2021-12-10 11:14:24 +05:30
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
id: 5900f4ed1000cf542c50fffe
|
|
|
|
|
|
title: 'Завдання 384: послідовність Рудіна-Шапіро'
|
|
|
|
|
|
challengeType: 5
|
|
|
|
|
|
forumTopicId: 302048
|
|
|
|
|
|
dashedName: problem-384-rudin-shapiro-sequence
|
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --description--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначте послідовність $a(n)$ як кількість прилеглих пар у бінарному розширенні $n$ (можливо, вони перекриватимуть одна одне).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наприклад: $a(5) = a({101}_2) = 0$, $a(6) = a({110}_2) = 1$, $a(7) = a({111}_2) = 2$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначте послідовність $b(n) = {(-1)}^{a(n)}$. Така послідовність має назву "Послідовність Рудіна-Шапіро".
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Також розглянемо суматорну послідовність $b(n)$: $s(n) = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} b(i)$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перші декілька значень цих послідовностей:
|
|
|
|
|
|
|
2022-04-11 19:34:39 +05:30
|
|
|
|
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
|
|
|
|
|
|
a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
|
|
|
|
|
|
s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
|
2021-12-10 11:14:24 +05:30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Послідовність $s(n)$ має особливу властивість, коли усі її елементи позитивні, а кожне позитивне ціле число $k$ виникає рівно $k$ разів.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначте $g(t, c)$, with $1 ≤ c ≤ t$, як індекс у $s(n)$ для якого $t$ виникає у $c$-й раз у $s(n)$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наприклад: $g(3, 3) = 6$, $g(4, 2) = 7$ and $g(54321, 12345) = 1\\,220\\,847\\,710$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай $F(n)$ буде послідовністю Фібоначчі, що визначається наступним:
|
|
|
|
|
|
|
2022-04-11 19:34:39 +05:30
|
|
|
|
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\\\
|
|
|
|
|
|
& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
|
2021-12-10 11:14:24 +05:30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначити $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти $\sum GF(t)$ for$ 2 ≤ t ≤ 45$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --hints--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`rudinShapiroSequence()` має повернути `3354706415856333000`.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js
|
|
|
|
|
|
assert.strictEqual(rudinShapiroSequence(), 3354706415856333000);
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --seed--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## --seed-contents--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js
|
|
|
|
|
|
function rudinShapiroSequence() {
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
return true;
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rudinShapiroSequence();
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# --solutions--
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js
|
|
|
|
|
|
// solution required
|
|
|
|
|
|
```
|
