---
id: 5900f4ab1000cf542c50ffbd
title: 'Проблема 318: дев''ятки 2011'
challengeType: 5
forumTopicId: 301974
dashedName: problem-318-2011-nines
---

# --description--

Розглянемо дійсне число $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Коли ми обчислимо парні степені $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, ми отримаємо:

$$\begin{align}   & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
  & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\   & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
  & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\   & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
  & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\   & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
  & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$

Схоже, що кількість послідовних дев'яток на початку дробової частини цих ступенів не зменшується. Насправді, можна довести, що дробова частина ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ наближається до 1 для великого значення $n$.

Розглянемо всі дійсні числа виду $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ з цілими числами $p$ та $q$ та $p & lt; q$, так що дробова частина ${(\sqrt{p}+\sqrt{q})}^{2n}$ наближається до 1 для великих значень $n$.

Нехай $C(p, q, n)$ буде кількістю послідовних дев'яток на початку дробової частини ${(\sqrt{p} + \sqrt {q})}^{2n}$.

Нехай $N(p,q)$ буде мінімальною величиною $n$, так що $C(p,q,n) ≥ 2011$.

Знайдіть $\sum N(p,q)$ for $p + q ≤ 2011$.

# --hints--

`twoThousandElevenNines()` повинен повертатися як `709313889`.

```js
assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function twoThousandElevenNines() {

  return true;
}

twoThousandElevenNines();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```