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id: 5e6decd8ec8d7db960950d1c
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title: Scomposizione LU
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challengeType: 5
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forumTopicId: 385280
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dashedName: lu-decomposition
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# --description--
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Ogni matrice quadrata $A$ può essere scomposta in un prodotto di una matrice triangolare inferiore $L$ e una matrice triangolare superiore $U$, come descritto in [decomposizione LU](https://it.wikipedia.org/wiki/Decomposizione_LU).
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$A = LU$
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È una forma modificata di eliminazione gaussiana.
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Mentre la decomposizione [Cholesky](http://rosettacode.org/wiki/Cholesky decomposition) funziona solo per matrici definite simmetriche e positive, la decomposizione LU più generale funziona per qualsiasi matrice quadrata.
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Ci sono diversi algoritmi per calcolare $L$ e $U$.
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Per ricavare l'algoritmo *di Crout* per un esempio 3x3, dobbiamo risolvere il seguente sistema:
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\\begin{align}A = \\begin{pmatrix} a\_{11} & a\_{12} & a\_{13}\\\\ a\_{21} & a\_{22} & a\_{23}\\\\ a\_{31} & a\_{32} & a\_{33}\\\\ \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix} l\_{11} & 0 & 0 \\\\ l\_{21} & l\_{22} & 0 \\\\ l\_{31} & l\_{32} & l\_{33}\\\\ \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} u\_{11} & u\_{12} & u\_{13} \\\\ 0 & u\_{22} & u\_{23} \\\\ 0 & 0 & u\_{33} \\end{pmatrix} = LU\\end{align}
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Ora dovremmo risolvere 9 equazioni con 12 incognite. Per rendere il sistema unicamente risolvibile, di solito gli elementi diagonali di $L$ sono impostati a 1
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$l\_{11}=1$
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$l\_{22}=1$
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$l\_{33}=1$
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così otteniamo un sistema risolvibile con 9 equazioni e 9 incognite.
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\\begin{align}A = \\begin{pmatrix} a\_{11} & a\_{12} & a\_{13}\\\\ a\_{21} & a\_{22} & a\_{23}\\\\ a\_{31} & a\_{32} & a\_{33}\\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ l\_{21} & 1 & 0 \\\\ l\_{31} & l\_{32} & 1\\\\ \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} u\_{11} & u\_{12} & u\_{13} \\\\ 0 & u\_{22} & u\_{23} \\\\ 0 & 0 & u\_{33} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} u\_{11} & u\_{12} & u\_{13} \\\\ u\_{11}l\_{21} & u\_{12}l\_{21}+u\_{22} & u\_{13}l\_{21}+u\_{23} \\\\ u\_{11}l\_{31} & u\_{12}l\_{31}+u\_{22}l\_{32} & u\_{13}l\_{31} + u\_{23}l\_{32}+u\_{33} \\end{pmatrix} = LU\\end{align}
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Risolvendo gli altri $l$ e $u$, otteniamo le seguenti equazioni:
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$u\_{11}=a\_{11}$
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$u\_{12}=a\_{12}$
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$u\_{13}=a\_{13}$
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$u\_{22}=a\_{22} - u\_{12}l\_{21}$
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$u\_{23}=a\_{23} - u\_{13}l\_{21}$
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$u\_{33}=a\_{33} - (u\_{13}l\_{31} + u\_{23}l\_{32})$
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e per $l$:
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$l\_{21}=\\frac{1}{u\_{11}} a\_{21}$
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$l\_{31}=\\frac{1}{u\_{11}} a\_{31}$
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$l\_{32}=\\frac{1}{u\_{22}} (a\_{32} - u\_{12}l\_{31})$
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Vediamo che esiste un modello di calcolo, che può essere espresso come le seguenti formule, prima per $U$
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$u\_{ij} = a\_{ij} - \\sum\_{k=1}^{i-1} u\_{kj}l\_{ik}$
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e poi per $L$
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$l\_{ij} = \\frac{1}{u\_{jj}} (a\_{ij} - \\sum\_{k=1}^{j-1} u\_{kj}l\_{ik})$
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Vediamo nella seconda formula che per ottenere $l\_{ij}$ sotto la diagonale, dobbiamo dividere per l'elemento diagonale (pivot) $u\_{jj}$, così abbiamo problemi quando $u\_{jj}$ è 0 o molto piccolo, il che porta all'instabilità numerica.
