Um grupo de $p$ pessoas decide se sentar ao redor de uma mesa redonda e jogar um jogo de cartas colecionáveis de bilhetes de loteria. Cada pessoa começa com um bilhete de loteria não raspado atribuído a ela aleatoriamente. Cada bilhete, quando raspado, revela um prêmio que varia de £1 até £$p$, sem que dois bilhetes tenham o mesmo prêmio. O objetivo do jogo é que cada pessoa maximize os ganhos em seus bilhetes ao sair do jogo.
1. O jogador pode raspar seu bilhete e revelar o valor dele para todos na mesa.
2. O jogador pode trocar seu bilhete não raspado pelo bilhete raspado de um jogador anterior e, em seguida, sair do jogo com esse bilhete. O jogador anterior pode, então, raspar seu bilhete recém-adquirido e revelar o valor dele para todos na mesa.
O jogo termina quando todos os bilhetes tenham sido raspados. Todos os jogadores que ainda restarem à mesa têm de sair com os bilhetes que se encontram em suas mãos.
Considere $E(p)$ como representando o número esperado de jogadores restantes na mesa quando o jogo termina em um jogo que consiste em $p$ jogadores (por exemplo, $E(111) = 5,2912$ quando arredondado para 5 algarismos significativos).
Encontre $S_{20}({10}^{14})$ e escreva sua resposta como uma string em notação científica arredondada para 10 algarismos significativos. Use `e` em letra minúscula para separar a mantissa do expoente. Por exemplo, a resposta para $S_3(100)$ seria `5.983679014e5`.
