Considere uma linha infinita de caixas. Algumas das caixas têm uma esfera. Por exemplo, uma configuração inicial de 2 caixas ocupadas consecutivas seguidas por 2 caixas vazias, 2 caixas ocupadas, 1 caixa vazia, e 2 caixas ocupadas pode ser indicada pela sequência (2, 2, 2, 1, 2), onde o número de caixas ocupadas e vazias consecutivas aparece alternadamente.
Um turno consiste em mover cada esfera exatamente uma vez, de acordo com a seguinte regra: transfira a esfera mais à esquerda, que não foi movida para a caixa vazia mais próxima à sua direita.
Depois de um movimento, a sequência (2, 2, 2, 1, 2) torna-se (2, 2, 1, 2, 3) como pode ser visto abaixo. Note-se que começamos a nova sequência a partir da primeira caixa ocupada.
Pode-se mostrar que após um número suficiente de movimentos, o sistema evolui para um estado onde o número consecutivo de caixas ocupadas é invariável. No exemplo abaixo, os números consecutivos de caixas ocupadas evoluem para [1, 2, 3]; chamaremos isso de estado final.
<imgclass="img-responsive center-block"alt="quatro movimentos de caixas ocupadas [2, 2, 2] para o estado final [1, 2, 3]"src="https://cdn.freecodecamp.org/curriculum/project-euler/box-ball-system-2.gif"style="background-color: white; padding: 10px;"/>
Começando da configuração inicial $(t_0, t_1, \ldots, t_{10})$, o estado final se torna [1, 3, 10, 24, 51, 75].
Começando da configuração inicial $(t_0, t_1, \ldots, t_{10.000.000})$, encontre o estado final.
Dê como sua resposta a soma dos quadrados dos elementos do estado final. Por exemplo, se o estado final é [1, 2, 3], então $14 (= 1^2 + 2^2 + 3^2)$ é a sua resposta.