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La soluzione a questo problema è il *pivoting* $A$, il che significa riordinare le righe di $A$, prima della scomposizione di $LU$, in un modo che l’elemento più grande di ogni colonna entri nella diagonale di $A$. Riorganizzare le righe significa moltiplicare $A$ per una matrice di permutazione $P$:
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$PA \\Rightarrow A'$
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Esempio:
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\\begin{align} \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ 2 & 3 \\end{pmatrix} \\Rightarrow \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \\end{pmatrix} \\end{align}
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L'algoritmo di scomposizione viene quindi applicato sulla matrice riarrangiata in modo che
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$PA = LU$
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# --instructions--
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Il compito è quello di implementare una routine che richiederà una matrice quadrata nxn $A$ e restituirà una matrice triangolare inferiore $L$, una matrice triangolare superiore $U$ e una matrice di permutazione $P$, in modo che l'equazione di cui sopra sia soddisfatta. Il valore restituito dovrebbe essere nella forma `[L, U, P]`.
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# --hints--
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`luDecomposition` dovrebbe essere una funzione.
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```js
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assert(typeof luDecomposition == 'function');
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```
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`luDecomposition([[1, 3, 5], [2, 4, 7], [1, 1, 0]])` dovrebbe restituire un array.
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```js
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assert(
|
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Array.isArray(
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luDecomposition([
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[1, 3, 5],
|
||
[2, 4, 7],
|
||
[1, 1, 0]
|
||
])
|
||
)
|
||
);
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```
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||
`luDecomposition([[1, 3, 5], [2, 4, 7], [1, 1, 0]])` dovrebbe restituire `[[[1, 0, 0], [0.5, 1, 0], [0.5, -1, 1]], [[2, 4, 7], [0, 1, 1.5], [0, 0, -2]], [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]]`.
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```js
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assert.deepEqual(
|
||
luDecomposition([
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[1, 3, 5],
|
||
[2, 4, 7],
|
||
[1, 1, 0]
|
||
]),
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||
[
|
||
[
|
||
[1, 0, 0],
|
||
[0.5, 1, 0],
|
||
[0.5, -1, 1]
|
||
],
|
||
[
|
||
[2, 4, 7],
|
||
[0, 1, 1.5],
|
||
[0, 0, -2]
|
||
],
|
||
[
|
||
[0, 1, 0],
|
||
[1, 0, 0],
|
||
[0, 0, 1]
|
||
]
|
||
]
|
||
);
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||
```
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||
`luDecomposition([[11, 9, 24, 2], [1, 5, 2, 6], [3, 17, 18, 1], [2, 5, 7, 1]])` dovrebbe restituire `[[1, 0, 0, 0], [0. 7272727272727, 1, 0, 0], [0.0909090909091, 0.2875, 1, 0], [0.1818181818181818182, 0.231249999999996, 0. 035971223021580693, 1]], [[11, 9, 24, 2], [0, 14.5454545454545447, 11.45454545454545455, 0.45454545454546], [0, 0, -3. 74999999996, 5.6875], [0, 0, 0, 0.510791366906476]], [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]`.
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||
```js
|
||
assert.deepEqual(
|
||
luDecomposition([
|
||
[11, 9, 24, 2],
|
||
[1, 5, 2, 6],
|
||
[3, 17, 18, 1],
|
||
[2, 5, 7, 1]
|
||
]),
|
||
[
|
||
[
|
||
[1, 0, 0, 0],
|
||
[0.2727272727272727, 1, 0, 0],
|
||
[0.09090909090909091, 0.2875, 1, 0],
|
||
[0.18181818181818182, 0.23124999999999996, 0.0035971223021580693, 1]
|
||
],
|
||
[
|
||
[11, 9, 24, 2],
|
||
[0, 14.545454545454547, 11.454545454545455, 0.4545454545454546],
|
||
[0, 0, -3.4749999999999996, 5.6875],
|
||
[0, 0, 0, 0.510791366906476]
|
||
],
|
||
[
|
||
[1, 0, 0, 0],
|
||
[0, 0, 1, 0],
|
||
[0, 1, 0, 0],
|
||
[0, 0, 0, 1]
|
||
]
|
||
]
|
||
);
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||
```
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||
`luDecomposition([[1, 1, 1], [4, 3, -1], [3, 5, 3]])` dovrebbe restituire `[[[1, 0, 0], [0.75, 1, 0], [0.25, 0.09090909090909091, 1]], [[4, 3, -1], [0, 2.75, 3.75], [0, 0, 0.9090909090909091]], [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]]]`.
