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id: 5900f3f51000cf542c50ff08
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title: 'Problema 137: Pepitas de ouro de Fibonacci'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301765
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dashedName: problem-137-fibonacci-golden-nuggets
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# --description--
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Considere a série polinomial infinita $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$, onde $F_k$ é o $k$º termo na sequência de Fibonacci: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$; ou seja, $F_k = F_{k − 1} + F_{k − 2}, F_1 = 1$ e $F_2 = 1$.
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Para este problema, estaremos interessados em valores de $x$ para os quais $A_{F}(x)$ é um número inteiro positivo.
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Surpreendentemente,
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$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
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& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
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Os valores correspondentes de $x$ para os primeiros cinco números naturais são mostrados abaixo.
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| $x$ | $A_F(x)$ |
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| --------------------------- | -------- |
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| $\sqrt{2} − 1$ | $1$ |
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| $\frac{1}{2}$ | $2$ |
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| $\frac{\sqrt{13} − 2}{3}$ | $3$ |
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| $\frac{\sqrt{89} − 5}{8}$ | $4$ |
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| $\frac{\sqrt{34} − 3}{5}$ | $5$ |
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Vamos chamar $A_F(x)$ de pepita de ouro se $x$ for racional, porque eles se tornam cada vez mais raros (por exemplo, a 10ª pepita de ouro é 74049690).
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Encontre a 15ª pepita dourada.
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# --hints--
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`goldenNugget()` deve retornar `1120149658760`.
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```js
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assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function goldenNugget() {
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return true;
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}
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goldenNugget();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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