149 lines
4.4 KiB
Markdown
149 lines
4.4 KiB
Markdown
---
|
||
id: 5900f3ac1000cf542c50febf
|
||
title: 'Завдання 64: Квадратні корені з непарним періодом'
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 302176
|
||
dashedName: problem-64-odd-period-square-roots
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Усі квадратні корені є періодичними, якщо їх записати у вигляді неперервних дробів і можуть бути записані так:
|
||
|
||
$\\displaystyle \\quad \\quad \\sqrt{N}=a_0+\\frac 1 {a_1+\\frac 1 {a_2+ \\frac 1 {a3+ \\dots}}}$
|
||
|
||
Наприклад, розгляньмо $\\sqrt{23}:$:
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{23}=4+\\sqrt{23}-4=4+\\frac 1 {\\frac 1 {\\sqrt{23}-4}}=4+\\frac 1 {1+\\frac{\\sqrt{23}-3}7}$
|
||
|
||
Якщо ми продовжимо, то отримаємо таке наближення:
|
||
|
||
$\\displaystyle \\quad \\quad \\sqrt{23}=4+\\frac 1 {1+\\frac 1 {3+ \\frac 1 {1+\\frac 1 {8+ \\dots}}}}$
|
||
|
||
Процес можна підсумувати наступним чином:
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_0=4, \\frac 1 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {\\sqrt{23}+4} 7=1+\\frac {\\sqrt{23}-3} 7$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_1=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {7(\\sqrt{23}+3)} {14}=3+\\frac {\\sqrt{23}-3} 2$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_2=3, \\frac 2 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {2(\\sqrt{23}+3)} {14}=1+\\frac {\\sqrt{23}-4} 7$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_3=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {7(\\sqrt{23}+4)} 7=8+\\sqrt{23}-4$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_4=8, \\frac 1 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {\\sqrt{23}+4} 7=1+\\frac {\\sqrt{23}-3} 7$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_5=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {7 (\\sqrt{23}+3)} {14}=3+\\frac {\\sqrt{23}-3} 2$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_6=3, \\frac 2 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {2(\\sqrt{23}+3)} {14}=1+\\frac {\\sqrt{23}-4} 7$
|
||
|
||
$\\quad \\quad a_7=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {7(\\sqrt{23}+4)} {7}=8+\\sqrt{23}-4$
|
||
|
||
Можна побачити, що послідовність повторюється. Для стислості, ми використовуємо позначення $\\sqrt{23}=\[4;(1,3,1,8)]$, щоб вказати, що блок (1,3,1,8) нескінченно повторюється.
|
||
|
||
Перші десять представлень (ірраціональних) квадратних коренів безперервного дробу:
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{2}=\[1;(2)]$, період = 1
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{3}=\[1;(1,2)]$, період = 2
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{5}=\[2;(4)]$, період = 1
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{6}=\[2;(2,4)]$, період = 2
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{7}=\[2;(1,1,1,4)]$, період = 4
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{8}=\[2;(1,4)]$, період = 2
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{10}=\[3;(6)]$, період = 1
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{11}=\[3;(3,6)]$, період = 2
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{12}=\[3;(2,6)]$, період = 2
|
||
|
||
$\\quad \\quad \\sqrt{13}=\[3;(1,1,1,1,6)]$, період = 5
|
||
|
||
Рівно чотири неперервні дроби для $N \\le 13$ мають непарний період.
|
||
|
||
Скільки неперервних дробів для $N \\le n$ має непарний період?
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`oddPeriodSqrts(13)` має повернути число.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof oddPeriodSqrts(13) === 'number');
|
||
```
|
||
|
||
`oddPeriodSqrts(500)` має повернути `83`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(500), 83);
|
||
```
|
||
|
||
`oddPeriodSqrts(1000)` має повернути `152`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(1000), 152);
|
||
```
|
||
|
||
`oddPeriodSqrts(5000)` має повернути `690`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(5000), 690);
|
||
```
|
||
|
||
`oddPeriodSqrts(10000)` має повернути `1322`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(10000), 1322);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function oddPeriodSqrts(n) {
|
||
|
||
return true;
|
||
}
|
||
|
||
oddPeriodSqrts(13);
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function oddPeriodSqrts(n) {
|
||
// Based on https://www.mathblog.dk/project-euler-continued-fractions-odd-period/
|
||
function getPeriod(num) {
|
||
let period = 0;
|
||
let m = 0;
|
||
let d = 1;
|
||
let a = Math.floor(Math.sqrt(num));
|
||
const a0 = a;
|
||
while (2 * a0 !== a) {
|
||
m = d * a - m;
|
||
d = Math.floor((num - m ** 2) / d);
|
||
a = Math.floor((Math.sqrt(num) + m) / d);
|
||
period++;
|
||
}
|
||
return period;
|
||
}
|
||
|
||
function isPerfectSquare(num) {
|
||
return Number.isInteger(Math.sqrt(num));
|
||
}
|
||
|
||
let counter = 0;
|
||
for (let i = 2; i <= n; i++) {
|
||
if (!isPerfectSquare(i)) {
|
||
if (getPeriod(i) % 2 !== 0) {
|
||
counter++;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return counter;
|
||
}
|
||
```
|