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| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f4a81000cf542c50ffbb | 問題 316: 10 進展開の数字 | 5 | 301972 | problem-316-numbers-in-decimal-expansions |
--description--
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} から等しい確率で選択された不規則な数字からなる無限数列を、p = p_1 p_2 p_3 \ldots とします。
p は実数 0.p_1 p_2 p_3 \ldots に対応するということが分かります。
また、区間 [0,1) から無作為に実数を選ぶことは、{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} から等しい確率で選択した不規則な数字からなる無限数列を選ぶことと同等であることも分かります。
d 個の小数桁を持つ任意の正の整数 n に対して、p_k, p_{k + 1}, \dots p_{k + d - 1} が数字の順序も含めて n の小数桁と同じになるような、最小の添え字を k とします。
また、k の期待値を g(n) とします。g(n) が常に有限であること、そして興味深いことに常に整数であることを証明できます。
例えば、n = 535 の場合、
p = 31415926\mathbf{535}897\ldots のとき、k = 9 です。
p = 35528714365004956000049084876408468\mathbf{535}4\ldots のとき、k = 36 です。
同様に、g(535) = 1008 であることが分かります。
\displaystyle\sum_{n = 2}^{999} g\left(\left\lfloor\frac{{10}^6}{n}\right\rfloor\right) = 27280188 が与えられるとき、\displaystyle\sum_{n = 2}^{999\\,999} g\left(\left\lfloor\frac{{10}^{16}}{n}\right\rfloor\right) を求めなさい。
注: \lfloor x\rfloor は床関数を表します。
--hints--
numbersInDecimalExpansion() は 542934735751917760 を返す必要があります。
assert.strictEqual(numbersInDecimalExpansion(), 542934735751917760);
--seed--
--seed-contents--
function numbersInDecimalExpansion() {
return true;
}
numbersInDecimalExpansion();
--solutions--
// solution required