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|---|---|---|---|---|
| 5900f4d31000cf542c50ffe6 | Problema 359: O novo hotel Hilbert | 5 | 302019 | problem-359-hilberts-new-hotel |
--description--
Um número infinito de pessoas (numeradas 1, 2, 3, etc.) está alinhado para conseguir um quarto no novíssimo hotel infinito Hilbert. O hotel contém um número infinito de andares (numerados 1, 2, 3, etc.). Cada andar contém um número infinito de quartos (numerados 1, 2, 3, etc.).
Inicialmente, o hotel está vazio. Hilbert declara uma regra sobre como a n^{\text{a}} pessoa é atribuída a um quarto: a pessoa n obtém o primeiro quarto vago no andar de numeração mais baixa satisfazendo qualquer um dos seguintes:
- o andar está vazio
- o andar não está vazio, e se a última pessoa que está pegando um quarto nesse andar é a pessoa
m, entãom + né um quadrado perfeito
A pessoa 1 pega o quarto 1 no andar 1, já que o andar 1 está vazio.
A pessoa 2 não consegue o quarto 2 no andar 1, já que 1 + 2 = 3 não é um quadrado perfeito.
A pessoa 2, em vez disso, pega o quarto 1 no andar 2, já que o andar 2 está vazio.
A pessoa 3 consegue o quarto 2 no andar 1, já que 1 + 3 = 4 é um quadrado perfeito.
No fim, cada pessoa na fila pegará um quarto no hotel.
Defina P(f, r) como n se a pessoa n ocupar o quarto r no andar f, e 0 se ninguém ocupar o quarto. Aqui estão alguns exemplos:
$$\begin{align} & P(1, 1) = 1 \\ & P(1, 2) = 3 \\ & P(2, 1) = 2 \\ & P(10, 20) = 440 \\ & P(25, 75) = 4863 \\ & P(99, 100) = 19454 \end{align}$$
Encontre a soma de todos os P(f, r) para todos os números positivos f e r, tal que f × r = 71.328.803.586.048 e dê os últimos 8 algarismos como resposta.
--hints--
hilbertsNewHotel() deve retornar 40632119.
assert.strictEqual(hilbertsNewHotel(), 40632119);
--seed--
--seed-contents--
function hilbertsNewHotel() {
return true;
}
hilbertsNewHotel();
--solutions--
// solution required