, defina $x_0 = 7 × {10}^{\frac{d - 2}{2}}$. Repita: $$x_{k + 1} = \left\lfloor\frac{x_k + \left\lceil\frac{n}{x_k}\right\rceil}{2}\right\rfloor$$ até $x_{k + 1} = x_k$. Como exemplo, vamos encontrar a raiz quadrada arredondada de $n = 4321$. $n$ tem 4 algarismos, então $x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70$. $$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\\\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$ Como $x_2 = x_1$, paramos aqui. Então, depois de apenas duas iterações, descobrimos que a raiz arredondada de 4321 é 66 (a raiz quadrada real é 65.7343137…). O número de iterações necessárias ao usar este método é surpreendentemente baixo. Por exemplo, podemos encontrar a raiz quadrada arredondada de um inteiro de 5 algarismos ($10.000 ≤ n ≤ 99.999$) com uma média de 3,2102888889 iterações (o valor médio foi arredondado para 10 casas decimais). Usando o procedimento descrito acima, qual é o número médio de iterações necessárias para encontrar a raiz quadrada arredondada de um número de 14 algarismos (${10}^{13} ≤ n < {10}^{14}$)? Dê sua resposta arredondada para 10 casas decimais. **Observação:** os símbolos $⌊x⌋$ e $⌈x⌉$ representam as funções piso e teto, respectivamente. # --hints-- `roundedSquareRoots()` deve retornar `4.447401118`. ```js assert.strictEqual(roundedSquareRoots(), 4.447401118); ``` # --seed-- ## --seed-contents-- ```js function roundedSquareRoots() { return true; } roundedSquareRoots(); ``` # --solutions-- ```js // solution required ```