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title: >-
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Problema 175: Frações envolvendo o número de maneiras diferentes pelas quais um número pode ser expresso como uma soma de potências de 2
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301810
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dashedName: >-
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problem-175-fractions-involving-the-number-of-different-ways-a-number-can-be-expressed-as-a-sum-of-powers-of-2
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# --description--
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Defina $f(0) = 1$ e $f(n)$ como o número de formas de escrever $n$ como uma soma de potências de 2 onde nenhuma potência ocorra mais de duas vezes.
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Por exemplo, $f(10) = 5$ já que há cinco maneiras diferentes de expressar 10:
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$$10 = 8 + 2 = 8 + 1 + 1 = 4 + 4 + 2 = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 4 + 4 + 1 + 1$$
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Pode-se mostrar que, para cada fração $\frac{p}{q}\\; (p>0, q>0)$ existe pelo menos um número inteiro $n$ de modo que $\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{p}{q}$.
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Por exemplo, o menor $n$ para o qual $\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{13}{17}$ é 241. A expansão binária de 241 é 11110001.
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Ao ler este número binário, a partir do bit mais significativo até o bit menos significativo, que há 4 números um, 3 zeros e um 1. Chamaremos a string 4,3,1 de expansão binária reduzida de 241.
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Encontre a expansão binária reduzida do menor $n$ para o qual
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$$\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{123456789}{987654321}$$
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Dê sua resposta como uma string com inteiros separados por vírgula, sem nenhum espaço em branco.
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# --hints--
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`shortenedBinaryExpansionOfNumber()` deve retornar uma string.
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```js
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assert(typeof shortenedBinaryExpansionOfNumber() === 'string');
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```
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`shortenedBinaryExpansionOfNumber()` deve retornar a string `1,13717420,8`.
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```js
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assert.strictEqual(shortenedBinaryExpansionOfNumber(), '1,13717420,8');
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function shortenedBinaryExpansionOfNumber() {
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return true;
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}
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shortenedBinaryExpansionOfNumber();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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