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id: 5900f4da1000cf542c50ffed
title: 'Problem 366: Stone Game III'
title: '問題 366: 石取りゲーム (3)'
challengeType: 5
forumTopicId: 302027
dashedName: problem-366-stone-game-iii
@ -8,41 +8,41 @@ dashedName: problem-366-stone-game-iii
# --description--
Two players, Anton and Bernhard, are playing the following game.
アントンとベルンハルトという名前の 2 人のプレイヤーが、次のようなゲームをしています。
There is one pile of $n$ stones.
$n$ 個の石を積み上げた山が 1 つあります。
The first player may remove any positive number of stones, but not the whole pile.
先手は、任意の正の整数分の石を取れますが、山全体を取ることはできません。
Thereafter, each player may remove at most twice the number of stones his opponent took on the previous move.
その後、各プレイヤーは、対戦相手が直前に取った数の 2 倍までの数の石を取ります。
The player who removes the last stone wins.
最後の石を取ったプレイヤーが勝者です。
E.g. $n = 5$
例: $n = 5$ とします。
If the first player takes anything more than one stone the next player will be able to take all remaining stones.
先手が 2 個以上の石を取った場合、後手は残りのすべての石を取ることができます。
If the first player takes one stone, leaving four, his opponent will take also one stone, leaving three stones.
先手が石を 1 個取り 4 個残した場合、後手も石を 1 個取ると 3 個残ります。
The first player cannot take all three because he may take at most $2 \times 1 = 2$ stones. So let's say he also takes one stone, leaving 2.
先手は多くとも $2 \times 1 = 2$ 個の石しか取れないので、3 個すべてを取ることはできません。 したがって、また石を 1 個取ると仮定します。残りは 2 個になります。
The second player can take the two remaining stones and wins.
後手は、残っている 2 個の石を取れば勝つことができます。
So 5 is a losing position for the first player.
したがって、石が 5 個ある山は先手にとって敗北ポジション (必ず負ける状況) です。
For some winning positions there is more than one possible move for the first player.
いくつかの勝利ポジションでは、先手が取り得る手は複数あります。
E.g. when $n = 17$ the first player can remove one or four stones.
例: $n = 17$ の場合、先手は 1 個または 4 個の石を取ることができます。
Let $M(n)$ be the maximum number of stones the first player can take from a winning position at his first turn and $M(n) = 0$ for any other position.
先手が最初のターンで勝利ポジションから取れる石の最大数を $M(n)$ とし、他のすべてのポジションでは $M(n) = 0$ とします。
$\sum M(n)$ for $n ≤ 100$ is 728.
$n ≤ 100$ のとき、$\sum M(n)$ = 728 です。
Find $\sum M(n)$ for $n ≤ {10}^{18}$. Give your answer modulo ${10}^8$.
$n ≤ {10}^{18}$ のとき、$\sum M(n)$ を求めなさい。 mod ${10}^8$ で答えること。
# --hints--
`stoneGameThree()` should return `88351299`.
`stoneGameThree()` `88351299` を返す必要があります。
```js
assert.strictEqual(stoneGameThree(), 88351299);