--- id: 5900f5131000cf542c510025 title: 'Problema 422: Sequência de pontos em uma hipérbole' challengeType: 5 forumTopicId: 302092 dashedName: problem-422-sequence-of-points-on-a-hyperbola --- # --description-- Considere $H$ como a hipérbole definida pela equação $12x^2 + 7xy - 12y^2 = 625$. Em seguida, defina $X$ como o ponto (7, 1). Pode-se ver que $X$ está em $H$. Definiremos uma sequência de pontos em $H, \\{P_i : i ≥ 1\\}$, como: - $P_1 = (13, \frac{61}{4})$. - $P_2 = (\frac{-43}{6}, -4)$. - Para $i > 2$, $P_i$ é o único ponto $H$ que é diferente de $P_{i - 1}$ e tal que a linha $P_iP_{i - 1}$ é paralela à linha $P_{i - 2}X$. Pode-se ver que $P_i$ está corretamente definido e que suas coordenadas são sempre racionais. animação mostrando os pontos de definição de P_1 a P_6 Você é informado de que $P_3 = (\frac{-19}{2}, \frac{-229}{24})$, $P_4 = (\frac{1267}{144}, \frac{-37}{12})$ and $P_7 = (\frac{17.194.218.091}{143.327.232}, \frac{274.748.766.781}{1.719.926.784})$. Encontre $P_n$ para $n = {11}^{14}$ no seguinte formato: se $P_n = (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$, onde as frações estão nos menores termos e os denominadores são positivos, então a resposta é $(a + b + c + d)\bmod 1.000.000.007$. Para $n = 7$, a resposta seria: $806.236.837$. # --hints-- `sequenceOfPointsOnHyperbola()` deve retornar `92060460`. ```js assert.strictEqual(sequenceOfPointsOnHyperbola(), 92060460); ``` # --seed-- ## --seed-contents-- ```js function sequenceOfPointsOnHyperbola() { return true; } sequenceOfPointsOnHyperbola(); ``` # --solutions-- ```js // solution required ```