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|---|---|---|---|---|
| 5900f4ab1000cf542c50ffbd | 問題 318: 2011 個の 9 | 5 | 301974 | problem-318-2011-nines |
--description--
実数 \sqrt{2} + \sqrt{3} について考えます。
\sqrt{2} + \sqrt{3} の偶数乗を計算すると、次のようになります。
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\ \end{align}$$
これらの累乗の分数部を見ると、先頭で連続している 9 の個数が非減少であるように見えます。 実際に、n が大きいと {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n} の小数部が 1 に近付くということを証明できます。
正の整数 p と q (p < q) があるとき、n が大きいと {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n} の小数部 が 1 に近付くようなすべての実数 \sqrt{p} + \sqrt{q} について考えます。
{(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n} の小数部の先頭で連続している 9 の個数を C(p,q,n) とします。
C(p,q,n) ≥ 2011 を満たす n の最小値を N(p,q) とします。
p + q ≤ 2011 のとき、\sum N(p,q) を求めなさい。
--hints--
twoThousandElevenNines() は 709313889 を返す必要があります。
assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
--seed--
--seed-contents--
function twoThousandElevenNines() {
return true;
}
twoThousandElevenNines();
--solutions--
// solution required