--- id: 5900f52e1000cf542c510041 title: 'Problema 450: Pontos da rede e hipocicloide' challengeType: 5 forumTopicId: 302123 dashedName: problem-450-hypocycloid-and-lattice-points --- # --description-- Um hipocicloide é a curva desenhada por um ponto em um pequeno círculo girando dentro de um círculo maior. As equações paramétricas de um hipocicloide centrado na origem e começando no ponto mais à direita são dadas por: $$x(t) = (R - r) \cos(t) + r \cos(\frac{R - r}{r}t)$$ $$y(t) = (R - r) \sin(t) - r \sin(\frac{R - r}{r} t)$$ Onde $R$ é o raio do círculo grande e $r$ o raio do círculo pequeno. Considere $C(R, r)$ como o conjunto de pontos distintos com coordenadas em números inteiros do hipocicloide com raio $R$ e $r$ e para o qual há um valor correspondente de $t$, tal que $\sin(t)$ e $\cos(t)$ são números racionais. Considere $S(R, r) = \sum\_{(x,y) \in C(R, r)} |x| + |y|$ como a soma dos valores absolutos das coordenadas $x$ e $y$ dos pontos em $C(R, r)$. Considere $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloor} S(R, r)$ como a soma de $S(R, r)$ para $R$ e $r$ sendo números inteiros positivos, $R\leq N$ e $2r < R$. Você é informado de que: $$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$ **Observação:** (-625, 0) não é um elemento de $C(2500, 1000)$, pois $\sin(t)$ não é um número racional para os valores correspondentes de $t$. $S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$ $T(3) = 10$; $T(10) = 524$; $T(100) = 580.442$; $T({10}^3) = 583.108.600$. Encontre $T({10}^6)$. # --hints-- `hypocycloidAndLatticePoints()` deve retornar `583333163984220900`. ```js assert.strictEqual(hypocycloidAndLatticePoints(), 583333163984220900); ``` # --seed-- ## --seed-contents-- ```js function hypocycloidAndLatticePoints() { return true; } hypocycloidAndLatticePoints(); ``` # --solutions-- ```js // solution required ```