118 lines
3.9 KiB
Markdown
118 lines
3.9 KiB
Markdown
---
|
||
id: 5900f3ad1000cf542c50fec0
|
||
title: 'Завдання 65: Наближення е'
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 302177
|
||
dashedName: problem-65-convergents-of-e
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Квадратний корінь з 2 можна записати як нескінченний неперервний дріб.
|
||
|
||
$\\sqrt{2} = 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + ...}}}}$
|
||
|
||
Нескінченний неперервний дріб можна записати як $\\sqrt{2} = \[1; (2)]$ вказує на те, що 2 повторюється *до нескінченності*. Подібним чином $\\sqrt{23} = \[4; (1, 3, 1, 8)]$. Виявляється, що послідовність часткових значень неперервних дробів для квадратних коренів надає найкраще раціональне наближення. Давайте розглянемо наближення для $\\sqrt{2}$.
|
||
|
||
$1 + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}} = \\dfrac{7}{5}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}}} = \\dfrac{17}{12}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}}}} = \\dfrac{41}{29}$
|
||
|
||
Отже, послідовністю перших десяти наближень для $\\sqrt{2}$ є:
|
||
|
||
$1, \\dfrac{3}{2}, \\dfrac{7}{5}, \\dfrac{17}{12}, \\dfrac{41}{29}, \\dfrac{99}{70}, \\dfrac{239}{169}, \\dfrac{577}{408}, \\dfrac{1393}{985}, \\dfrac{3363}{2378}, ...$
|
||
|
||
Найдивовижніше те, що важлива математична константа $e = \[2; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, . . , 1, 2k, 1, ...]$. Першими десятьма значеннями у послідовності наближень для `e` є:
|
||
|
||
$2, 3, \\dfrac{8}{3}, \\dfrac{11}{4}, \\dfrac{19}{7}, \\dfrac{87}{32}, \\dfrac{106}{39}, \\dfrac{193}{71}, \\dfrac{1264}{465}, \\dfrac{1457}{536}, ...$
|
||
|
||
Сума цифр у чисельнику 10<sup>-го</sup> наближення - $1 + 4 + 5 + 7 = 17$.
|
||
|
||
Знайдіть суму цифр у чисельнику `n`<sup>-го</sup> наближення неперервного дробу для `e`.
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`convergentsOfE(10)` має повернути число.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof convergentsOfE(10) === 'number');
|
||
```
|
||
|
||
`convergentsOfE(10)` має повернути `17`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(convergentsOfE(10), 17);
|
||
```
|
||
|
||
`convergentsOfE(30)` має повернути `53`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(convergentsOfE(30), 53);
|
||
```
|
||
|
||
`convergentsOfE(50)` має повернути `91`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(convergentsOfE(50), 91);
|
||
```
|
||
|
||
`convergentsOfE(70)` має повернути `169`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(convergentsOfE(70), 169);
|
||
```
|
||
|
||
`convergentsOfE(100)` має повернути `272`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(convergentsOfE(100), 272);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function convergentsOfE(n) {
|
||
|
||
return true;
|
||
}
|
||
|
||
convergentsOfE(10);
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function convergentsOfE(n) {
|
||
function sumDigits(num) {
|
||
let sum = 0n;
|
||
while (num > 0) {
|
||
sum += num % 10n;
|
||
num = num / 10n;
|
||
}
|
||
return parseInt(sum);
|
||
}
|
||
|
||
// BigInt is needed for high convergents
|
||
let convergents = [
|
||
[2n, 1n],
|
||
[3n, 1n]
|
||
];
|
||
const multipliers = [1n, 1n, 2n];
|
||
for (let i = 2; i < n; i++) {
|
||
const [secondLastConvergent, lastConvergent] = convergents;
|
||
const [secondLastNumerator, secondLastDenominator] = secondLastConvergent;
|
||
const [lastNumerator, lastDenominator] = lastConvergent;
|
||
const curMultiplier = multipliers[i % 3];
|
||
|
||
const numerator = secondLastNumerator + curMultiplier * lastNumerator;
|
||
const denominator = secondLastDenominator + curMultiplier * lastDenominator;
|
||
|
||
convergents = [lastConvergent, [numerator, denominator]]
|
||
if (i % 3 === 2) {
|
||
multipliers[2] += 2n;
|
||
}
|
||
}
|
||
return sumDigits(convergents[1][0]);
|
||
}
|
||
```
|