5.9 KiB
id, title, challengeType, forumTopicId, dashedName
| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f4cd1000cf542c50ffdf | Задача 352: Аналізи крові | 5 | 302012 | problem-352-blood-tests |
--description--
Кожну з 25 овець в отарі необхідно обстежити на рідкісний вірус, відомий тим, що вражає 2% популяції овець.
Існує точний та надзвичайно чутливий тест ПЛР-тест для зразків крові, який дає чіткий позитивний / негативний результат, але він забирає дуже багато часу та фінансів.
Через високу вартість, головний ветеринар пропонує замість того, щоб виконувати 25 окремих тестів, використати таку процедуру:
Вівці поділяються на 5 груп по 5 овець у кожній групі. Для кожної групи 5 зразків змішуються разом і проводиться один тест. Потім
- Якщо результат негативний, усі вівці цієї групи вважаються безвірусними.
- Якщо результат позитивний, буде проведено 5 додаткових тестів (окремий тест для кожної тварини) для визначення ураженої особини.
Оскільки ймовірність зараження будь-якої конкретної тварини становить лише 0,02, перший тест (на об’єднаних зразках) для кожної групи буде:
- Негативний (і більше ніяких тестів не потрібно) з ймовірністю
{0.98}^5 = 0.9039207968. - Позитивний (потрібно 5 додаткових тестів) з вірогідністю
1 - 0.9039207968 = 0.0960792032.
Таким чином, очікувана кількість тестів для кожної групи становить 1 + 0.0960792032 × 5 = 1,480396016$.
Отже, усі 5 груп можна перевірити, використовуючи в середньому лише 1.480396016 × 5 = \mathbf{7.40198008} тестів, що становить величезну економію, більш ніж на 70%!
Хоча схема, яку ми щойно описали, здається дуже ефективною, її все ж можна значно покращити (завжди припускаючи, що тест достатньо чутливий і ніякі негативні наслідки не викликаються змішуванням різних зразків). Наприклад:
- Ми можемо почати з тестування на суміші усіх 25 зразків. Можна переконатися, що приблизно в 60,35% випадків цей тест буде негативним, тому більше ніяких тестів не буде потрібно. Подальше тестування буде потрібно лише для решти 39,65% випадків.
- Якщо ми знаємо, що принаймні одна тварина у групі з 5 інфікована, а перші 4 окремі тести виявляються негативними, немає потреби проводити тест на п’ятій тварині (ми знаємо, що вона має бути інфікованою).
- Ми можемо спробувати різну кількість груп / різну кількість тварин у кожній групі, регулюючи цю кількість на кожному рівні так, щоб загальна очікувана кількість тестів була мінімізована.
Щоб спростити дуже широкий спектр можливостей, існує одне обмеження, яке ми накладаємо при розробці найбільш економічно ефективної схеми тестування: коли ми починаємо зі змішаного зразка, усі вівці, які роблять внесок у цей зразок, повинні бути повністю перевірені (тобто вирок зараженого / незараженого повинен бути досягнутий для всіх них), перш ніж ми розпочнемо огляд будь-яких інших тварин.
Для поточного прикладу виявляється, що найбільш економічно ефективна схема тестування (ми назвемо це оптимальною стратегією) вимагає в середньому всього 4.155452 тестів!
Використовуючи оптимальну стратегію, нехай T(s, p) представляє середню кількість тестів, необхідних для перевірки отари s овець на наявність вірусу з ймовірністю p бути присутнім у будь-якої особини. Таким чином, округлено до шести знаків після коми, T(25, 0.02) = 4.155452 and T(25, 0.10) = 12.702124.
Знайдіть \sum T(10\\,000, p) за p = 0.01, 0.02, 0.03, \ldots 0.50. Дайте відповідь, округлену до 6 знаків після коми.
--hints--
bloodTests() має повернути 378563.260589.
assert.strictEqual(bloodTests(), 378563.260589);
--seed--
--seed-contents--
function bloodTests() {
return true;
}
bloodTests();
--solutions--
// solution required