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||
|
||
```js
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||
assert.deepEqual(
|
||
luDecomposition([
|
||
[1, 1, 1],
|
||
[4, 3, -1],
|
||
[3, 5, 3]
|
||
]),
|
||
[
|
||
[
|
||
[1, 0, 0],
|
||
[0.75, 1, 0],
|
||
[0.25, 0.09090909090909091, 1]
|
||
],
|
||
[
|
||
[4, 3, -1],
|
||
[0, 2.75, 3.75],
|
||
[0, 0, 0.9090909090909091]
|
||
],
|
||
[
|
||
[0, 1, 0],
|
||
[0, 0, 1],
|
||
[1, 0, 0]
|
||
]
|
||
]
|
||
);
|
||
```
|
||
|
||
`luDecomposition([[1, -2, 3], [2, -5, 12], [0, 2, -10]])` dovrebbe restituire `[[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0.5, 0.25, 1]], [[2, -5, 12], [0, 2, -10], [0, 0, -0.5]], [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]]]`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.deepEqual(
|
||
luDecomposition([
|
||
[1, -2, 3],
|
||
[2, -5, 12],
|
||
[0, 2, -10]
|
||
]),
|
||
[
|
||
[
|
||
[1, 0, 0],
|
||
[0, 1, 0],
|
||
[0.5, 0.25, 1]
|
||
],
|
||
[
|
||
[2, -5, 12],
|
||
[0, 2, -10],
|
||
[0, 0, -0.5]
|
||
],
|
||
[
|
||
[0, 1, 0],
|
||
[0, 0, 1],
|
||
[1, 0, 0]
|
||
]
|
||
]
|
||
);
|
||
```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function luDecomposition(A) {
|
||
|
||
}
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||
```
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# --solutions--
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```js
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function luDecomposition(A) {
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function dotProduct(a, b) {
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var sum = 0;
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for (var i = 0; i < a.length; i++)
|
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sum += a[i] * b[i]
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return sum;
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}
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function matrixMul(A, B) {
|
||
var result = new Array(A.length);
|
||
for (var i = 0; i < A.length; i++)
|
||
result[i] = new Array(B[0].length)
|
||
var aux = new Array(B.length);
|
||
|
||
for (var j = 0; j < B[0].length; j++) {
|
||
|
||
for (var k = 0; k < B.length; k++)
|
||
aux[k] = B[k][j];
|
||
|
||
for (var i = 0; i < A.length; i++)
|
||
result[i][j] = dotProduct(A[i], aux);
|
||
}
|
||
return result;
|
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}
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||
function pivotize(m) {
|
||
var n = m.length;
|
||
var id = new Array(n);
|
||
for (var i = 0; i < n; i++) {
|
||
id[i] = new Array(n);
|
||
id[i].fill(0)
|
||
id[i][i] = 1;
|
||
}
|
||
|
||
for (var i = 0; i < n; i++) {
|
||
var maxm = m[i][i];
|
||
var row = i;
|
||
for (var j = i; j < n; j++)
|
||
if (m[j][i] > maxm) {
|
||
maxm = m[j][i];
|
||
row = j;
|
||
}
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||
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||
if (i != row) {
|
||
var tmp = id[i];
|
||
id[i] = id[row];
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||
id[row] = tmp;
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}
|
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}
|
||
return id;
|
||
}
|
||
|
||
var n = A.length;
|
||
var L = new Array(n);
|
||
for (var i = 0; i < n; i++) { L[i] = new Array(n); L[i].fill(0) }
|
||
var U = new Array(n);
|
||
for (var i = 0; i < n; i++) { U[i] = new Array(n); U[i].fill(0) }
|
||
var P = pivotize(A);
|
||
var A2 = matrixMul(P, A);
|
||
|
||
for (var j = 0; j < n; j++) {
|
||
L[j][j] = 1;
|
||
for (var i = 0; i < j + 1; i++) {
|
||
var s1 = 0;
|
||
for (var k = 0; k < i; k++)
|
||
s1 += U[k][j] * L[i][k];
|
||
U[i][j] = A2[i][j] - s1;
|
||
}
|
||
for (var i = j; i < n; i++) {
|
||
var s2 = 0;
|
||
for (var k = 0; k < j; k++)
|
||
s2 += U[k][j] * L[i][k];
|
||
L[i][j] = (A2[i][j] - s2) / U[j][j];
|
||
}
|
||
}
|
||
return [L, U, P];
|
||
}
|
||
```
|