3.2 KiB
id, title, challengeType, forumTopicId, dashedName
| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f4051000cf542c50ff18 | Problema 153: Investigação de números inteiros gaussianos | 5 | 301784 | problem-153-investigating-gaussian-integers |
--description--
Como todos sabemos, a equação x^2 = -1 não tem soluções para x real.
Se, no entanto, introduzirmos o número imaginário i, esta equação tem duas soluções: x = i e x = -i.
Se formos mais longe, a equação {(x - 3)}^2 = -4 tem duas soluções complexas: x = 3 + 2i e x = 3 - 2i, que são chamados de complexos conjugados um do outro.
Os números na forma a + bi são chamados de números complexos.
Em geral, a + bi e a - bi são os conjugados complexos um do outro. Um número inteiro gaussiano é um número complexo a + bi, tal que a e b são números inteiros.
Os números inteiros regulares também são números inteiros gaussianos (com b = 0).
Para distingui-los de números inteiros gaussianos com b ≠ 0 chamamos esses inteiros de "inteiros racionais".
Um número inteiro gaussiano é chamado de divisor de um número inteiro racional n se o resultado também for um número inteiro gaussiano.
Se, por exemplo, dividirmos 5 por 1 + 2i, podemos simplificar da seguinte maneira:
Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado complexo de 1 + 2i, ou seja, 1 - 2i.
O resultado é:
\frac{5}{1 + 2i} = \frac{5}{1 + 2i} \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - {(2i)}^2} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \frac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i
Assim sendo, 1 + 2i é um divisor de 5.
Observe que 1 + i não é um divisor de 5, pois:
\frac{5}{1 + i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i
Observe também que se o número inteiro gaussiano (a + bi) for um divisor de um número inteiro racional n, então seu conjugado complexo (a - bi) também será um divisor de n. De fato, 5 tem seis divisores, sendo que a parte real é positiva: {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}.
A seguir, vemos uma tabela de todos os divisores para os primeiros cinco números inteiros racionais positivos:
| n | Números inteiros gaussianos divisores com parte real positiva | Soma s(n) destes divisores |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1, 1 + i, 1 - i, 2 | 5 |
| 3 | 1, 3 | 4 |
| 4 | 1, 1 + i, 1 - i, 2, 2 + 2i, 2 - 2i, 4 | 13 |
| 5 | 1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5 | 12 |
Para divisores com partes reais positivas, então, temos: \displaystyle\sum_{n=1}^5 s(n) = 35.
Para 1 ≤ n ≤ {10}^5, \displaystyle\sum_{n = 1}^{{10}^5} s(n) = 17924657155.
Qual é \displaystyle\sum_{n=1}^{{10}^8} s(n)?
--hints--
sumGaussianIntegers() deve retornar 17971254122360636.
assert.strictEqual(sumGaussianIntegers(), 17971254122360636);
--seed--
--seed-contents--
function sumGaussianIntegers() {
return true;
}
sumGaussianIntegers();
--solutions--
// solution required