63 lines
2.3 KiB
Markdown
63 lines
2.3 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
id: 5900f41c1000cf542c50ff2e
|
|||
|
|
title: >-
|
|||
|
|
Завдання 175: Дроби, що включають різні способи, як записати число, виразивши суму степенів 2
|
|||
|
|
challengeType: 5
|
|||
|
|
forumTopicId: 301810
|
|||
|
|
dashedName: >-
|
|||
|
|
problem-175-fractions-involving-the-number-of-different-ways-a-number-can-be-expressed-as-a-sum-of-powers-of-2
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --description--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Нехай $f(0) = 1$ і $f(n)$ — кількість способів записати $n$ як суму квадратів, де жоден з степенів не зустрічається більше двох разів.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Наприклад, $f(10) = 5$, бо існує 5 різних способів для вираження 10:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$10 = 8 + 2 = 8 + 1 + 1 = 4 + 4 + 2 = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 4 + 4 + 1 + 1$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Можна показати, що для кожного дріб $\frac{p}{q}\\; (p>0, q>0)$ існує принаймні одне ціле число $n$, а $\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{p}{q}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Наприклад, найменше $n$, за якого $\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{13}{17}$ є 241. Бінарне розширення 241 складає 11110001.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Зчитування цього бінарного числа від найбільш значущого біта до найменш значущого біта містить 4 одиниці, 3 нулі і 1 одиницю. Назвемо ряд 4,3,1 скороченим бінарним розширенням 241.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Знайдіть скорочене бінарне розширення найменшого $n$ для якого
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{123456789}{987654321}$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Запишіть відповідь як ряд з цілими числами, розділеними комами, без пробілів.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --hints--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`shortenedBinaryExpansionOfNumber()` має повертати рядок.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert(typeof shortenedBinaryExpansionOfNumber() === 'string');
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`shortenedBinaryExpansionOfNumber()` має повертати рядок `1,13717420,8`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(shortenedBinaryExpansionOfNumber(), '1,13717420,8');
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --seed--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## --seed-contents--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
function shortenedBinaryExpansionOfNumber() {
|
|||
|
|
|
|||
|
|
return true;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
shortenedBinaryExpansionOfNumber();
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --solutions--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
// solution required
|
|||
|
|
```
|