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id: 5900f3a51000cf542c50feb8
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title: 'Problema 57: Radici quadrate convergenti'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302168
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dashedName: problem-57-square-root-convergents
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# --description--
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È possibile dimostrare che la radice quadrata di due può essere espressa come una frazione infinita continua.
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<div style='text-align: center;'>$\sqrt 2 =1+ \frac 1 {2+ \frac 1 {2 +\frac 1 {2+ \dots}}}$</div>
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Espandendola per le prime quattro iterazioni, otteniamo:
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$1 + \\frac 1 2 = \\frac 32 = 1.5$
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$1 + \\frac 1 {2 + \\frac 1 2} = \\frac 7 5 = 1.4$
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$1 + \\frac 1 {2 + \\frac 1 {2+\\frac 1 2}} = \\frac {17}{12} = 1.41666 \\dots$
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$1 + \\frac 1 {2 + \\frac 1 {2+\\frac 1 {2+\\frac 1 2}}} = \\frac {41}{29} = 1.41379 \\dots$
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Le prossime tre espansioni sono $\\frac {99}{70}$, $\\frac {239}{169}$, e $\\frac {577}{408}$, ma l'ottava espansione, $\\frac {1393}{985}$, è il primo esempio in cui il numero di cifre nel numeratore supera il numero di cifre nel denominatore.
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Nelle prime espansioni `n`, quante frazioni contengono un numeratore con più cifre di denominatore?
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# --hints--
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`squareRootConvergents(10)` dovrebbe restituire un numero.
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```js
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assert(typeof squareRootConvergents(10) === 'number');
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```
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`squareRootConvergents(10)` dovrebbe restituire 1.
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```js
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assert.strictEqual(squareRootConvergents(10), 1);
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```
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`squareRootConvergents(100)` dovrebbe restituire 15.
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```js
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assert.strictEqual(squareRootConvergents(100), 15);
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```
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`squareRootConvergents(1000)` dovrebbe restituire 153.
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```js
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assert.strictEqual(squareRootConvergents(1000), 153);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function squareRootConvergents(n) {
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return true;
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}
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squareRootConvergents(1000);
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```
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# --solutions--
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```js
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function squareRootConvergents(n) {
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function countDigits(number) {
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let counter = 0;
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while (number > 0) {
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counter++;
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number = number / 10n;
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}
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return counter;
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}
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// Use BigInt as integer won't handle all cases
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let numerator = 3n;
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let denominator = 2n;
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let moreDigitsInNumerator = 0;
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for (let i = 2; i <= n; i++) {
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[numerator, denominator] = [
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numerator + 2n * denominator,
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denominator + numerator
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];
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if (countDigits(numerator) > countDigits(denominator)) {
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moreDigitsInNumerator++;
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}
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}
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return moreDigitsInNumerator;
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}
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```
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