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title: 'Problema 101: Polinômio ideal'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301725
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dashedName: problem-101-optimum-polynomial
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# --description--
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Se nos forem apresentados os primeiros termos k de uma sequência, é impossível dizer com certeza o valor do termo seguinte, uma vez que existem infinitas funções polinomiais que podem modelar a sequência.
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Como exemplo, vamos considerar a sequencia de números cúbicos. Isso é definido pela função de geração, $u_n = n^3: 1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots$
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Suponhamos que só nos foram dados os dois primeiros termos desta sequência. Trabalhando com o princípio de que "simples é melhor", devemos assumir uma relação linear e prever que o próximo termo será 15 (diferença comum 7). Mesmo que nos fossem apresentados os três primeiros termos, pelo mesmo princípio de simplicidade, uma relação quadrática deveria ser assumida.
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Definiremos $OP(k, n)$ como o termo $n^{th}$ da função de geração polinomial ótima para os primeiros termos k de uma sequência. Deve ficar claro que $OP(k, n)$ gerará com precisão os termos da sequência para $n ≤ k$ e, potencialmente, o primeiro termo incorreto (FIT) será $OP(k, k+1)$; Nesse caso, devemos chamá-lo de OP (BOP) ruim.
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Como base, se nos fosse dado apenas o primeiro termo de sequência, seria mais sensato assumir constância, ou seja, por $n ≥ 2, OP(1, n) = u_1$.
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Assim, obtemos as seguintes OPs para a sequência cúbica:
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$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
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OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
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OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
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Claramente não existem BOPs para k ≥ 4. Considerando a soma dos FITs gerados pelos BOPs (indicados em $\color{red}{red}$ acima), obtemos 1 + 15 + 58 = 74. Considere a seguinte função de geração de polinômios de décimo grau:
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$$u_n = 1 − n + n^2 − n^3 + n^4 − n^5 + n^6 − n^7 + n^8 − n^9 + n^{10}$$
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Encontre a soma dos FITs para os BOPs.
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# --hints--
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`optimumPolynomial()` deve retornar `37076114526`.
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```js
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assert.strictEqual(optimumPolynomial(), 37076114526);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function optimumPolynomial() {
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return true;
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}
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optimumPolynomial();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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