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|---|---|---|---|---|
| 5900f4cd1000cf542c50ffdf | Problema 352: Testes sanguíneos | 5 | 302012 | problem-352-blood-tests |
--description--
Cada uma das 25 ovelhas que se encontram em um rebanho tem de ser testada para um vírus raro, conhecido por afetar 2% da população de ovinos.
Existe um teste de PCR preciso e extremamente sensível para amostras de sangue, produzindo um resultado claramente positivo/negativo, mas é muito demorado e caro.
Devido ao alto custo, a veterinária encarregada sugere que, em vez de executar 25 testes separados, o seguinte procedimento seja usado:
As ovelhas são divididas em 5 grupos de 5 ovelhas em cada grupo. Para cada grupo, as 5 amostras são misturadas e realiza-se um único teste. Então,
- Se o resultado for negativo, todas as ovelhas desse grupo são consideradas sem vírus.
- Se o resultado for positivo, serão realizados 5 testes adicionais (um teste separado para cada animal) para determinar o(s) indivíduo(s).
Como a probabilidade de infecção para qualquer animal específico é de apenas 0,02, o primeiro teste (nas amostras em conjunto) de cada grupo será:
- Negativo (e sem mais testes necessários) com probabilidade
{0.98}^5 = 0.9039207968. - Positivo (5 testes adicionais necessários) com probabilidade
1 - 0.9039207968 = 0.0960792032.
Assim, o número esperado de testes para cada grupo é 1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016.
Consequentemente, todos os 5 grupos podem ser avaliados com uma média de apenas US$1.480396016 × 5 = \mathbf{7.40198008}$ testes, o que representa uma grande economia de mais de 70%!
Embora o regime que acabamos de descrever pareça muito eficiente, ele ainda pode ser melhorado consideravelmente (partindo sempre do princípio de que o teste é suficientemente sensível e que não há efeitos adversos causados pela mistura de amostras diferentes). Ex:
- Podemos começar por fazer um teste com uma mistura de todas as 25 amostras. É possível verificar que em cerca de 60,35% dos casos este teste será negativo, pelo que não serão necessários mais testes. Só serão necessários mais testes para os 39,65% restantes dos casos.
- Se sabemos que pelo menos um animal em um grupo de 5 é infectado e que os 4 primeiros testes individuais são negativos, não há necessidade de realizar um ensaio no quinto animal (sabemos que deve ser infectado).
- Podemos tentar um número diferente de grupos/um número diferente de animais em cada grupo, ajustando esses números a cada nível para que o número total esperado de testes seja minimizado.
Para simplificar a vasta gama de possibilidades, há uma restrição que impomos ao criar o esquema de testes mais econômico: sempre que começamos com uma amostra mista, todas as ovelhas que contribuem para essa amostra devem ser totalmente testadas (ou seja, é preciso chegar a um veredito sobre ela estar infectada/sem vírus) antes de começarmos a examinar qualquer outro animal.
Para o exemplo atual, ocorre que o esquema de testes mais econômico (chamamos isso de estratégia ideal) requer uma média de apenas 4,155452 testes!
Usando a estratégia ideal, considere T(s, p) como representando o número médio de testes necessários para analisar um rebanho de s ovelhas para o vírus, com a probabilidade de p de o vírus estar presente em qualquer indivíduo. Assim, arredondado para seis casas decimais, T(25, 0,02) = 4,155452 e T(25, 0,10) = 12,702124.
Encontre \sum T(10.000, p) para p = 0.01, 0.02, 0.03, \ldots 0.50. Dê sua resposta arredondada para seis casas decimais.
--hints--
bloodTests() deve retornar 378563.260589.
assert.strictEqual(bloodTests(), 378563.260589);
--seed--
--seed-contents--
function bloodTests() {
return true;
}
bloodTests();
--solutions--
// solution required