4.0 KiB
id, title, challengeType, forumTopicId, dashedName
| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f4051000cf542c50ff18 | Завдання 153. Дослідження Гауссових цілих чисел | 5 | 301784 | problem-153-investigating-gaussian-integers |
--description--
Як ми всі знаємо рівняння x^2 = -1 не має реальних розв'язків x.
Якщо підставити уявне число i, то це рівняння має два рішення: x = i та x = -i.
У наступному випадку, рівняння {(x - 3)}^2 = -4$ має два складні рішення: x = 3 + 2i і x = 3 - 2i, які називаються складним спряженими числами.
Числа a + bi називаються комплексними числами.
Загалом a + bi та a - bi — спряжені числа. Гауссове ціле число є комплексним числом a + bi таким чином, що і a, і b є цілими числами.
Звичайні цілі числа також є простими Гауссовими цілими числами (з b = 0).
Щоб відрізняти їх від простих Гауссових чисел з b ≠ 0 ми називаємо такі цілі числа "раціональними цілими числами"
Просте Гауссове число називається дільником раціонального цілого числа n, якщо результат також є простим Гауссовим числом.
Наприклад, якщо поділити 5 на 1 + 2i, можемо спростити наступним чином:
Помножте чисельник та знаменник на комплексне спряжене число 1 + 2i: 1 - 2i.
Отримаємо:
\frac{5}{1 + 2i} = \frac{5}{1 + 2i} \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - {(2i)}^2} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \frac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i
Отже, 1 + 2i є дільником 5.
Зверніть увагу, що 1 + i не є дільником 5, оскільки:
\frac{5}{1 + i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i
Зверніть увагу, що якщо просте Гауссове ціле число (a + bi) є дільником раціонального цілого числа n, тоді його спряжене число (a - bi) також є дільником n. Фактично у числа 5 є шість дільників, такі, що їх формульна сума: {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}.
Нижче наведена таблиця всіх дільників для перших п'яти додатних раціональних цілих чисел:
| n | Просте Гауссове ціле число з формульною сумою | Сума s(n) цих дільників |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1, 1 + i, 1 - i, 2 | 5 |
| 3 | 1, 3 | 4 |
| 4 | 1, 1 + i, 1 - i, 2, 2 + 2i, 2 - 2i, 4 | 13 |
| 5 | 1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5 | 12 |
Для дільників з додатною формульною сумою маємо: \displaystyle\sum_{n=1}^5 s(n) = 35.
Для 1 ≤ n ≤ {10}^5, $\displaystyle\sum_{n = 1}^{10}^5} s(n) = 17924657155$.
Що таке \displaystyle\sum_{n=1}^{{10}^8} s(n)?
--hints--
sumGaussianIntegers() має повернути 17971254122360636.
assert.strictEqual(sumGaussianIntegers(), 17971254122360636);
--seed--
--seed-contents--
function sumGaussianIntegers() {
return true;
}
sumGaussianIntegers();
--solutions--
// solution required