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|---|---|---|---|---|
| 5900f4ed1000cf542c50fffe | Problema 384: Sequenza di Rudin-Shapiro | 5 | 302048 | problem-384-rudin-shapiro-sequence |
--description--
Definisci la sequenza a(n) come il numero di coppie adiacenti di uno nell'espansione binaria di n (possibilmente sovrapposte).
Ad esempio: a(5) = a({101}_2) = 0, a(6) = a({110}_2) = 1, a(7) = a({111}_2) = 2
Definire la sequenza b(n) = {(-1)}^{a(n)}. Questa sequenza è chiamata sequenza di Rudin-Shapiro.
Considera anche la sequenza sommatoria di b(n): s(n) = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} b(i).
La prima coppia di valori di queste sequenze sono:
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
La sequenza s(n) ha la notevole proprietà che tutti gli elementi sono positivi e ogni numero intero positivo k si verifica esattamente k volte.
Definisci g(t, c), con 1 ≤ c ≤ t, come l'indice in s(n) per il quale t si verifica per la $c$° volta in s(n).
Ad esempio: g(3, 3) = 6, g(4, 2) = 7 and g(54321, 12345) = 1\\,220\\,847\\,710.
Sia F(n) la sequenza di fibonacci definita da:
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ and} \\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ for } n > 1. \end{align}$$
Definisci GF(t) = g(F(t), F(t - 1)).
Trova \sum GF(t) for$ 2 ≤ t ≤ 45$.
--hints--
rudinShapiroSequence() dovrebbe restituire 3354706415856333000.
assert.strictEqual(rudinShapiroSequence(), 3354706415856333000);
--seed--
--seed-contents--
function rudinShapiroSequence() {
return true;
}
rudinShapiroSequence();
--solutions--
// solution required