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|---|---|---|---|---|
| 5900f46d1000cf542c50ff7f | 問題 255: 丸め平方根 | 5 | 301903 | problem-255-rounded-square-roots |
--description--
正の整数 n の平方根を最も近い整数に丸めたものを、n の丸め平方根 (rounded-square-root) と定義します。
n の丸め平方根は、次の方法 (基本的に、整数演算に適応させたヘロン法) で求めることができます。
数 n の桁数を d とします。
d が奇数の場合、x_0 = 2 × {10}^{\frac{d - 1}{2}} とします。
d が偶数の場合、x_0 = 7 × {10}^{\frac{d - 2}{2}} とします。
下の式を繰り返します。
x_{k + 1} = \left\lfloor\frac{x_k + \left\lceil\frac{n}{x_k}\right\rceil}{2}\right\rfloor
x_{k + 1} = x_k になったら止めます。
例として、n = 4321 の丸め平方根を求めます。
n は 4 桁あるので、x_0 = 7 × {10}^{\frac{4-2}{2}} = 70 です。
$$x_1 = \left\lfloor\frac{70 + \left\lceil\frac{4321}{70}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66 \\ x_2 = \left\lfloor\frac{66 + \left\lceil\frac{4321}{66}\right\rceil}{2}\right\rfloor = 66$$
x_2 = x_1 なので、ここで止めます。 したがって、ほんの 2 回繰り返すだけで、4321 の丸め平方根が 66 であることが分かりました (実際の平方根は65.7343137…)。
この方法であれば、驚くほど少ない繰り返しで済みます。 例えば、5 桁の整数 (10\\,000 ≤ n ≤ 99\\,999) の丸め平方根を求めるために必要な繰り返しは平均 3.2102888889 回です (平均値は小数第 10 位に四捨五入)。
14 桁の数 ({10}^{13} ≤ n < {10}^{14}) の丸め平方根を得るには、上の方法を平均で何回繰り返す必要がありますか。 回答は、四捨五入して小数第 10 位まで示すこと。
注: 記号 ⌊x⌋ は床井関数、⌈x⌉ は天関数を表します。
--hints--
roundedSquareRoots() は 4.447401118 を返す必要があります。
assert.strictEqual(roundedSquareRoots(), 4.447401118);
--seed--
--seed-contents--
function roundedSquareRoots() {
return true;
}
roundedSquareRoots();
--solutions--
// solution required