111 lines
3.4 KiB
Markdown
111 lines
3.4 KiB
Markdown
---
|
||
id: 5900f3b11000cf542c50fec4
|
||
title: 'Завдання 69: Максимум функції Ейлера'
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 302181
|
||
dashedName: problem-69-totient-maximum
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Функція Ейлера, ${\phi}(n)$ (іноді називається функцією phi), використовується для визначення кількості чисел, менших за `n`, які є відносно простими до `n`. Наприклад, оскільки числа 1, 2, 4, 5, 7 і 8 менші за дев’ять і відносно прості до дев'яти, ${\phi}(9) = 6$.
|
||
|
||
<div style='margin-left: 4em;'>
|
||
|
||
| $n$ | $\text{Relatively Prime}$ | $\displaystyle{\phi}(n)$ | $\displaystyle\frac{n}{{\phi}(n)}$ |
|
||
| --- | ------------------------- | ------------------------ | ---------------------------------- |
|
||
| 2 | 1 | 1 | 2 |
|
||
| 3 | 1,2 | 2 | 1.5 |
|
||
| 4 | 1,3 | 2 | 2 |
|
||
| 5 | 1,2,3,4 | 4 | 1.25 |
|
||
| 6 | 1,5 | 2 | 3 |
|
||
| 7 | 1,2,3,4,5,6 | 6 | 1.1666... |
|
||
| 8 | 1,3,5,7 | 4 | 2 |
|
||
| 9 | 1,2,4,5,7,8 | 6 | 1.5 |
|
||
| 10 | 1,3,7,9 | 4 | 2.5 |
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
Можна побачити, що `n` = 6 утворює максимальну суму $\displaystyle\frac{n}{{\phi}(n)}$ для `n` ≤ 10.
|
||
|
||
Знайдіть значення `n` ≤ `limit`, для якого $\displaystyle\frac{n}{{\phi(n)}$ є максимальним.
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`totientMaximum(10)` має повернути число.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof totientMaximum(10) === 'number');
|
||
```
|
||
|
||
`totientMaximum(10)` має повернути `6`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(totientMaximum(10), 6);
|
||
```
|
||
|
||
`totientMaximum(10000)` має повернути `2310`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(totientMaximum(10000), 2310);
|
||
```
|
||
|
||
`totientMaximum(500000)` має повернути `30030`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(totientMaximum(500000), 30030);
|
||
```
|
||
|
||
`totientMaximum(1000000)` має повернути `510510`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(totientMaximum(1000000), 510510);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function totientMaximum(limit) {
|
||
|
||
return true;
|
||
}
|
||
|
||
totientMaximum(10);
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function totientMaximum(limit) {
|
||
function getSievePrimes(max) {
|
||
const primesMap = new Array(max).fill(true);
|
||
primesMap[0] = false;
|
||
primesMap[1] = false;
|
||
const primes = [];
|
||
for (let i = 2; i < max; i = i + 2) {
|
||
if (primesMap[i]) {
|
||
primes.push(i);
|
||
for (let j = i * i; j < max; j = j + i) {
|
||
primesMap[j] = false;
|
||
}
|
||
}
|
||
if (i === 2) {
|
||
i = 1;
|
||
}
|
||
}
|
||
return primes;
|
||
}
|
||
|
||
const MAX_PRIME = 50;
|
||
const primes = getSievePrimes(MAX_PRIME);
|
||
let result = 1;
|
||
|
||
for (let i = 0; result * primes[i] < limit; i++) {
|
||
result *= primes[i];
|
||
}
|
||
return result;
|
||
}
|
||
```
|