--- id: 5900f5131000cf542c510025 title: 'Задача 422: Послідовність точок на гіперболі' challengeType: 5 forumTopicId: 302092 dashedName: problem-422-sequence-of-points-on-a-hyperbola --- # --description-- Нехай $H$ - це гіпербола, визначена рівнянням $12x^2 + 7xy - 12y^2 = 625$. Визначте $X$ як точку з координатами (7, 1). Можна побачити, що $X$ знаходиться в $H$. Тепер визначимо послідовність точок у $H, \\{P_i : i ≥ 1\\}$, як: - $P_1 = (13, \frac{61}{4})$. - $P_2 = (\frac{-43}{6}, -4)$. - Для $i > 2$, $P_i$ є унікальною точкою в $H$, яка відрізняється від $P_{i - 1}$. Таким чином лінія $P_iP_{i - 1}$ паралельна до лінії $P_{i - 2}X$. Можна показати, що $P_i$ є добре визначеною і її координати завжди раціональні. анімація, що показує точки від P_1 до P_6 Дано, що $P_3 = (\frac{-19}{2}, \frac{-229}{24})$, $P_4 = (\frac{1267}{144}, \frac{-37}{12})$ and $P_7 = (\frac{17\\,194\\,218\\,091}{143\\,327\\,232}, \frac{274\\,748\\,766\\,781}{1\\,719\\,926\\,784})$. Знайдіть $P_n$ для $n = {11}^{14}$ у такому форматі: Якщо $P_n = (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$, де дроби - найнижчі значення, а знаменники додатні, то відповіддю є $(a + b + c + d)\bmod 1\\,000\\,000\\,007$. Для $n = 7$ відповідь була б такою: $806\\,236\\,837$. # --hints-- `sequenceOfPointsOnHyperbola()` повинен повернути `92060460`. ```js assert.strictEqual(sequenceOfPointsOnHyperbola(), 92060460); ``` # --seed-- ## --seed-contents-- ```js function sequenceOfPointsOnHyperbola() { return true; } sequenceOfPointsOnHyperbola(); ``` # --solutions-- ```js // solution required ```