56 lines
1.5 KiB
Markdown
56 lines
1.5 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
id: 5900f4c41000cf542c50ffd6
|
|||
|
|
title: 'Задача 343: Дробові послідовності'
|
|||
|
|
challengeType: 5
|
|||
|
|
forumTopicId: 302002
|
|||
|
|
dashedName: problem-343-fractional-sequences
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --description--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для будь-якого додатного цілого числа $k$ скінченна послідовність $a_i$ дробів $\frac{x_i}{y_i}$ визначається таким чином:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- $a_1 = \displaystyle\frac{1}{k}$ та
|
|||
|
|
- $a_i = \displaystyle\frac{(x_{i - 1} + 1)}{(y_{i - 1} - 1)}$, зменшена до найнижчих значень для $i > 1$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Коли $a_i$ досягає цілого числа $n$, послідовність зупиняється. (У випадку, коли $y_i = 1$.)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Визначаємо $f(k) = n$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
До прикладу, для $k = 20$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\frac{1}{20} → \frac{2}{19} → \frac{3}{18} = \frac{1}{6} → \frac{2}{5} → \frac{3}{4} → \frac{4}{3} → \frac{5}{2} → \frac{6}{1} = 6$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Отже $f(20) = 6$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Також $f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 1$ та $\sum f(k^3) = 118\\,937$ for $1 ≤ k ≤ 100$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Знайдіть $\суму f(k^3)$ для $1 ≤ k ≤ 2 × {10}^6$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --hints--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`fractionalSequences()` має вивести `269533451410884200`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
assert.strictEqual(fractionalSequences(), 269533451410884200);
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --seed--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## --seed-contents--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
function fractionalSequences() {
|
|||
|
|
|
|||
|
|
return true;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
fractionalSequences();
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# --solutions--
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
// solution required
|
|||
|
|
```
|