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id: 5900f4051000cf542c50ff18
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title: 'Problema 153: Indagare sugli interi Gaussiani'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301784
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dashedName: problem-153-investigating-gaussian-integers
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# --description--
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Come tutti sappiamo l'equazione $x^2 = -1$ non ha soluzioni per $x$ reale.
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Se però introduciamo il numero immaginario $i$ questa equazione ha due soluzioni: $x = i$ e $x = -i$.
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Se andiamo oltre l'equazione ${(x - 3)}^2 = -4$ ha due soluzioni complesse: $x = 3 + 2i$ e $x = 3 - 2i$, che sono chiamati l'uno il complesso coniugato dell'altro.
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I numeri del tipo $a + bi$ sono chiamati numeri complessi.
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In generale $a + bi$ e $a − bi$ sono l'uno il complesso coniugato dell'altro. Un intero Gaussiano è un numero complesso $a + bi$ tale che sia $a$ che $b$ siano interi.
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Gli interi regolari sono anche interi gaussiani (con $b = 0$).
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Per distinguerli dagli interi gaussiani con $b ≠ 0$ chiamiamo tali interi "interi razionali"
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Un intero gaussiano è chiamato divisore di un intero razionale $n$ se il risultato è anche un intero gaussiano.
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Se, ad esempio, dividiamo 5 per $1 + 2i$ possiamo semplificare nel modo seguente:
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Moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato di $1 + 2i$: $1 − 2i$.
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Il risultato è:
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$$\frac{5}{1 + 2i} = \frac{5}{1 + 2i} \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - {(2i)}^2} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \frac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i$$
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Così $1 + 2i$ è un divisore di 5.
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Si noti che $1 + i$ non è un divisore di 5 perché:
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$$\frac{5}{1 + i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i$$
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Nota anche che se l'intero gaussiano ($a + bi$) è un divisore di un intero razionale $n$, allora il suo complesso coniugato ($a − bi$) è anch'esso un divisore di $n$. Infatti, 5 ha sei divisori la cui parte reale è positiva: {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}.
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La seguente è una tabella di tutti i divisori per i primi cinque interi razionali positivi:
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| n | Divisori interi gaussiani con parte reale positiva | Somma s(n) di questi divisori |
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| - | -------------------------------------------------- | ----------------------------- |
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| 1 | 1 | 1 |
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| 2 | 1, 1 + i, 1 - i, 2 | 5 |
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| 3 | 1, 3 | 4 |
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| 4 | 1, 1 + i, 1 - i, 2, 2 + 2i, 2 - 2i, 4 | 13 |
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| 5 | 1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5 | 12 |
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Per i divisori con parti reali positive, poi, abbiamo: $\displaystyle\sum_{n=1}^5 s(n) = 35$.
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Per $1 ≤ n ≤ {10}^5$, $\displaystyle\sum_{n = 1}^{{10}^5} s(n) = 17924657155$.
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Cos'è $\displaystyle\sum_{n=1}^{{10}^8} s(n)$?
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# --hints--
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`sumGaussianIntegers()` dovrebbe restituire `17971254122360636`.
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assert.strictEqual(sumGaussianIntegers(), 17971254122360636);
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function sumGaussianIntegers() {
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return true;
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}
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sumGaussianIntegers();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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