Число Мерсенна - это число в виде 2 ^P -1.

Если P является простым, число Мерсенна может быть простым числом Мерсенна

(если P не является простым, число Мерсенна также не является простым).

При поиске простых чисел Мерсенна выгодно исключить экспоненты путем нахождения небольшого коэффициента перед началом потенциально длительного теста Lucas-Lehmer .

Существуют очень эффективные алгоритмы для определения того, делит ли число 2 ^P -1 (или, что то же самое, если 2 ^P mod (число) = 1).

Некоторые языки уже имеют встроенные реализации этой операции экспонента и мода (называемые modPow или аналогичные).

Ниже описано, как реализовать этот modPow самостоятельно:

Например, давайте вычислим 2 ²³ mod 47.

Преобразуйте экспонента 23 в двоичный код, вы получите 10111. Начиная с квадрата = 1, многократно меняйте его.

Удалите верхний бит экспоненты, и если это 1 умножить квадрат на основание экспоненции (2), тогда вычислите квадрат по модулю 47.

Используйте результат модуляции с последнего шага в качестве начального значения квадрата на следующем шаге:

Удалить необязательный

квадратный верхний бит умножается на 2 mod 47

------------ ------- ------------- ------

1 * 1 = 1 1 0111 1 * 2 = 2 2

2 * 2 = 4 0 111 нет 4

4 * 4 = 16 1 11 16 * 2 = 32 32

32 * 32 = 1024 1 1 1024 * 2 = 2048 27

27 * 27 = 729 1 729 * 2 = 1458 1

Так как 2 ²³ mod 47 = 1, 47 является фактором 2 ^P -1.

(Чтобы увидеть это, вычтите 1 с обеих сторон: 2 ²³ -1 = 0 mod 47.)

Поскольку мы показали, что 47 является фактором, 2 ²³ -1 не является простым.

Дальнейшие свойства чисел Мерсенна позволяют нам еще больше усовершенствовать процесс.

Любой фактор q из 2 ^P -1 должен иметь вид 2kP + 1, k - положительное целое число или ноль. Кроме того, q должно быть 1 или 7 mod 8.

Наконец, любой потенциальный фактор q должен быть простым .

Как и в других алгоритмах пробного деления, алгоритм останавливается, когда 2kP + 1> sqrt (N).

Эти тесты на примитивность работают только на числа Мерсенна, где P является простым. Например, M ₄ = 15 не дает никаких факторов, использующих эти методы, но факторы в 3 и 5, ни один из которых не соответствует 2kP + 1.

Задача:

Используя приведенный выше метод, найдите коэффициент 2 ⁹²⁹ -1 (ака M929)

Задачи, связанные с данной темой: подсчет в факторах простых коэффициентов декомпозиции целочисленного сита примитивности Эратосфена методом пробного деления пробного факторинга числа чисел Мерсенна - целое число X в N простых порядков простых чисел с помощью Trial Division Computers в 1948 году: 2¹²⁷-1

```yml tests: - text: check_mersenne is a function. testString: assert(typeof check_mersenne === 'function'); - text: check_mersenne(3) should return a string. testString: assert(typeof check_mersenne(3) == 'string'); - text: check_mersenne(3) should return "M3 = 2^3-1 is prime". testString: assert.equal(check_mersenne(3),"M3 = 2^3-1 is prime"); - text: check_mersenne(23) should return "M23 = 2^23-1 is composite with factor 47". testString: assert.equal(check_mersenne(23),"M23 = 2^23-1 is composite with factor 47"); - text: check_mersenne(929) should return "M929 = 2^929-1 is composite with factor 13007 testString: assert.equal(check_mersenne(929),"M929 = 2^929-1 is composite with factor 13007"); ```