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id: 59880443fb36441083c6c20e
title: Método de Euler
challengeType: 5
forumTopicId: 302258
dashedName: euler-method
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# --description--
O método de Euler aproxima numericamente as soluções de equações diferenciais normais de primeira ordem (ODEs) com um dado valor inicial. É um método explícito para resolver problemas de valor inicial (IVPs), conforme descrito na [neste artigo](https://www.freecodecamp.org/news/eulers-method-explained-with-examples/ "news: Euler's Method Explained with Examples").
O ODE deve ser fornecido da seguinte forma:
- $\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$
com um valor inicial
Para obter uma solução numérica, substituímos a derivada do lado esquerdo por uma aproximação da diferença finita:
- $\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$
então resolva para $y(t+h)$:
- $y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$
que é o mesmo que
- $y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$
A regra de solução iterativa é, então:
- $y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$
onde $h$ é o tamanho da etapa, o parâmetro mais relevante para a precisão da solução. Um tamanho de etapa menor aumenta a precisão, mas também o custo de cálculo. Então, ele tem que ser sempre escolhido com cuidado e de acordo com o problema em questão.
**Exemplo: Lei de resfriamento de Newton**
A lei de resfriamento de Newton descreve como um objeto de temperatura inicial $T(t_0) = T_0$ resfria em um ambiente de temperatura $T_R$:
- $\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$
ou
- $\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$
Ela diz que a taxa de resfriamento $\\frac{dT(t)}{dt}$ do objeto é proporcional à diferença de temperatura atual $\\Delta = (T(t) - T_R)$ com relação ao ambiente ao redor.
A solução analítica, que compararemos à aproximação numérica, é
- $T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$
# --instructions--
Implemente uma rotina do método de Euler e, em seguida, use-a para resolver o exemplo da lei de resfriamento de Newton para três tamanhos de etapa diferentes de:
e compare com a solução analítica.
**Valores iniciais:**
- a temperatura inicial $T_0$ deve ser
100 °C
- a temperatura ambiente $T_R$ deve ser
20 °C
- a constante de resfriamento $k$ será
0.07
- o intervalo de tempo para calcular deve ser de
0 s a 100 s
O primeiro parâmetro para a função é o tempo inicial, o segundo parâmetro é a temperatura inicial, o terceiro parâmetro é o tempo passado e o quarto parâmetro é o tamanho do passo.
# --hints--
`eulersMethod` deve ser uma função.
```js
assert(typeof eulersMethod === 'function');
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` deve retornar um número.
```js
assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 2) === 'number');
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` deve retornar 20.0424631833732.
```js
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732);
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 5)` deve retornar 20.01449963666907.
```js
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907);
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 10)` deve retornar 20.000472392.
```js
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392);
```
# --seed--
## --seed-contents--
```js
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
}
```
# --solutions--
```js
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
let x = x1;
let y = y1;
while ((x < x2 && x1 < x2) || (x > x2 && x1 > x2)) {
y += h * (-0.07 * (y - 20));
x += h;
}
return y;
}
```