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5900f52a1000cf542c51003b	Problema 444: A loteria da mesa redonda	5	302116	problem-444-the-roundtable-lottery

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Um grupo de p pessoas decide se sentar ao redor de uma mesa redonda e jogar um jogo de cartas colecionáveis de bilhetes de loteria. Cada pessoa começa com um bilhete de loteria não raspado atribuído a ela aleatoriamente. Cada bilhete, quando raspado, revela um prêmio que varia de £1 até £p, sem que dois bilhetes tenham o mesmo prêmio. O objetivo do jogo é que cada pessoa maximize os ganhos em seus bilhetes ao sair do jogo.

Uma pessoa arbitrária é escolhida para ser o primeiro jogador. Dando a volta na mesa, cada jogador tem apenas uma de duas opções:

1. O jogador pode raspar seu bilhete e revelar o valor dele para todos na mesa.
2. O jogador pode trocar seu bilhete não raspado pelo bilhete raspado de um jogador anterior e, em seguida, sair do jogo com esse bilhete. O jogador anterior pode, então, raspar seu bilhete recém-adquirido e revelar o valor dele para todos na mesa.

O jogo termina quando todos os bilhetes tenham sido raspados. Todos os jogadores que ainda restarem à mesa têm de sair com os bilhetes que se encontram em suas mãos.

Assuma que cada jogador usa a estratégia ideal para maximizar o valor esperado de seus ganhos com os bilhetes.

Considere E(p) como representando o número esperado de jogadores restantes na mesa quando o jogo termina em um jogo que consiste em p jogadores (por exemplo, E(111) = 5,2912 quando arredondado para 5 algarismos significativos).

Considere S_1(N) = \displaystyle\sum_{p = 1}^N E(p).

Considere S_k(N) = \displaystyle\sum_{p = 1}^N S_{k - 1}(p) para k > 1.

Encontre S_{20}({10}^{14}) e escreva sua resposta como uma string em notação científica arredondada para 10 algarismos significativos. Use e em letra minúscula para separar a mantissa do expoente. Por exemplo, a resposta para S_3(100) seria 5.983679014e5.

--hints--

roundtableLottery() deve retornar uma string.

assert(typeof roundtableLottery() === 'string');

roundtableLottery() deve retornar a string 1.200856722e263.

assert.strictEqual(roundtableLottery(), '1.200856722e263');

--seed--

--seed-contents--

function roundtableLottery() {

  return true;
}

roundtableLottery();

--solutions--

// solution required