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| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f3f51000cf542c50ff08 | 問題 137: フィボナッチ金塊 | 5 | 301765 | problem-137-fibonacci-golden-nuggets |
--description--
無限多項式級数 A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots について考えます。ここで、F_k はフィボナッチ数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots (すなわち F_k = F_{k − 1} + F_{k − 2}, F_1 = 1, F_2 = 1) の第 k 項です。
この問題では、A_{F}(x) が正の整数となるような x の値に注目します。
驚くべきことに、次の式が成り立ちます。
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\ & = 2 \end{align}$$
最初の 5 つの自然数に対応する x の値を下表に示します。
x |
A_F(x) |
|---|---|
\sqrt{2} − 1 |
1 |
\frac{1}{2} |
2 |
\frac{\sqrt{13} − 2}{3} |
3 |
\frac{\sqrt{89} − 5}{8} |
4 |
\frac{\sqrt{34} − 3}{5} |
5 |
x が有理数である A_F(x) の値は次第にまれになるので、それを「金塊」と呼ぶことにします。例えば、10 番目の金塊は 74049690 です。
15 番目の金塊を求めなさい。
--hints--
goldenNugget() は 1120149658760 を返す必要があります。
assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);
--seed--
--seed-contents--
function goldenNugget() {
return true;
}
goldenNugget();
--solutions--
// solution required